Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1

प्रश्न 1.
एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज पर रखे टेबिल लैम्प की स्थिति किस तरह बताएंगे?
हल:
सर्वप्रथम टेबिल लैम्प को एक बिन्दु तथा मेज को एक समतल मान लो। अब मेज पर कोई भी दो लम्ब कोर लीजिए। बड़े कोर से लैम्प की दूरी को माप कर अंकन कर लीजिए। मान लेते हैं कि यह दूरी 25 सेमी. है। इसी प्रक्रिया को दोहराते हुए अब छोटे कोर से लैम्प की दूरी मापकर अंकन कर लीजिए। पुनः मान लेते हैं कि. यह दूरी 40 सेमी. है। अब जिस क्रम में आपने लैम्प रखा है, उसके अनुसार उसकी स्थिति को (25, 40) या (40, 25) लिखा जा सकता है।

प्रश्न 2.
(सड़क योजना): एक नगर में दो मुख्य | सड़कें हैं, जो नगर के केन्द्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समान्तर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। 1 सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।
आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉस-स्ट्रीट दो सड़कों से बनी है, जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्वपश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है : यदि दूसरी सड़क उत्तरदक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवीं सड़क पूर्वपश्चिम दिशा में जाती है और ये क्रॉसिंग पर मिलती हैं, तब इसे हम क्रॉस-स्ट्रीट ( 2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि
(i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3 ) माना जा सकता है।
(ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को ( 3, 4) माना । जा सकता है।
हल:
सड़क योजना को निम्नांकित आकृति के अनुसार दिखाया गया है-

(i) क्रॉस-स्ट्रीट पर अर्थात् (4, 3) पर पहुँचने के लिए सबसे पहले आपको उत्तर-दक्षिण दिशा में जाने वाली चौथी तथा पूर्व-पश्चिम की दिशा में जाने वाली तीसरी सड़क को चुनना पड़ेगा, तभी (4, 3) द्वारा निर्देशित क्रॉस स्ट्रीट बिन्दु से चिह्न लगाकर दर्शाया जाएगा (उपर्युक्त चित्रानुसार)।।
(ii) इसी प्रकार (3, 4) द्वारा निर्देशित बिन्दु को चिह्न द्वारा दर्शाया जाएगा।

अब तुम देखोगे कि दोनों क्रॉस-स्ट्रीट अद्वितीय रूप से प्राप्त होते हैं क्योंकि दो सन्दर्भ रेखाओं में निम्नलिखित को आपने स्थान निर्धारण के लिए प्रयोग किया है

इस प्रश्न को निम्नांकित मार्ग योजना के आधार पर भी हल किया जा सकता है
दोनों की क्रॉस मार्ग ऊपर की आकृति में चिह्नित किए गए हैं। ये.अद्वितीयतः प्राप्त किए जाते हैं क्योंकि दो सन्दर्भ रेखाओं में हमने स्थान निर्धारण के लिए दोनों का प्रयोग किया है।

निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए-
(i) कार्तीय तल में किसी बिन्द की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।
हल:
(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं को अक्ष कहते हैं। प्रायः क्षैतिज रेखा को x-अक्ष तथा ऊर्ध्वाधर रेखा को y-अक्ष कहा जाता है।

(ii) इन दो रेखाओं अर्थात् क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर के द्वारा बनाए गए प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहा जाता है।

(iii) वह बिन्दु जहाँ क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं, मूल-बिन्दु कहलाता है।

प्रश्न 2.
आकृति देखकर निम्नलिखित को लिखिए
(i) B के निर्देशांक

(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(iv) निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(v) D का भुज
(vi) बिन्दु की कोटि
(vii) बिन्दु L के निर्देशांक
(viii) बिन्दु M के निर्देशांक।
हल:
(i) बिन्दु B तक पहुँचने के लिए हमें मूल बिन्दु 0 से 5 एकक बायीं ओर तथा 2 एकक ऊपर की ओर चलना होगा। अर्थात् बिन्दु B का x-अक्ष पर B के निर्देशांक = (-5, 2)
(ii) बिन्दु C पर पहुँचने के लिए हमें मूल बिन्दु 0 से 5 एकक दायीं ओर तथा 5 एकक नीचे की ओर चलना होगा। अर्थात् बिन्दु C का x-अक्ष पर निर्देशांक 5 तथा y-अक्ष पर – 5 है। अतः बिन्दु C के निर्देशांक = (5, -5)
(iii) दिए गए निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु E है।
(iv) दिए गए निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु G है।
(v) बिन्दु D का भुज अर्थात् x-अक्ष पर निर्देशांक
(vi) बिन्दु H का निर्देशांक y-अक्ष पर – 3 है।
(vii) बिन्दु L के निर्देशांकों के लिए मूल बिन्दु 0 से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ऊपर की ओर 5 एकक तक चलेंगे। अर्थात् इस प्रश्न के अनुसार x-अक्ष पर निर्देशांक 0 तथा y-अक्ष पर निर्देशांक 5 एकक है। अतः बिन्दु L के निर्देशांक = (0, 5)
(viii) बिन्दु M के निर्देशांकों के लिए मूल बिन्दु 0 से क्षैतिज अक्ष पर 3 एकक बायीं ओर चलेंगे। अर्थात् इस प्रश्न के अनुसार x-अक्ष पर निर्देशांक – 3 एकक
तथा y-अक्ष पर निर्देशांक नीचे की ओर 0 है। अतः बिन्दु M के निर्देशांक = (-3, 0) हैं।

निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3

प्रश्न 1.
किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिन्दु (-2, 4), (3, – 1), (- 1, 0), (1, 2) और (-3, -5) स्थित हैं? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए।
हल:
हम दिए गए बिन्दुओं के संगत चतुर्थांश का निर्धारण अग्रांकित की सहायता से करते हैं-

अब:

(i) बिन्दु (-2, 4) में; x-निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक धनात्मक है। अतः बिन्दु (-2, 4) चतुर्थांश II में स्थित है। ∵ द्वितीय चतुर्थांश में x < 0, y > 0
(ii) बिन्दु (3, – 1) में; x-निर्देशांक धनात्मक है और -निर्देशांक ऋणात्मक है। अतः बिन्दु (3, – 1) चतुर्थांश IV में स्थित है। ∵ चतुर्थ चतुर्थांश में x > 0, y < 0
(iii) बिन्दु (- 1, 0) में; x-निर्देशांक ऋणात्मक है और -निर्देशांक शून्य है। अतः बिन्दु (- 1, 0) x-अक्ष पर स्थित है।
(iv) बिन्दु (1, 2) में; x-निर्देशांक धनात्मक है और y-निर्देशांक धनात्मक है। अतः बिन्दु (1, 2) चतुर्थांश I में स्थित है। ∵ प्रथम चतुर्थांश में x > 0, y > 0
(v) बिन्दु (- 3, – 5) में; x-अक्ष निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक ऋणात्मक है। अतः बिन्दु ” (- 3, – 5) में चतुर्थांश III में स्थित है। ∵ तृतीय चतुर्थांश में x < 0, y < 0

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिए-

हल:
प्रश्न में दी गई सारणी में दिए गए बिन्दु नीचे दिखाए अनुसार आलेख में आलेखित किए गए हैं-

पैमाना x-अक्ष पर-1 बड़ा भाग = 1 सेमी.
तथा y-अक्ष पर-1 बड़ा भाग = 1 सेमी.

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