Last Updated on October 27, 2024 by Rahul

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3. दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3.1

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइये और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए-
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिये लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु. है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु. है। एक पेंसिल का मूल्य और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) माना कि
प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या = x
और प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या = y
प्रतियोगिता में भाग लेने वाले कल विद्यार्थी = 10
∴ x + y = 10
या x + y – 10 = 0
प्रश्नानुसार y = x + 4
या x = y – 4
अब रैखिक समीकरणों x + y = 10
और x – y + 4 = 0 का आलेख खींचने पर
x + y = 10
x = 10 – y …….(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 10 – 0 = 10
y = 7 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 10 – 7 = 3
y = 10 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 10 – 10 = 0

बिन्दुओं A(10, 0), B (3, 7), C (0, 10) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + y = 10 का आलेख प्राप्त होता है।
x – y + 4 = 0
या x = y – 4 ……(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 0 – 4 = -4
y = 7 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 7 – 4 = 3
y = 4 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 4 – 4 = 0

बिन्दुओं D(-4, 0), B(3, 7), E(0, 4) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – y + 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिन्दु B(3, 7) पर मिलते
∴ बिन्दु B(3, 7) आलेखीय स्थिति है। अतः प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या = 3
प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या = 7

(ii) माना कि 1 पेंसिल का मूल्य = x रु.
और 1 कलम का मूल्य = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
5x + 7y = 50
दूसरी शर्त के अनुसार,
7x + 5y = 46
रैखिक समीकरण युग्म है :
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
अब इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर

बिन्दुओं A(10, 0), B(3, 5), C(-4, 10) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 5x + 7y = 50 का आलेख प्राप्त होता है।
अब दूसरे समीकरण से

बिन्दुओं E(-2, 12), B(3, 5), F(8, -2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 7x + 5y = 46 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिन्दु B(3, 5) पर मिलते हैं।
∴ बिन्दु B (3, 5) आलेखीय स्थिति है।
अतः, एक पेंसिल का मूल्य = 3 रु.
एक कलम का मूल्य = 5 रु.

प्रश्न 2.

(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
5x – 4y + 8 = 0
और 7x + 6y – 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
यहाँ a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

अतः, दी गई रैखिक समीकरण युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती है।

(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
9x + 3y + 12 = 0
और 18x + 6y + 24 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
यहाँ a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

अतः, दी गई समीकरण-युग्म संपाती है।

(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
6x – 3y + 10 = 0
और 2x – y + 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
यहाँ a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म एक-दूसरे के समान्तर है।

प्रश्न 3.

(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
3x + 2y = 5
और 2x – 3y = 7
या 3x + 2y – 5 = 0
और 2x – 3y – 7 = 0
यहाँ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
2x – 3y = 8
और 4x – 6y = 9
या 2x – 3y – 8 = 0
4x – 6y – 9 = 0
यहाँ a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = -8
a₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = -9

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
5x – 3y = 11
और -10x + 6y = – 22
या 5x – 3y – 11 = 0
और -10x + 6y + 22 = 0
यहाँ a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = – 11
a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = 22

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं सम्पाती होंगी।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौनसे युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
x + y = 5
और 2x + 2y = 10
या x + y – 5 = 0
2x + 2y – 10 = 0
उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
यहाँ a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।
∴ दी गई रैखिक समीकरण युग्म का आलेख खींचने पर
x + y = 5
x = 5 – y ……(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 – 0 = 5
y = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 – 3 = 2
y = 5 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 – 5 = 0

बिन्दुओं A(5, 0), B(2, 3), C(0, 5) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + y = 5 का आलेख प्राप्त होता है।
पुनः 2x + 2y = 10
या 2(x + y) = 10
या x + y = 5
या x = 5 – y ……..(2)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 – 0 = 5
y = 2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 – 2 = 3
y = 5 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 – 5 = 0

बिन्दुओं A(5, 0), D(3, 2), C(0, 5) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + 2y = 10 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से स्पष्ट है कि दी गई रैखिक समीकरण युग्म संपाती रेखाएँ हैं या इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
x – y = 8
और 3x – 3y = 16
या x – y – 8 = 0
और 3x – 3y – 16 = 0
उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
यहाँ a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = -16

दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है।

(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
2x + y – 6 = 0
और 4x – 2y – 4 = 0
यहाँ a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -6
a₂ = 4, b₂ = -2, c₂ = -4

दिये गये समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
∴ दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।
इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर
2x + y – 6 = 0
2x = 6 – y

बिन्दुओं A(3, 0), B(2, 2), C(4, -2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुनः 4x – 2y – 4 = 0
या 2[2x – y – 2] = 0
या 2x – y – 2 = 0
या 2x = y + 2

बिन्दुओं D(1, 0), B (2, 2), E(0, -2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि दी गई समीकरण-युग्म बिन्दु B(2, 2) पर मिलती है।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म अद्वितीय है।

(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
हल-
दी गई रैखिक किरण-युग्म है :
2x – 2y – 2 = 0
और 4x – 4y – 5 = 0
यहाँ a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = -2
a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ = -5

∴ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः, दी गई समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्ध परिमाप 36m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना किबाग की लम्बाई = x m
बाग की चौड़ाई = y m
∴ बाग का परिमाप = 2[x + y] m
बाग के परिमाप का आधा = (x + y) m
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,
x = y + 4
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
x + y = 36
∴ रैखिक समीकरण-युग्म है :
x = y + 4
और x + y = 36
x = y + 4 ……(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 0 + 4 = 4
y = -4 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = -4 + 4 = 0
y = 16 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 16 + 4 = 20

बिन्दुओं A(4, 0), B(0, -4), C(20, 16) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x = y + 4 का आलेख प्राप्त होता है।

पुनः x + y = 36
x = 36 – y ……(2)
y = 12 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 36 – 12 = 24
y = 24 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 36 – 24 = 12
y = 16 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 36 – 16 = 20

बिन्दुओं D(24, 12), E(12, 24), C(20, 16) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु C(20, 16) पर मिलता है।
∴ C(20, 16) अर्थात् x = 20 और y = 10 रैखिक समीकरण युग्म का हल है।
अतः, बाग की लम्बाई = 20m
बाग की चौड़ाई = 16 m

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों
(ii) समान्तर रेखाएँ हों
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0
इस समीकरण की व्यापक रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तुलना करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -8
(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त

अर्थात् a₂ का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और b₂ का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।
जहाँ a₂ ≠ 2 अथवा b₂ ≠ 3 और a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0 है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 3x + 2y – 7 = 0 प्रकार की होगी।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-

अर्थात् a₂ और b₂ का मान 2 : 3 में होना चाहिए।
माना a₂ = 2k तथा b₂ = 3k, जहाँ k एक स्थिरांक है।

⇒ c₂ ≠ -8k
अतः अभीष्ट रैखिक समीकरण
2kx + 3ky – mk = 0, m ≠ -8
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 2x + 3y – 12 = 0 प्रकार की होगी।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-

⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0, जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 प्रकार की होगी।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल-
रैखिक समीकरण-युग्म लेने पर
x – y + 1 = 0
और 3x + 2y – 12 = 0
या x – y + 1 = 0
या x = y – 1 ……(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 0 – 1 = -1
y = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 3 – 1 = 2
y = 1 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 1 – 1 = 0

बिन्दुओं A(-1, 0), B(2, 3), C(0, 1) को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

बिन्दुओं D(4, 0), B(2, 3), E(0, 6) को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 आलेख प्राप्त होता है।
रैखिक समीकरणों के युग्म और x-अक्ष द्वारा बनाए गए त्रिभुज के शीर्षों को आलेख में छायांकित किया गया है।
∆ABD इस प्रकार बना त्रिभुज है।
∆ABD के शीर्षों के निर्देशांक हैं : A(-1, 0), B(2, 3) और D(4,0)

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14
x – y = 4
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
x + y = 14 ……(1)
और x – y = 4 ……(2)
(2) से, x = 4 + y …….(3)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
4 + y + y = 14
या 2y = 14 – 4
या 2y = 10
या y = 5
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 4 + 5 = 9
अतः, x = 9 और y = 5

(ii) s – t = 3

हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
s – t = 3 ……(1)

या 2s + 3t = 36 ……(2)
(1) से, s = 3 + t ……(3)
s का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
2(3 + t) + 3t = 36
या 6 + 2t + 3t = 36
या 6 + 5t = 36
या 5t = 36 – 6
या 5t = 30
या t = 6
t का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
s = 3 + 6 = 9
अतः, s = 9 और t = 6

(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
3x – y = 3 ……(1)
और 9x – 3y = 9
(1) से, 3x – 3 = y
या y = 3x – 3 ……(3)
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
9x – 3(3x – 3) = 9
या 9x – 9x + 9 = 9
या 9 = 9
यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है।
फिर भी हम x का कोई विशेष मान हल के रूप में प्राप्त नहीं कर सकते।
इसलिए हम y का भी कोई मान प्राप्त नहीं कर सकते।
यह स्थिति इसलिए पैदा हुई क्योंकि दी गई दोनों समीकरण एक ही हैं।
अतः, समीकरण (1) और (2) के असीमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 
0.4x + 0.5y = 2.3
हल-

(v) √2x + √3y = 0
√3x – √8y = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
√2x + √3y = 0 …….(1)
और √3x – √8y = 0 …….(2)
(2) से, √3x = √8y

हल-

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को (हलं कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
2x + 3y = 11 …..(1)
और 2x – 4y = -24 …..(2)
(2) से,
2x = 4y – 24
2x = 2[2y – 12]
x = 2y – 12 ….(3)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
2(2y – 12) + 3y = 11
या 4y – 24 + 3y = 11
या 7y = 11 + 24
या 7y = 35
या y = 5
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 2(5) – 12
= 10 – 12
= -2
अब y = mx + 3 लीजिए।
x = -2, y = 5 प्रतिस्थापित करने पर
5 = m(-2) + 3
या 5 – 3 = -2m
या 2 = -2m
या -2m = 2
या m = -1
अतः, x = -2, y = 5 और m = -1

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि दो संख्याएँ x और y हैं,
पहली शर्त के अनुसार,
x – y = 26 …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x = 3y ……(2)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3y – y = 26
या 2y = 26
या y = 13
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3 × 13 = 39
अतः दो संख्याएँ 39, 13 हैं।

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि दो सम्पूरक कोण x°, y° हैं और x° > y°
पहली शर्त के अनुसार,
x° + y° = 180° …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x° = y° + 18° …….(2)
x° का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
y° + 18° + y° = 180°
या 2y° = 180° – 18°
या 2y° = 162°
या y° = 81°
y° का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x° = 81° + 18° = 99°
अतः अभीष्ट कोण 99°, 81° हैं।

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 रु. में खरीदी। बाद में, उसने 3 बल्ले और 5 गेंदें 1750 रु. में खरीदीं। प्रत्येक
बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि एक बल्ले का मूल्य = x रु.
और एक गेंद का मूल्य = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
7x + 6y = 3800 रु. …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
3x + 5y = 1750 रु. …….(2)
(1) से, 7x = 3800 – 6y

x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

या 11400 + 17y = 1750 × 7
या 11400 + 17y = 12250
या 17y = 12250 – 11400
या 17y = 850
या y = 50
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

या x = 500
अतः, एक बल्ले का मूल्य = 500 रु.
और एक गेंद का मूल्य = 50 रु.

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km की दूरी के लिए भाड़ा 105 रु. है तथा 15 km के लिए भाड़ा 155 रु. है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
हल-
माना कि टैक्सी का निश्चित किराया = x रु.
और एक km यात्रा का किराया = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
x + 10y = 105 …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 15y = 155 ……(2)
(1) से, x = 105 – 10y ……(3)
x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
105 – 10y + 15y = 155
या 5y = 155 – 105
या 5y = 50
या y = 10
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 105 – 10 × 10
= 105 – 100
= 5
अतः, टैक्सी का निश्चित किराया = 5 रु.
और 1 किमी. यात्रा का किराया = 10 रु.
साथ ही 25 किमी. यात्रा का किराया = (10 × 25) रु. + 5 रु.
= [250 + 5] रु.
= 255 रु.

हल-
माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।

या 6(x + 3) = 5(y + 3)
या 6x + 18 = 5y + 15
या 6x – 5y = 15 – 18
या 6x – 5y = -3 ……(2)
x का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल-
माना कि जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
और जैकब के बेटे की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष पश्चात् जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
पहली शर्त के अनुसार,
x + 5 = 3(y + 5)
या x + 5 = 3y + 15
या x = 3y + 15 – 5
या x = 3y + 10 ……(1)
पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
दूसरी शर्त के अनुसार,
x – 5 = 7(y – 5)
या x – 5 = 7y – 35
या x – 7y = -35 + 5
या x – 7y = -30 ……(2)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3y + 10 – 7y = -30
या -4y = -30 – 10
या -4y = -40
या y = 10
y का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3(10) + 10
= 30 + 10
= 40
अत: जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष
तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिये। कौनसी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
हल-
दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है :
x + y = 5 ……(1)
और 2x – 3y = 4 …….(2)
विलोपन विधि-
(1) को 2 से गुणा करने पर
2x + 2y = 10 ……(3)
समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर
2x + 2y = 10
2x – 3y = 4
या 5y = 6

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
3x + 4y = 10 ……..(1)
और 2x – 2y = 2 ……(2)
विलोपन विधि-
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर
4x – 4y = 4 ……(3)
समीकरण (3) और (1) को जोड़ने पर
4x – 4y = 4
3x + 4y = 10
7x = 14
या x = 2
x का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3(2) + 4y = 10
6 + 4y = 10
4y = 10 – 6
4y = 4
y = 1
अतः, x = 2 और y = 1
प्रतिस्थापन विधि-
(2) से, 2x = 2 + 2y
या x = y + 1 …….(3)
x का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर ,
3(y + 1) + 4 = 10
या 3y + 3 + 4y = 10
या 7y = 10 – 3 = 7
या 7y = 7
या y = 1
y का यह मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1 + 1 = 2
अतः, x = 2 और y = 1

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
3x – 5y – 4 = 0 …….(1)
और 9x = 2y + 7
या 9x – 2y – 7 = 0
विलोपन विधि-
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर
9x – 15y – 12 = 0 ……(3)
समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर
9x – 15y – 12 = 0
9x – 2y – 7 = 0
या -13y – 5 = 0
या -13y = 5

हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :

विलोपन विधि-
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
3x + 4y = -6
3x – y = 9
या 5y = -15
या y = -3
y का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3x + 4(-3) = -6
या 3x – 12 = – 6
या 3x = -6 + 12
या 3x = 6
या x = 2
अतः, x = 2, y = -3
प्रतिस्थापन विधि-
(2) से, y = 3x – 9 …….(3)
y का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3x + 4(3x – 9) = -6
या 3x + 12x – 36 = -6
या 15x = -6 + 36
या 15x = 30
या x = 2
x का यह मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर
y = 3(2) – 9
= 6 – 9
= -3
अतः, x = 2, y = -3

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
हल-
माना कि भिन्न का अंश = x
भिन्न का हर = y
∴ अभीष्ट भिन्न = x/y
पहली शर्त के अनुसार,

या x + 1 = y – 1
या x – y + 2 = 0 …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,

या 2x = y + 1
या 2x – y – 1 = 0 ……..(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर
2x – y – 1 = 0
x – y + 2 = 0
या x – 3 = 0
या x = 3
x का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर
2 × 3 – y – 1 = 0
या 6 – y – 1 = 0
या 5 – y = 0
या y = 5
अतः, अभीष्ट भिन्न 3/5 है।

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी, दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
हल-
माना कि नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
पहली शर्त के अनुसार,
x – 5 = 3(y – 5)
या x – 5 = 3y – 15
या x – 3y + 10 = 0 …….(1)
दस वर्ष पश्चात् नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
सोनू की आयु = (y + 10) वर्ष
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 10 = 2(y + 10)
या x + 10 = 2y + 20
या x – 2y – 10 = 0 ……(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
x – 3y + 10 = 0
x – 2y – 10 = 0
या -y + 20 = 0
या -y = -20
या y = 20
y का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x – 2(20) – 0 = 0
या x – 40 – 10 = 0
या x = 50
अतः, नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष

(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि इकाई का अंक = x
दहाई का अंक = y
∴ अभीष्ट संख्या = 10y + x
पहली शर्त के अनुसार,
x + y = 9 …….(1)
संख्याएँ पलटने पर
इकाई का अंक = y
दहाई का अंक = x
∴ संख्या = 10x + y
दूसरी शर्त के अनुसार,
9[10y + x] = 2[10x + y]
या 90y + 9x = 20x + 2y
या 90y + 9x – 20x – 2y = 0
या -11x + 88y = 0
या x – 8y = 0 …….(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर
x – 8y = 0
x + y = 9
या -9y = -9
या y = 1
y का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x – 8 × 1 = 0
या x = 8
अतः, अभीष्ट संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8
= 18

(iv) मीना 2000 रु. निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से 50 रु. तथा 100 रु. के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किये। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु. और 100 रु. के कितने-कितने नोट प्राप्त किये।
हल-
माना कि मीना को मिले 50 रु. के नोटों की संख्या = x
साथ ही, मीना को प्राप्त 100 रु. के नोटों की संख्या = y
पहली शर्त के अनुसार,
x + y = 25 ……(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
50x + 100y = 2000
या x + 2y = 40 ……(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर
x + 2y = 40
x + y = 25
या y = 15
y का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x + 15 = 25
या x = 25 – 15 = 10
अतः, मीना को मिले 50 रु. और 100 के नोटों की संख्या क्रमशः 10 और 15 है।

(v) किराये पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु. अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रु. अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि पहले तीन दिन के लिए निश्चित किराया = x रु.
उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त किराया = y रु.
सरिता की स्थिति में
x + 4y = 27 …….(1)
सूसी की स्थिति में,
x + 2y = 21 …….(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
x + 4y = 27
x + 2y = 21
या 2y = 6
या y = 3
y का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x + 2(3) = 21
या x + 6 = 21
या x = 21 – 6 = 15
अतः पहले तीन दिन के लिए नियत किराया और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त किराया 15 रु. और 3 रु. है।

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