RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 1 परिमेय संख्याएँ

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 02

संवृत

प्रश्न 1.
प्राकृत संख्याओं के लिए सभी चार संक्रियाओं के अन्तर्गत संवृत गुण की जाँच कीजिए।

1. योग:
यदि a और b दो पूर्ण संख्याएँ हैं तो a + b भी एक पूर्ण संख्या होगी।

प्रश्न 1.
4 + 7 = …… क्या यह एक पूर्ण संख्या
हल:
4 + 7 = 11; हाँ, यह एक पूर्ण संख्या है।
जाँच:

अतः पूर्ण संख्याएँ योग के अन्तर्गत संवृत हैं उत्तर

2. व्यवकलन:
यदि a और b दो प्राकृत संख्याएँ इस प्रकार हैं कि a > b, तब a – b = प्राकृत संख्या होगी। यदि a < b या a = b, तो a-b प्राकृत संख्या नहीं होगी।
जाँच:

अतः पूर्ण संख्याएँ व्यवकलन के अन्तर्गत संवृत नहीं हैं।

3. गुणन:
यदि a तथा b कोई दो पूर्ण संख्याएँ हैं, तो उनका गुणनफल भी एक पूर्ण संख्या होती है।

प्रश्न 1.
3 x 7 = …. क्या यह एक पूर्ण संख्या है?
हल:
3 x 7 = 21 ; हाँ, यह एक पूर्ण संख्या है।
जाँच:

अतः पूर्ण संख्याएँ गुणन के अन्तर्गत संवृत हैं।

4. भाग:
यदि a तथा b दो प्राकृत संख्याएँ हैं, तो यह आवश्यक नहीं कि a ÷ b प्राकृत संख्या होगी।
जाँच:

अतः पूर्ण संख्याएँ भाग के अन्तर्गत संवृत नहीं हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 02-03

पूर्णांक

1. योग
प्रश्न 1.
क्या – 7 + (-5) एक-पूर्णांक है?
हल:
– 7 + (-5) = – 7 – 5 = – 12; हाँ, यह एक पूर्णांक।

प्रश्न 2.
क्या 8 + 5 एक पूर्णांक है?
हल:
8 + 5 = 13; हाँ, यह एक पूर्णांक है। अतः पूर्णांक योग के अन्तर्गत संवृत हैं।

2. व्यवकलन

प्रश्न 1.
क्या 5 – 7 एक पूर्णांक है?
हल:
5 – 7 = – 2; हाँ, यह एक पूर्णांक हैं।

प्रश्न 2.
क्या 8 – (-6) एक पूर्णांक है?
हल:
8 – (-6) = 8 + 6 = 4; हाँ, यह एक पूर्णांक है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि क्या b – a भी एक पूर्णांक है?
हल:
हाँ, (b – a) भी एक पूर्णांक है। अतः पूर्णांक व्यवकलन के अन्तर्गत संवृत है।

3. गुणन

प्रश्न 1.
क्या – 5 x 8 एक पूर्णांक है?
हल:
– 5 x 8 = – 40; हाँ, यह एक पूर्णांक है। अतः पूर्णांक गुणन के अन्तर्गत संवृत है।

4. भाग

प्रश्न 1.
क्या 5 + 8 एक पूर्णांक है?
हल:
5 + 8 = है, यह एक पूर्णांक नहीं है। अतः पूर्णांक भाग के अन्तर्गत संवृत नहीं है।

परिमेय संख्याएँ

(a) क्या आप जानते हैं कि परिमेय संख्याओं को कैसे जोड़ा जाता है?

प्रश्न 1.

प्रश्न 2.

(b)
प्रश्न 1.
क्या दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होगा?
उत्तर:
हाँ, दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होगा।

प्रश्न 2.

प्रश्न 3.

प्रश्न 2.
परिमेय संख्याओं के कुछ और युग्म लीजिए और जाँच कीजिए कि उनका गुणनफल भी एक परिमेय संख्या है।
हल:

प्रश्न 3.
क्या आप कह सकते हैं कि परिमेय संख्याएँ भाग के अन्तर्गत संवृत हैं?
उत्तर:
किसी संख्या a के लिए a ÷ 0 परिभाषित नहीं है। अतः परिमेय संख्याएँ भाग के अन्तर्गत संवृत नहीं हैं। तथापि, यदि हम शून्य को शामिल न करें तो दूसरी सभी परिमेय संख्याओं का समूह, भाग के अन्तर्गत संवत है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 05

प्रयास कीजिए (क्रमांक 1.1)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
उत्तर:

क्रमविनिमेयता

(i) पूर्ण संख्याएँ

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी के रिक्त स्थानों को भरते हुए विभिन्न संक्रियाओं के अन्तर्गत पूर्ण संख्याओं की क्रमविनिमेयता का स्मरण कीजिए।
उत्तर:

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि क्या प्राकृतिक संख्याओं के – लिए भी ये संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं?
उत्तर:

(ii) पूर्णांक

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी के रिक्त स्थानों को भरिए और पूर्णांकों के लिए विभिन्न संक्रियाओं की क्रमविनिमेयता जाँचिए।
उत्तर:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 06

(iii) परिमेय संख्याएँ

(a) योग:

प्रश्न 1.

हल:
(i)

(ii)

अतः परिमेय संख्याओं के लिए योग क्रम- विनिमेय है।

(b) व्यवकलन:

प्रश्न 1.

हल:
(i)

(ii)

स्पष्ट है कि परिमेय संख्याओं के लिए व्यवकलन क्रमविनिमेय नहीं है।

(c) गुणन:

हल:

प्रश्न 2.
कुछ और गुणनफलों के लिए जाँच कीजिए।
हल:
(i)

(ii)

अतः परिमेय संख्याओं के लिए गुणन क्रमविनिमेय है।

(d) भाग:

प्रश्न 1.

हल:

हम पाते हैं कि दोनों पक्षों के व्यंजक समान नहीं हैं। अतः परिमेय संख्याओं के लिए भाग क्रमविनिमेय नहीं है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 07

प्रयास कीजिए (क्रमांक 1.2)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए –
उत्तर:

(i) पूर्ण संख्याएँ –

प्रश्न 1.
इस सारणी को भरिए और अन्तिम स्तम्भ में दी गई टिप्पणियों को सत्यापित कीजिए।
उत्तर:

प्रश्न 2.
प्राकृत संख्याओं के लिए विभिन्न संक्रियाओं की साहचर्यता की स्वयं जाँच कीजिए।
उत्तर:

(ii) पूर्णांक

प्रश्न 1.
पूर्णांकों के लिए चार संक्रियाओं की साहचर्यता निम्नलिखित सारणी से देखी जा सकती है –
उत्तर:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 08

(iii) परिमेय संख्याएँ

(a) योग

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.
कुछ और परिमेय संख्याएँ लीजिए। उपर्युक्त उदाहरणों की तरह उन्हें जोड़िए और देखिए कि क्या दोनों योग समान हैं?

हल:
(i)

(ii)

हम पाते हैं कि दोनों योग समान हैं। अतः परिमेय संख्याओं के लिए योग साहचर्य है।
अर्थात् किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं a, b तथा c के लिए a + (b + c) = (a + b) + c.

(b) व्यवकलन

प्रश्न 1.

हल:

अतः परिमेय संख्याओं के लिए व्यवकलन साहचर्य नहीं है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 09

(c) गुणन

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

हम पाते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए गुणन साहचर्य है। अर्थात् किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं a, b तथा c के लिए ax (bx c)= (ax b) x c.

(d) भाग

प्रश्न 1.

हल:

अतः बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष
स्पष्ट है कि परिमेय संख्याओं के लिए भाग साहचर्य नहीं है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 10

प्रयास कीजिए (क्रमांक 1.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए
उत्तर:

प्रश्न 2.
क्या आप सोचते हैं कि क्रमविनिमेयता और साहचर्यता के गुणधर्मों की सहायता से परिकलन आसान हो गया है?
उत्तर:
हाँ, वास्तव में क्रमविनिमेयता और साहचर्यता के गुणधर्मों की सहायता से परिकलन आसान हो गया है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 11

शून्य (0) की भूमिका

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर विचार कीजिए –

प्रश्न 2.
ऐसे कुछ और योग ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
हल:

हम देखते हैं कि किसी पूर्ण संख्या अथवा पूर्णांक अथवा परिमेय संख्याओं में शून्य जोड़ा जाता है तो वही संख्या प्राप्त होती है।
अतः पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के योग के लिए शून्य योज्य तत्समक है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 12

1 की भूमिका

प्रश्न 1.
हम पाते हैं कि 5 x 1 = 5 = 1 x 5 (पूर्ण संख्या के साथ 1 का गुणन) –

आप क्या पाते हैं? कुछ और परिमेय संख्याओं के लिए इसकी जाँच कीजिए।
हल:

कुछ और गुणनफल इस प्रकार है –

हम पाते हैं कि किसी परिमेय संख्या a के लिए 1 गुणनात्मक तत्समक है।
a x 1 = 1 x a = a

प्रश्न 2.
क्या 1 पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी गुणनात्मक तत्समक है?
उत्तर:
हाँ, 1 पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी गुणनात्मक तत्समक है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए –

प्रश्न 1.
यदि कोई गुणधर्म परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है तो क्या वह गुणधर्म पूर्णांकों, पूर्ण संख्याओं के लिए भी सत्य होगा? कौन-से गुणधर्म इनके लिए सत्य होंगे और कौन-से सत्य नहीं होंगे?
उत्तर:
हाँ, वे गुणधर्म जो परिमेय संख्याओं के लिए सत्य हैं, तो वे गुणधर्म पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी सत्य हैं।

1. पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवकलन और भाग साहचर्य नहीं हैं।
2. पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवकलन और भाग संवृत नहीं हैं।
3. पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवकलन और भाग क्रमविनिमेय नहीं हैं।

एक संख्या का ऋणात्मक

प्रश्न 1.

हुल:

अत: का योज्य प्रतिलोम तथा −() का योज्य प्रतिलोम है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 14

प्रयास कीजिए (क्रमांक 1.4)

प्रश्न 1.
वितरकता के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए –

हल:
वितरकता के अन्तर्गत हम एक गुणनफल को दो गुणनफलों के योग अथवा अन्तर के रूप में विभक्त करते हैं।
(i)

(ii)

परिमेय संख्याएँ Ex 1.1

प्रश्न 1.
उचित गुणधर्मों के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

हल:
(i)

(ii)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के योज्य प्रतिलोम लिखिए –

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए –

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रत्येक में गुणन के अन्तर्गत उपयोग किए गए गुणधर्म का नाम लिखिए –

हल:

प्रश्न 7.

इसे परिमेय संख्याओं के लिए गुणन का साहचर्यता गुणधर्म की सहायता से अभिकलन करते हैं।

प्रश्न 8.

प्रश्न 10.
लिखिए –
(i) ऐसी परिमेय संख्या जिसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।
(ii) परिमेय संख्याएँ जो अपने व्युत्क्रम के समान हैं।
(iii) परिमेय संख्या जो अपने ऋणात्मक के समान है।
उत्तर:
(i) 0
(ii) 1 और -1
(ii) 0

प्रश्न 11.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
(i) शून्य का व्युत्क्रम ……… है।
(ii) संख्याएँ ……….. तथा ……….. स्वयं के व्युत्क्रम हैं।
(iii) -5 का व्युत्क्रम ……….. है।
(iv) (x ≠ 0) का व्युत्क्रम ……… है।
(v) दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा …….. है।
(vi) किसी धनात्मक परिमेय संख्या का व्युत्क्रम ………. है।
उत्तर:
(i) नहीं
(ii) 1, – 1
(iii)
(iv) x
(v) परिमेय संख्या
(vi) धनात्मक।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 16

परिमेय संख्याओं का संख्या रेखा पर निरूपण –

प्रश्न 1.
संख्या रेखा पर 0 और 1 के बीच की दूरी को तीन बराबर भागों में बाँटने वाले समदूरस्थ बिन्दुओं में से प्रथम बिन्दु को 13 के रूप में अंकित किया जा सकता है। संख्या रेखा पर भाजक बिन्दुओं में से दूसरे बिन्दु को आप कैसे अंकित करेंगे?
उत्तर:

संख्या रेखा पर भाजक बिन्दुओं में से दूसरे बिन्दु को 23 द्वारा अंकित करेंगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 18

प्रयास कीजिए –

प्रश्न 1.
अक्षर द्वारा अंकित प्रत्येक बिन्दु के लिए परिमेय संख्या लिखिए –
(i)

(ii)

उत्तर:
(i) अक्षर द्वारा अंकित बिन्दु के लिए परिमेय संख्या -]

दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ –

प्रश्न 1.
-1 और 1 के बीच कितने पूर्णांक हैं?
उत्तर:
1 और 1 के बीच एक पूर्णांक 0 है।

प्रश्न 2.
-9 और -10 के बीच कितने पूर्णांक हैं?
उत्तर:
9 और -10 के बीच कोई पूर्णांक नहीं है।

परिमेय संख्याएँ Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:
(i)
(ii)
उत्तर:
(i)
यहाँ हमें 0 के दाहिनी ओर की समान दूरी पर 7 बिन्दु अंकित करने हैं।

बिन्दु P परिमेय संख्या को निरूपित करता है।

(ii)
यहाँ हमें 0 के बायीं ओर की समान दूरी पर 5 बिन्दु अंकित करने हैं।

बिन्दु B परिमेय संख्या 1 को निरूपित करता है।

प्रश्न 2.
, , , को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।
हल:
यहाँ, संख्या रेखा को 0 के बायीं ओर 11 समान भागों में विभक्त करेंगे। प्रत्येक भाग भाग को निरूपित करेगा।

परिमेय संख्याओं को , और को क्रमशः बिन्दु A, B तथा C द्वारा निरूपित किया गया है।

प्रश्न 3.
ऐसी पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए जो 2 से छोटी हों।
उत्तर:
2 से छोटी पाँच परिमेय संख्याएँ –
1, , 0, , -1

प्रश्न 4.
और के मध्य दस परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:

हम जानते हैं कि, – 8 < – 7, < – 6 < 5, …… 9, < 10

अतः तथा के बीच परिमेय संख्याएँ

प्रश्न 5.
(i) और
(ii) और
(iii) और के बीच मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i)

हम जानते हैं कि 40 < 41 < 42 < 43 < 44 < 45 < ……. < 48

अतः और के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ

(ii)

हम जानते हैं कि -9 < – 8 < – 7 < – 6 < – 5 < …… < 0 < 1 < 2 < …… < 9 < 10

अतः और के मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ , , 0, , हैं।

(iii)

हम जानते हैं कि 8 < 9 < 10 < 11 < 12 < 13 < 14 < 15 < 16

अतः और के मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ , , , , हैं।
(इसके अतिरिक्त और भी परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं)

प्रश्न 6.
-2 से बड़ी पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए।
हल:
– 2 से बड़ी पाँच परिमेय संख्याएँ , -1, , 0, 1, हैं।
(इसके अतिरिक्त और भी परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं)

प्रश्न 7.
3 और 2 के मध्य दस परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:

हम जानते हैं कि
96 < 97 < 98 < 99 < 100 < 101 < ……. <118 < 119 < 120

अतः हैं और है के मध्य दस परिमेय संख्याएँ

(इसके अतिरिक्त और भी परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं)

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 1 परिमेय संख्याएँ, Study Learner