RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 10 ठोस आकारों का चित्रण

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या में 163-164

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मिलान कीजिए (आपके लिए, पहला मिलान किया हुआ है) –

उत्तर:

(a) → (ii) द्वि-विमीय → (iii) वर्ग
(b) → (iii) त्रि-विमीय → (vii) शंकु
(c) → (i) त्रि-विमीय → (ii) बेलन
(d) → (iv) द्वि-विमीय → (viii) त्रिभुज
(e) → (v) त्रि-विमीय → (vi) घन
(f) → (vii) द्वि-विमीय → (iv) वृत्त
(g) → (vi) त्रि-विमीय → (v) घनाभ
(h) → (viii) त्रि-विमीय → (i) गोला।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 164-165

इन्हें कीजिए (क्रमांक 10.1)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चित्रों (वस्तुओं) का उनके आकारों से मिलान कीजिए –

उत्तर:

(i) → (c)
(ii) → (d)
(iii) → (e)
(iv) → (b)
(v) → (a).

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 165

3 – D आकारों के दृश्य

प्रश्न 1.
एक गिलास के निम्नलिखित दृश्य हो सकते हैं –

एक गिलास का ऊपर से दृश्य (top view) संकेन्द्रीय वृत्तों का एक युग्म क्यों है? यदि इसे भिन्न दिशा से देखा जाए, तो क्या पार्श्व दृश्य कुछ और प्रकार का प्रतीत होगा ? इसके बारे में सोचिए।
उत्तर:
एक गिलास का ऊपर से दृश्य संकेन्द्रीय वृत्तों का एक युग्म है क्योंकि इस स्थिति में हम गिलास के ऊपर और नीचे की स्थिति देखते हैं जो कि विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्त हैं। ऊपर के वृत्त के केन्द्र नीचे वाले वृत्त के ठीक नीचे हैं। नहीं, इसको भिन्न दिशा से देखने पर इसका पार्श्व दृश्य कुछ और प्रकार का प्रतीत नहीं होगा।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 166

इन्हें कीजिए (क्रमांक 10.2)

प्रश्न 1.
अपने आस-पास की विभिन्न वस्तुओं को विभिन्न स्थितियों से देखिए। अपने मित्रों के साथ उनके विभिन्न दृश्यों की चर्चा कीजिए।
उत्तर:
छात्र स्वयं करके देखें।

ठोस आकारों का चित्रण Ex 10.1

प्रश्न 1.
दिए हुए प्रत्येक ठोस के लिए, दो दृश्य दिए गए हैं। प्रत्येक ठोस के लिए संगत, ऊपर से दृश्य और सामने से दृश्य का मिलान कीजिए। इनमें से एक आपके लिए किया गया है।

उत्तर:

(a) → (iii) सामने से → (iv) ऊपर से
(b) → (i) सामने से, (v) ऊपर से
(c) → (iv) सामने से → (ii) ऊपर से
(d) → (v) सामने से → (iii) ऊपर से
(e) → (ii) सामने से → (i) ऊपर से।

प्रश्न 2.
दिए हुए प्रत्येक ठोस के लिए, तीन दृश्य दिए गए हैं। प्रत्येक ठोस के संगत, ऊपर से दृश्य, सामने से दृश्य और पार्श्व दृश्य की पहचान कीजिए।

उत्तर:

(a) (i)→ सामने, (ii) → पार्श्व, (iii) ऊपरी
(b) (i) → पार्श्व, (ii) सामने, (iii) ऊपरी
(c) (i) → सामने, (ii) पार्श्व, (iii) ऊपरी
(d) (i) → सामने, (ii) पार्श्व, (iii) ऊपरी।

प्रश्न 3.
दिए हुए प्रत्येक ठोस के लिए, ऊपर से दृश्य, सामने से दृश्य और पार्श्व दृश्य की पहचान कीजिए –

उत्तर:

(a) (i) → ऊपरी, (ii) → सामने, (iii) पार्श्व
(b) (i) → पार्श्व, (ii) सामने, (iii) ऊपरी
(c) (i)→ ऊपरी, (ii) पार्श्व, (iii) सामने
(d) (i) → पार्श्व, (ii) सामने, (iii) ऊपरी
(e) (i)→ सामने, (ii) ऊपरी, (iii) पार्श्व।

प्रश्न 4.
दी हुई वस्तुओं के, सामने से दृश्य, पार्श्व दृश्य और ऊपर से दृश्य खींचिए –

उत्तर:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 171

प्रश्न 1.
अब एक अन्य मानचित्र को देखिए, जो उसकी 10 वर्षीय बहन मीना ने अपने घर से अपने स्कूल का मार्ग दर्शाने के लिए खींचा है (आकृति 10.12)।
यह मानचित्र पिछले मानचित्र से भिन्न है। यहाँ, मीना ने भिन्न-भिन्न सीमा-चिह्नों (landmarks) के लिए भिन्न-भिन्न संकेतों का प्रयोग किया है। दूसरी बात यह है कि लम्बी दूरियों के लिए लम्बे रेखाखण्ड खींचे गए हैं तथा छोटी दूरियों के लिए छोटे रेखाखण्ड खींचे गए हैं। अर्थात् उसने इस मानचित्र को एक पैमाने (scale) के अनुसार खींचा है। अब, आप निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं –

1. राघव का स्कूल उसके निवास स्थान से कितनी दूरी पर है?
2. किसका स्कूल उनके घर से अधिक निकट है-राघव का या मीना का?
3. मार्ग में कौन-कौन से महत्त्वपूर्ण सीमा-चिह्न है?

हल:

3. मार्ग में तालाब और अस्पताल महत्वपूर्ण सीमा-चिह्न

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 172

इन्हें भी कीजिए (क्रमांक 10.3)

प्रश्न 1.
एक नगर के संलग्न मानचित्र को देखिए।
(a) मानचित्र में इस प्रकार रंग भरिए: नीला – जल, लाल – फायर स्टेशन, नारंगी- लाइब्रेरी, पीला – स्कूल, हरा – पार्क, गुलाबी – सामुदायिक केन्द्र, बैंगनी – अस्पताल, भूरा – कब्रिस्तान।

(b) दूसरी सड़क और दानिम सड़क के प्रतिच्छेदन (intersection) पर एक हरा ‘x’ अंकित कीजिए। जहाँ नदी, तीसरी सड़क से मिलती है, वहाँ एक काला ‘Y’ अंकित कीजिए तथा मुख्य सड़क और पहली सड़क के प्रतिच्छेदन पर एक लाल ‘Z’ अंकित कीजिए।

(c) कॉलेज से झील तक के लिए एक छोटा सड़क का मार्ग गहरे गुलाबी रंग में खींचिए।

हल:
विद्यार्थी अभीष्ट मानचित्र में (a), (b) और (c) के लिए दिये गये निर्देशानुसार स्वयं रंग भरें।

प्रश्न 2.
अपने घर से अपने स्कूल तक के मार्ग का उस पर आने वाले महत्वपूर्ण सीमा-चिह्नों को दर्शाते हुए एक मानचित्र खींचिए।
हल:

ठोस आकारों का चित्रण Ex 10.2

प्रश्न 1.
एक नगर के दिए हुए मानचित्र को देखिए। निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए –

(a) इस मानचित्र में इस प्रकार रंग भरिए –
नीला – जल; लाल – फायर-स्टेशन; नारंगी – लाइब्रेरी; पीला – स्कूल; हरा – पार्क; गुलाबी – कॉलेज बैंगनी – अस्पताल; भूरा – कब्रिस्तान।
(b) सड़क C और नेहरू रोड के प्रतिच्छेदन पर एक हरा ‘X’ तथा गाँधी रोड़ और सड़क A के प्रतिच्छेदन पर एक हरा ‘Y’ खींचिए।
(c) लाइब्रेरी से बस डिपो तक एक छोटा सड़क मार्ग लाल रंग से खींचिए।
(d) कौन अधिक पूर्व में है-सिटी पार्क या बाज़ार?
(e) कौन अधिक दक्षिण में है – प्राइमरी स्कूल या सीनियर सेकण्डरी स्कूल?

हल:
(a), (b) और (c) के लिए विद्यार्थी अभीष्ट मानचित्र में दिये गये निर्देशानुसार स्वयं रंग भरें। (d) ‘सिटी पार्क’ अधिक पूर्व में है। (e) सीनियर सेकण्डरी स्कूल अधिक दक्षिण में है।

प्रश्न 2.
उचित पैमाने और विभिन्न वस्तुओं के लिए संकेतों का प्रयोग करते हुए, अपनी कक्षा के कमरे का एक मानचित्र खींचिए।
हल:
कक्षा के कमरे का मानचित्र –

प्रश्न 3.
उचित पैमाने और विभिन्न विशेषताओं (वस्तुओ) जैसे खेल का मैदान, मुख्य भवन, बगीचा इत्यादि के लिए संकेतों का प्रयोग करते हुए, अपने विद्यालय परिसर (compound) का एक मानचित्र खींचिए।
हल:
विद्यालय परिसर का मानचित्र –

प्रश्न 4.
अपने मित्र के मार्ग दर्शन के लिए एक मानचित्र खींचिए ताकि वह आपके घर बिना किसी कठिनाई के पहुँच जाए।
हल:
12 किमी.

जानकारी के लिए निर्देश –

1. सिटी सेण्टर से अकबर रोड पर आइए।
2. अकबर पर आगे बढ़िए, लाइब्रेरी तक आइए।
3. लाइब्रेरी के सामने नेहरू रोड पर आइए।
4. कुछ कदम आगे आइए, दाहिनी ओर पुलिस थाना आयेगा।
5. पुलिस थाना से आगे आइए, कुछ दूरी चलकर दाहिने मुड़िए।
6. आगे प्राइमरी स्कूल तक आइए।
7. प्राइमरी स्कूल के सामने चलिए।
8. हरी मिष्ठान से आगे बढ़िए और दाहिनी ओर मुड़िए।
9. फायर स्टेशन से आगे सीधी सड़क पर चलिए।
10. लगभग आधा किलोमीटर चलकर आप मेरे घर पर होंगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 173

फलक, किनारे और शीर्ष

पहेली:
मेरा कोई शीर्ष नहीं है। मेरा कोई सपाट फलक नहीं हैं। मैं कौन हूँ?
उत्तर:
किनारा।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 175

इन्हें कीजिए (क्रमांक 10.4)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुफलकों के लिए फलकों (faces), किनारों (edges) और शीर्षों (vertices) की संख्याओं को सारणीबद्ध कीजिए (यहाँ Vशीर्षों की संख्या, F फलकों की संख्या तथा E किनारों की संख्या प्रदर्शित करता है)।

आप अन्तिम दो स्तम्भों से क्या निष्कर्ष निकालते हैं? क्या प्रत्येक स्थिति में आप F + V = E + 2, अर्थात् F + V – E = 2 प्राप्त करते हैं? यह सम्बन्ध ऑयलर सूत्र (Euler’s Formula) कहलाता है। वास्तव में, यह सूत्र प्रत्येक बहुफलक के लिए सत्य है।
हल:
यहाँ, V- शीर्षों की संख्या, F – फलकों की संख्या तथा E किनारों की संख्या है।

अन्तिम दो स्तम्भों से यह निष्कर्ष निकलता है कि F + V = E + 2,
अर्थात् F + V – E = 2
यह सूत्र ऑयलर सूत्र कहलाता है जो प्रत्येक बहुलक के लिए सत्य है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

प्रश्न 1.
यदि किसी ठोस में से कोई टुकड़ा काट दिया जाए, तो F, V और E में क्या परिवर्तन होता है ? (प्रारम्भ करने के लिए, एक प्लास्टिसीन का घन लीजिए तथा उसका एक कोना काटकर इसकी खोज कीजिए।)
हल:
माना कि ABCDEFGH एक प्लास्टिसीन का घन है। इस घन में से एक टुकड़ा XYZ एक कोने से काटकर अलग किया गया है। यहाँ, X, Y तथा Z सह किनारों क्रमशः FE, FG तथा FB के बिन्दु हैं।
स्थिति 1:
घन ABCDEFGH से,
फलकों की संख्या F = 6
शीर्षों की संख्या V = 8
किनारों की संख्या E= 12
अब – F + V = 6 + 8 = 14
= 14 + 2 = E + 2
अतः यहाँ ऑयलर सूत्र का सत्यापन होता है।

स्थिति 2:
जब कि घन से एक टुकड़ा समतल XYZ द्वारा काट दिया जाता है –
फलकों की संख्या, F = 7
शीर्षों की संख्या, V = 10
किनारों की संख्या, E= 15
अब, F + V = 7 + 10 = 17
= 15 + 2 = E + 2
अतः, यहाँ ऑयलर सूत्र का सत्यापन होता है।

ठोस आकारों का चित्रण Ex 10.3

प्रश्न 1.
क्या किसी बहुफलक के फलक नीचे दिए अनुसार हो सकते हैं?

1. 3 त्रिभुज
2. 4 त्रिभुज
3. एक वर्ग और चार त्रिभुज।

हल:

1. नहीं, किसी बहुफलक के फलक 3 त्रिभुज नहीं हो सकते।
2. हाँ, किसी बहुफलक के फलक 4 त्रिभुज हो सकते हैं।
3. हाँ, किसी बहुफलक के फलक एक वर्ग और चार त्रिभुज हो सकते हैं।

प्रश्न 2.
क्या ऐसा बहुफलक सम्भव है जिसके फलकों की संख्या कोई भी संख्या हो?
(संकेत: एक पिरामिड के बारे में सोचिए।)
हल:
हाँ, यह सम्भव है जबकि फलकों की संख्या 4 या उससे अधिक हो।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से कौन-कौन प्रिज्म है?

हल:

(i) और (iii) प्रिज्म नहीं है।
(ii) और (iv) प्रिज्म हैं।

प्रश्न 4.

1. प्रिज्म और बेलन किस प्रकार एक जैसे हैं?
2. पिरामिड और शंकु किस प्रकार एक जैसे हैं?

हल:

1. एक प्रिज्म बेलन का रूप ले लेता है, जब आधार की भुजाओं की संख्या बड़ी तथा और बड़ी होती जाती है।
2. एक पिरामिड शंकु का रूप ले लेता है, जब आधार की भुजाओं की संख्या बड़ी और बड़ी होती जाती है।

प्रश्न 5.
क्या एक वर्ग प्रिज्म और एक घन एक ही होते हैं ? स्पष्ट कीजिए।
हल:
हाँ, एक वर्ग प्रिज्म और एक घन एक ही होते हैं। यह एक घनाभ भी हो सकता है।

प्रश्न 6.
इन ठोसों के लिए ऑयलर सूत्र का सत्यापन कीजिए –

हल:
1. F = 7
V = 10
E = 15
ऑयलर सूत्र – F + V – E = 2
L.H.S. = 7 + 10 – 15 = 17 – 15 = 2 = R.H.S.
अतः ऑयलर सूत्र सत्यापित होता है।

2. F = 9
V = 9
E = 16
L.H.S. = 9 + 9 – 16 = 18 – 16 = 2 = R.H.S.
अतः ऑयलर सूत्र सत्यापित होता है।

प्रश्न 7.
ऑयलर सूत्र का प्रयोग करते हुए, अज्ञात संख्या को ज्ञात कीजिए –

हल:
∵ फलक = किनारे + 2 – शीर्ष
(∵ F + V – E = 2)
∴ फलक = 12 + 2 – 6 = 14 – 6 = 8
∴ शीर्ष = किनारे + 2 – फलक
∴ शीर्ष = 9 + 2 – 5 = 11 – 5 = 6
∴ किनारे = फलक + शीर्ष – 2
∴ किनारे = 20 + 12 – 2 = 32 – 2 = 30

प्रश्न 8.
क्या किसी बहुफलक के 10 फलक, 20 किनारे और 15 शीर्ष हो सकते हैं?
हल:
यहाँ, फलक F = 10
शीर्ष V = 15 तथा
किनारे E = 20
ऑयलर सूत्र से,
F + V – E = 2
L.H.S. = 10 + 15 – 20
= 25 – 20 = 5 + 2
∴ F + V – E #2
अतः किसी बहुफलक के 10 फलक, 20 किनारे और 15 । शीर्ष नहीं हो सकते हैं।

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 10 ठोस आकारों का चित्रण, Study Learner