Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 2 बहुपद

Chapter 2 बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए
(i) 4x² – 3x +7
उत्तर:
4x² – 3x +7
दिया गया व्यंजक x के पदों में अर्थात् एक चर में बहुपद है। चूंकि व्यंजक में x की सभी घातें पूर्णांक हैं।

(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
उत्तर:
x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
दिया गया व्यंजक एक चर में बहुपदीय नहीं है क्योंकि इस व्यंजक में तीन चर दिये गये हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में x का गुणांक लिखिए
(i) 2 + x² + x
उत्तर:
2 + x² + x
इस दिए गए बहुपदीय व्यंजक में x² का गुणांक 1 हैं।

(ii) 2 – x² + x³
उत्तर:
2 – x² + x³
इस दिए गए बहुपदीय व्यंजक में x² का गणांक -1 है।

इस दिए गए बहुपदीय व्यंजक में x² का गुणांक ए है।

(iv) √2x – 1
उत्तर:
√2x – 1
इस दिए गए व्यंजक में x² का पद है ही नहीं, यदि प्रदर्शित भी करें तो x² का गुणांक शून्य होगा।

प्रश्न 3.
35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
हल:
35 घात का द्विपद = 3x³⁵ – 4
100 घांत का एक पदी = \sqrt{2}y¹⁰⁰
विद्यार्थी इन दोनों उदाहरणों के अतिरिक्त भी अलग-अलग गुणांकों वाले कुछ और पद स्वयं भी लिख सकते हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए
(i) 5x³ + 4x² + 7x
उत्तर:
5x³ + 4x² + 7x
दिए गए बहुपदी व्यंजक में बहुपद की अधिकतम घात 3 है। अत: बहुपद की घात 3 है।

(ii) 4 – y²
उत्तर:
4 – y²
दिए गए बहुपदी व्यंजक में बहुपद की अधिकतम घातांक 2 है। अत: बहुपद की घात 2 है।

(iii) 5t – √7
उत्तर:
5t – √7
दिए गए बहुपदी व्यंजक में बहुपद की अधिकतम घातांक 1. है। अतः बहुपद की घात 1 है।

(iv) 3
उत्तर:
3
दिए गए व्यंजक में एक ही पद है जो x से रहित है। अतः यहाँ इस पद की घात 0 है।

प्रश्न 5.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं
(i) x² + x
उत्तर:
x² + x
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 2 है। अतः दिया गया व्यंजक द्विघाती बहुपद है।

(ii) x – x³
उत्तर:
x – x³
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 3 है। अत: दिया गया व्यंजक त्रिघाती बहुपद है।

(iii) y + y² + 4
उत्तर:
y + y² + 4
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 2 है। अतः दिया गया व्यंजक द्विघाती बहुपद है।

(iv) 1 + x
उत्तर:
1 + x
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 1 है। अतः दिया गया व्यंजक एक रैखिक बहुपद है।

(v) 3t
उत्तर:
3t
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 1 है। अतः दिया गया व्यंजक एक रैखिक बहुपद है।

(vi) r²
उत्तर:
r²
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 2 है। अतः दिया गया व्यंजक एक द्विघाती बहुपद है।

(vii) 7x
उत्तर:
7x
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 3 है। अतः दिया गया व्यंजक एक त्रिघाती बहुपद है। 

Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
हल:
प्रश्नानुसार 5x – 4x² + 3 = p (x)
(i) x = 0
.:. p(0) = 5.0 – 4.(0)² + 3
= 0 – 0 + 3
= 3

(ii) x = – 1
p (- 1) = 5 (-1) – 4(-1)² + 3
= -5 – 4 + 3
= – 6

(iii) x = 2
p (2) = 5(2) – 4 (2)² + 3
= 10 – 16 + 3
= – 3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p (0), p (1) और p (2) ज्ञात कीजिए
(i) p (y) = y² – y +1
(ii) p (1) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) p (x) = x
(iv) p (x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p (y) = y² – y + 1
p (0) = p (0) = (0)² – (0) + 1
= 1

p (1) ⇒ p (1) = (1)² – (1) + 1
= 1 – 1 + 1 = 1

p (2) ⇒ p (2) = (2)² – (2) + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p (t) = 2 + t + 2t² – t³
p (0) ⇒ p (0) = 2 + 0 + 2 (0)² – (0)³
= 2 + 0 + 0 – 0 = 2

p (1) ⇒ p (1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4

p (2) ⇒ p (2) = 2 + 2 + 2 (2)² – (2)³
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4

(iii) p (x) = x³
p (0) ⇒ p (0) = (0)³ = 0
p (1) ⇒ p (1) = (1)³ = 1
p (2) ⇒ p (2) = (2)³ = 8

(iv) p (x) = (x – 1) (x + 1) = x² – 1
p (0) ⇒ p (0) = (0)² – 1 = – 1
p (1) ⇒ p (1) = (1)² – 1= 0
p (2) ⇒ p (2) = (2)² – 1 = 4 – 1 = 3

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं

(iii) p (x) = x² – 1; x = 1, x = – 1
हल:
p (x) = x² – 1; x = 1, x = – 1
सर्वप्रथम इस बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0 पुनः इस बहुपद में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)² – 1 = 1 – 1 = 0
अत: यह सत्यापित होता है कि मान x = 1 तथा – 1 बहुपद – 1 का शून्यक है।

(iv) p (x) = (x + 1) (x – 2); x = – 1, 2
हल:
p (x) = (x + 1) (x – 2); x = – 1, 2
सर्वप्रथम इस बहुलक में x = – 1 रखने पर ।
p (- 1) = (-1 + 1) (-1-2) = 0 . (-3) = 0

पुनः इस बहुपद में x = 2 रखने पर
p (2) = (2 + 1) (2 – 2) = 3.0 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = – 1 व 2 बहुपद (x + 1) (x – 2) का शून्यक है।

(v). p (x) = x²; x = 0
हल:
p (x) = x²; x = 0 इस बहुपद में x = 0 मान प्रतिस्थापित करने पर
p (0) = (0)² = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = 0 बहुपद p (x) = x का शून्यक है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए
(i) p (x) = x + 5
हल:
p (x) = x + 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् x + 5 = 0
या x = -5
अतः – 5 बहुपद x + 5 का एक शून्यक है।

(ii) p (x) = x – 5
हल:
p (x) = x – 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् x – 5 = 0
या x = 5
अत: 5 बहुपद x – 5 का एक शून्यक है।

(iii) p (x) = 2x + 5
हल:
p (x) = 2x + 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 2x + 5 = 0

(iv) p (x) = 3x – 2
हल:
p (x) = 3x – 2
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 3x – 2 = 0

(v) p (x) = 3x
हल:
p (x) = 3x
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 3x = 0
या x = 0
अतः x = 0 इस बहुपद का एक शून्यक है।

(vi) p (x) = ax; a ≠ 0
हल:
p (x) = ax; a ≠ 0
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् ax = 0
या x= 0 ⇒ 0
अतः 0 बहुपद ax का शून्यक है।

(vii) p (x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल:
p (x) = cx + d; c # 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् cx + d = 0
या cx = -d

Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए
(i) x + 1
हल:
प्रश्नानुसार x³ + 3x² + 3x + 1 = x + 1

यहाँ शेषफल 0 है।

वैकल्पिक विधि-x + 1 का शून्यक – 1 है।
अत: p (x) में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (-1)³ +3 (-1)² +3 (-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0 जो कि शेषफल है।

अतः शेषफल 27/8 है।

(iii) x
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x²+ 3x + 1
यहाँ भाजक x है अत: x = 0 लेने पर
p (0) = (0) + 3 (0) + 3 (0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1 = 1
अर्थात् p (0) = 1
अतः शेषफल 1 है।

(iv) x + π
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 यहाँ x + π भाजक है ।
अतः x + π = 0 लेने पर या x = – π
अब p (x) में x = – π प्रतिस्थापित करने पर
p (- π) = (-π)³ + 3 (-π)² + 3 (-π) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1
अतः शेषफल – π³ + 3π² – 3π + 1 है।

(v) 5 + 2x
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 यहाँ भाजक 5 + 2x है।
अत: 5 + 2x = 0 लेने पर
2x = -5

प्रश्न 2.
x³ – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि p (x) = x³ – ax² + 6x – a यहाँ भाजक x – a है
∴ माना x – a = 0
या x = a अब बहुपद में x = a

प्रतिस्थापित करने पर
p (a) = (a)³ – a (a)² + 6 (a)- a
= a³ – a² + 6a – a
= 5a
अतः शेषफल 5a है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं?
हल:
हम जानते हैं कि दिया हुआ बहुपद p (x) = 7 + 3x का गुणज केवल तब होगा जबकि 7 + 3x से p (x) को भाग देने पर कुछ भी शेष न बचे।
अब 7 + 3x = 0 लेने पर
7+ 3x = 0
या 3x = – 7
या x = -7
दिए हुए बहुपद में x का यह मान प्रतिस्थापित करने पर

Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x + 1 है
(i) x³ + x² + x + 1
हल:
माना कि p (x) = x³ + x² + x + 1
यहाँ x + 1 का शून्यक – 1 है
तब p (- 1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1
= 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
हल:
माना कि p (x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
यहाँ x + 1 का शून्यक – 1 है
तब p (- 1) = (-1)⁴ + (- 1)³ + (- 1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
हल:
माना कि p (x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
यहाँ x + 1 का शून्यक – 1 है
तब p (- 1) = (-1)⁴ + 3 (- 1)³ + 3 (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iv) x³ – (2 + √2)x + √2
हल:
माना कि p (x) = x³ – (2 + √2)x + √2
यहाँ x + 1 का शून्यक – 1 है
तब p (- 1) = (- 1)³ – (- 1) – (2 + √2) (-1) + √2
= – 1 – 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2 + 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x³ – (2 + √2)x + √2 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (x), p (x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं
(i) p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g (x) = x + 1
हल:
प्रश्नानुसार
p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1
तथा g (x) = x + 1
अब x + 1 = 0 या x = – 1

x = – 1 का मान p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p (- 1) = 2 (- 1)³ + (- 1)² – 2 (- 1) – 1
= – 2 + 1 + 2 – 1
= 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार g (x) = x + दिए गए बहुपद p (x) = 2x + 2 – 2x – 1 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g (x) = x + 2
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
तथाg (x) = x + 2
अब x + 2 = 0 या x = – 2

x = – 2 मान दिए गए p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p (-2) = (-2)³ + 3 (-2)² + 3 (-2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1
= – 14 + 13
= – 1 ≠ 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार g (x) = x + 2 दिए गए बहुपद p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii)p (x) = x³ – 4x² + x + 6, 8 (x) = x – 3
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ – 4x² + x + 6 तथा
g (x) = x – 3 अब x – 3 = 0 या x = 3

x = 3 मान दिए गए p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p (3) = (3)³ – 4(3)² + (3) + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36
= 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार g (x) = x – 3 दिए गए बहुपद p (x) = r – 4r + x + 6 का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p (x) का एक गुणनखण्ड हो
(i) p (x) = x² + x + k
हल:
प्रश्नानुसार (x – 1) बहुपद p (x) = + x + k का एक गुणनखण्ड है
अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।

अर्थात् (1)² + 1 + k = 0
1 + 1 + k = या
2 + k = 0
k = – 2

(ii) p (x) = 2x² + kx + √2
हल:
प्रश्नानुसार (x – 1) बहुपद p (x) = 2x² + kx + √2 का एक गुणनखण्ड है
अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् 2 (1)² + k (1) + √2 = 0
या 2 + k + √2 = 0
या k= -(2 + √2)

(iii) p (x) = kx² – √2x + 1
हल:
प्रश्नानुसार (x – 1) बहुपद p (x) = kx² – √2x + 1 का एक गुणनखण्ड है अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् k (1)² – √2 (1) + 1 = 0
या k – √2 + 1 = 0.
k = √2 – 1

(iv) p (x) = kx² – 3x + k
हल:
प्रश्नानुसार (x – 1) बहुपद p (x) = kr – 3x + k का एक गुणनखण्ड है
अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् k(1)² – 3 (1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
या k = 3/2

प्रश्न 4.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 12x² – 7x + 1
हल:
12x² – 7x + 1
यहाँ पर x का गुणांक = – 7
∴ दो संख्याओं का योग – 4 + (-3) लेना है।
और x का गुणांक x स्थिर पद = 12 × 1 = 12
∴ दो संख्याओं का गुणा – 4 × (-3) लेना है।
= 12x² – 4x – 3x + 1
= 4x (3x – 1) – 1 (3x – 1)
= (3x – 1) (4x – 1)

(ii) 2x² + 7x + 3
हल:
2x² + 7x + 3
x का गुणांक = 7 = 1 + 6
का गुणांक x स्थिर पद = 2 × 3 = 6
∴ दो संख्याओं का गुणा 6 × 1 लेना है।
= 2x² + 6x + x + 3
= 2r (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (2x + 1)

(iii) 6x² + 5x – 6
हल:
6x² + 5x – 6
यहाँ पर x का गुणांक = 5
का गुणांक – स्थिर पद = 6 × (-6) = – 36
∴ दो संख्याओं का योग 9 + (-4) = 5 लेना है।
और दो संख्याओं का गुणनफल 9 × (-4) = – 36 लेना है।
= 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x + 3) – 2 (2x + 3)
= (2x + 3) (3x – 2)

(iv) 3x² – x – 4
हल:
3x² – x – 4
यहाँ पर x का गुणांक = – 1
x² का गुणांक x स्थिर पद
3x (-4) = – 12
∴ दो संख्याओं का योग = – 4 + 3 = – 1
और दो संख्याओं का गुणनफल = -4 × 3 = – 12..
= 3x² – 4x + 3x – 4
= x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 2x² – x + 2
हल:
माना कि p (x) = x³ – 2x² – x + 2
दिए गए बहुपद के अचर पद 2 के समस्त 1 गुणनखण्ड क्रमशः + 1 तथा + 2 हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)³ – 2 (- 1)² – (- 1) + 2
= – 1 – 2 + 1 + 2
= 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

अब बहुपद p (x) को x + 1 से भाग देने पर

अतः x³ – 2x² – x + 2 = (x + 1) (x² – 3x + 2)
अब x² – 3x + 2 के गुणनखण्ड करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् x³ – 2x² – x + 2
= (x + 1) (x² – 3x + 2)
= (x + 1) [x² – 2x – x + 2]
= (x + 1) [x (x – 2) – 1 (x – 2)]
= (x + 1) (x – 2) (x – 1)
= (x + 1) (x – 1) (x – 2)

(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
हल:
माना कि p (x) = x³ – 3x² – 9x – 5
दिए गए बहुपद के अचर पद 5 के समस्त गुणनखण्ड क्रमशः + 1 तथा + 5 हैं।
निरीक्षण द्वारा बहुपद में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1)² – 9(-1)-5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= – 9 + 9 = 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p (x) को x + 1 से भाग देने पर

अत: x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1)(x² – 4x – 5)
अब x² – 4x – 5 के गुणनखण्ड करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् x³ – 3x² – 9x – 5
= (x + 1) (x² – 4x – 5)
= (x + 1) [x² – 5x + x – 5]
= (x + 1) [x (x – 5) + 1 (x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
= (x + 1) (x + 1) (x – 5)

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
हल:
माना कि p (x) = x³ + 13x² + 32x + 20
दिए गए बहुपद के अचर पद 20 के समस्त गुणनखण्ड क्रमशः + 1, + 2, + 4, + 5, + 10 तथा + 20 हैं।

निरीक्षण द्वारा बहुपद में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (-1)³ + 13 (-1)² + 32 (-1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33
= 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p (x) को x + 1 से भाग देने पर

अत: x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1) (x² + 12x + 20)
अब x² + 12x + 20 के गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् x³ + 13x² + 32x + 20
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) [x² + 10x + 2x + 20]
= (x + 1) [x (x + 10) + 2 (x+ 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
हल:
माना कि p (y) = 2y³ + y² – 2y – 1
दिए गए अचर पद 1 के समस्त गुणनखण्ड + 1 हैं।
निरीक्षण द्वारा बहुपद में y = 1 रखने पर
p (1) = 2 (1)³ + (1)² – 2 (1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3 = 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (y – 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p (y) को y – 1 से भाग देने पर

अत: 2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (2y² + 3y + 1)
अब 2y² + 3y + 1 के गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए मध्यपद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् 2y³ + y² – 2y – 1
= (y – 1) (2y² + 3y + 1)
= (y – 1) [2y² + 2 + y + 1]
= (y – 1) [27 (y + 1) + 1 (y + 1)]
= (y – 1) (y + 1) (2) + 1) 

Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (x + 4) (x + 10)
हल:
(x + 4) (x + 10) दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 व b = 10 है।
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10) x + 4.10
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)
हल:
(x + 8) (x – 10)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 8 तथा b = – 10
अर्थात् (x + 8) (x – 10)= x + (8 – 10)x + 8 (- 10)
= x² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
हल:
(3x + 4) (3x – 5) यहाँ माना 3x = ।
∴ दिया गया व्यंजक = (y + 4) (y – 5)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 तथा b = -5
अर्थात् (y + 4) (y – 5) = y² + (4 – 5)y +4. (-5)
= y² – y – 20

अब पुनः y का मान रखने पर
= (3x)² – 3x – 20
= 9x² – 3x – 20

अब पुनः x का मान रखने पर
= (y)² – 9494
= y² – 9494

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल:
(3 – 2x) (3 + 2x)
= – (2x – 3) (2x + 3)
= – (2x + 3) (2x – 3)

यहाँ माना 2x = y
∴ दिया गया व्यंजक = – (y + 3) (v – 3)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 3, b = – 3
अर्थात् – (y + 3) (y – 3)
= – [y² + (3 – 3) y – 9]
= – [y² – 9] के स्थान पर 2x मान प्रतिस्थापित करने पर
= – [(2x)²– 9] = – [4x² – 9]
= 9 – 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए-
(i) 103 × 107
हल:
103 × 107 = (100 + 3) x (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 3, b = 7 तथा x = 100 अर्थात् (100 + 3) (100 + 7)
= (100) + (3 + 7) 100 + 3 × 7 = 10000 + 1000 + 21
= 11021

(ii) 95 × 96
हल:
95 × 96 = (100 – 5) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = – 5, b = – 4 तथा x = 100 अर्थात् (100 – 5) (100 – 4)
= (100) + (-5 – 4) 100 + -5 × – 4
= 10000 – 900 + 20 = 10020 – 900
= 9120

(iii) 104 × 96
हल:
104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
= (100)² – (4)² सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 4
अर्थात् (100)² – (4)²
= 10000 – 16
= 9984

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 9x² + 6xy + y²
हल:
9x² + 6xy + y²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर
अर्थात् 9x² + 6xy + y²
= (3x)² + 2 (3x) (y) + (y)²
= (3x + y) = (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y² – 4y + 1
हल:
4y² – 4y + 1
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का प्रयोग करने पर अर्थात् 4y² – 4y + 1
= (2y)² – 2 (2y) (1) + (1)²
= (2y – 1)²
= (2y – 1) (2y – 1) उत्तर

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए
(i) (x + 2y + 4z)²
हल:
(x + 2y + 4z)²
सर्वसमिका (a + b + c) = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद
(x + 2y + 4z)² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
a = x, b = 2y तथा c = 4z
(x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2 . x. 2y + 2 . 2y . 4z + 2 . 4z . x
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x – y + z)²
हल:
(2x – y + z)² = [2x + (- y) + z]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [2x + (-y) + z]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[2x + (-y) + 2]² = (2x)² + (-y)² + (z)² + 2 (2x) (-y) + 2 (-y) (2) + 2 (2) (2x)
= 4 + y + z – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (- 2x + 3y + 2z)²
हल:
(- 2x + 3y + 2z)² = [(- 2x) + 3y + 22]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद [(- 2x) + 3y + 2z]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[(- 2x) + 3y + 2z]² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2 (- 2x) (3y) + 2 (3y) (27) + 2 (25) (-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8x

(iv) (3a – 7b – c)²
हल:
(3a – 7b – c)² = [(3a) + (-7b) + (-c)]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(3a) + (-7b) + (-c)]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[(3a) + (-7b) + (-c)]² = (3a)² + (-7b)² + (- c)² + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b)(-c) + 2 (- c) (3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (- 2x + 5y – 3z)²
हल:
(- 2x + 5y – 3z)² = [(-2x) + 5y + (-3z)]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(-2x) + 5y + (-3z)]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर [(- 2x) + 5y + (-3z)]² = (- 2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2 (- 2x) (5y) + 2 (5y)(-3z) + 2 (-3z) (-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12xz.

प्रश्न 5.
गुणनखण्डन कीजिए
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz.
हल:
4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz.
सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार = (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2 (2x) (31) + 2 (3y) (-4z) + 2 (-4z) (2x)
= (2x + 3y – 4z)² = (2x + 3y -4z) (2x + 3y – 47)

(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz.
हल:
2x² + y² + 8z² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz.
सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
= (-√2x)² + (y)² + (2√2)² +2(-√2x)(y) + 2(y) (2√2z) + 2(2√2z)(-√2x)
= [(-√2x) + y + (2√2z)]
= (-√2x + y + 2√2z)
=(-√2x + y + 2√2z)(-√2x + y+2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए
(i) (2x + 1)³
हल:
(2x + 1)³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (2x + 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 2x तथा b = 1
∴ (2x + 1)³
= (2x)³ + (1)³ + 3 (2x ). 1 . (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 6x . (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 उत्तर

(ii) (2a – 3b)³
हल:
(2a – 3b)³
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)³ तथा [(2a) – (3b)]³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 2a तथा b = 3b
∴ (2a – 3b)³
= (2a)³ – (3b)³ -3 (2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) (99)³
हल:
(99)³ = (100 – 1)³
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)³ तथा (100 – 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 1
∴ (100 – 1)³ = (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 1000300 – 30001
= 970299

(ii) (102)³
हल:
(102)³ = (100 + 2)³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (100 + 2)³ की तुलना करने पर ।
यहाँ a = 100 तथा b = 2
∴ (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3(100) (2) (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 1061208

(iii) (998)³
हल:
(998)³ = (1000 – 2)³
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)³ तथा (1000 – 2)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 1000 तथा b = 2
:. (1000 – 2)³ = (1000)³ – (2)³ – 3(1000) (2) (1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000 (1000 – 2)
= 1000000000 -8-6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 8a³ + b³ + 12a²b+ 6ab²
हल:
8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
[सर्वसमिका x³ + y ³+ 3xy (x + y) = (x + y)³ के अनुसार]
यहाँ x = 2a तथा y = b दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है
∴ = (2a)³ + (b)³ + 3(2a) (b) (2a + b)
= (2a + b)³

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
हल:
8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
सर्वसमिका x³ – y³ – 3xy (x – y) = (x – y)³ के अनुसार
यहाँ x = 2a, y = b
∴ = (2a)³ – (b)³ – 3 (2a) (b) (2a – b)
= (2a – b)³

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
हल:
27 – 125a³ – 135a + 225a²
सर्वसमिका x³ – y³ – 3xy (x – y) = (x – y)³ के अनुसार
यहाँ x = 3, y = 5a
∴ = (3)³ – (5a)³ – 3(3) (5a) (3 – 5a)
= (3 – 5a)³

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
हल:
64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
सर्वसमिका x³ – y³ – 3xy (x – y) = (x – y)³ के अनुसार
यहाँ x = 4a तथा y = 3b
∴ = (4a)³ – (3b)³ – 3(4a) (3b) (4a – 3b)
= (4a – 3b)³

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
हल:
x + y = (x + y) (x² – xy + y²)
R.H.S. = (x + y) (x² – xy + y²)
= x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हल:
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
R.H.S: = (x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – yx² – xy² – y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² – y³
= x³ – y³
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 27y³ + 125z³
हल:
27y³ + 125z³
सर्वसमिका a + b = (a + b) (a² – ab + b²) । के अनुसार
यहाँ a = 3y तथा b = 5z
अर्थात् 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²]
= (3y + 5z) (9y² -15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
हल:
64m³ – 343n³
सर्वसमिका a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) के अनुसार
यहाँ a = 4m तथा b = 7n
अर्थात् 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
= (4m – 7n) [(4m)² + (4m) (7n) + (7n)²]
= (4m – 7n) (16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11.
गुणनखण्डन कीजिए 27x³ + y + 2z³ – 9xyz.
हल:
27x³ + y + 2z³ – 9xyz
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) के अनुसार
यहाँ a = 3x, b = y, c = 2
∴ 27x³ + y³ + z³ – 9xyz = (3x)³ + (y)³ + (2)³ – 3 (3x) (y) (3)
= (3x + y + z) [(3x)² + (y)² + (z)² – (3x) (y) – (y) (2) – (3x) (2)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हल:
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
R.H.S. = (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= 1/2(x + y + c) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2xz]
= 1/2 (x + y + z) [2x² + 2y² + 2x² – 2xy – 2yz – 2rx]
= 1/2 (x + y + z).2 (x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= 1/2 (x + y + z) (x² + y² + z² – zy – yz – xz)
∴ पाठ्यपुस्तक की सर्वसमिका VIII से
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + 2) (x² + y² + z³ – xy – yz – yz) होता है।
अत: इसका मान = x³ + y³ + z³ – 3xyz. = L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।
हल:
प्रश्नानुसार x + y + z = 0 या x + y = – z ……………..(i)
दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर
(x + y)³ = (-z)³
= x³ + y³ + 3xy (x + y) = -z³
= x³ + y³ + 3xy (-z) = -z³ [∵ x + y = – z (i) से]
= x³ + y³ – 3xy = -z³
= x³ + y³ + z = 3xyz. (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
(i) (- 12)³ + (7)³ + (5)³
हल:
(- 12)³ + (7)³ + (5)³ माना कि a = – 12, b = 7 तथा c = 5
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ a + b + c = – 12 + 7 + 5 = 0
∴ (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
हल:
(28) + (- 15) + (- 13)3 माना कि a = 28, b = – 15 तथा c = – 13
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ a + b + c = 28 – 15 – 13 = 0
∴ (28) + (- 15) + (- 13) = 3 . (28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिएक्षेत्रफल :
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
हल:
क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई = 25a² – 35a + 12
= 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) -4 (5a-3)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ (i) यदि लम्बाई (5a – 4) तो चौड़ाई (5a -3) होगी।

(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल:
यदि लम्बाई (5a – 3) तो चौड़ाई (5a – 4) होगी।

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x² – 12x
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 3x² – 12x
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 3x (x – 4)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक
= 3, x और x – 4 हैं।

(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 12ky² + 8ky – 20k अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई ।
= 4k (3y² + 2y -5)
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4k [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y – 1)] या लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= 4k (3y + 5) (y – 1)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्रमशः 4k, (3y + 5) तथा (y – 1) हैं। 

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 2 बहुपद, Study Learner