RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 11 क्षेत्रमिति

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 177-178

प्रश्न 1.
यह एक आयताकार बगीचे की आकृति है जिसकी लम्बाई 30 मीटर और चौड़ाई 20 मीटर है। (आकृति 11.2)

1. इस बगीचे को चारों ओर से घेरने वाली बाड़ की लम्बाई क्या है?
2. कितनी भूमि बगीचे द्वारा व्याप्त है?
3. बगीचे के परिमाप के साथ-साथ अन्दर की तरफ एक मीटर चौड़ा रास्ता है जिस पर सीमेंट लगवाना है। यदि 4 वर्ग मीटर (m²) क्षेत्रफल पर सीमेंट लगवाने के लिए एक बोरी सीमेंट चाहिए तो इस पूरे रास्ते पर सीमेंट लगवाने के लिए कितनी सीमेंट की बोरियों की आवश्यकता है?
4. इस बगीचे में फूलों की दो आयताकार क्यारियाँ हैं जिनमें से प्रत्येक का आकार 1.5 m x 2m है और शेष बगीचे के ऊपर घास है। घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
1. बगीचे की लम्बाई 1 = 30 m,
चौड़ाई b = 20 m
बगीचे को चारों ओर से घेरने वाली बाड़ की लम्बाई
= बाग का परिमाप
= 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (30 m + 20 m)
= 2 x 50 m = 100 m

2. बगीचे द्वारा व्याप्त भूमि = बाग का क्षेत्रफल
= l x b
= 30 m x 20 m = 600 m²

3. यहाँ, बाग की लम्बाई AB = 30 m
चौड़ाई BC = 20 m
बाग ABCD का क्षेत्रफल = l x b
= 30 m x 20 m = 600 m²
अब, लम्बाई PQ = 30 m – 2 m = 28 m
चौड़ाई QR = 20 m-2 m = 18 m
PQRS का क्षेत्रफल = l x b
रास्ते पर सीमेंट लगवाने के बाद क्षेत्रफल
= 28 m x 18 m = 504 m²
अब, सीमेंट वाले रास्ते का क्षेत्रफल
= ABCD का क्षेत्रफल – PQRS का क्षेत्रफल
= 600 m² – 504 m²
= 96 m²
सीमेंट की बोरियों की संख्या

अतः उपयोग किए जाने वाले सीमेंट की बोरियों की संख्या = 24

4. 1.5 m x 2 m आकार की 2 फूलों की आयताकार
क्यारियों का क्षेत्रफल = 2 x लम्बाई x चौड़ाई
= 2 x 1.5 m x 2 m = 6 m²
घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल
– 2 फूलों की क्यारियों का क्षेत्रफल
= (504 – 6)m² = 498 m2
अत: घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल = 498 m²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 178

प्रश्न 1.
1. निम्नलिखित का स्मरण करने और मिलान करने का प्रयत्न कीजिए –

2. क्या आप उपर्युक्त आकारों में से प्रत्येक के परिमाप का सूत्र लिख सकते हैं?
उत्तर:

1.

(a) (i) → (iv) ax b
(b) (ii) → (i) ax a
(c) (iii) → (iv) 12 b x h
(d) (iv) → (ii) b x h
(e) (v) → (iii) πb².

2. हाँ, हम इन आकारों में से प्रत्येक के परिमाप सूत्र लिख सकते हैं –

(a) आयत का परिमाप = 2 (a + b)
(b) वर्ग का परिमाप = 4a
(c) त्रिभुज का परिमाप = त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लम्बाइयों का योग
(d) समान्तर चतुर्भुज का परिमाप = 2 x संलग्न भुजाओं की लम्बाइयों का योग
(e) वृत्त का परिमाप = 2nb

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 179

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.1)

प्रश्न (a)
निम्नलिखित आकृतियों का उनके क्षेत्रफलों से मिलान कीजिए:

(b) प्रत्येक आकार का परिमाप लिखिए।
उत्तर:
(a)

(a’) → (iii)
(b’) → (ii)
(c’) → (i)
(d’) → (ii)
(e’) → (i).

(b) प्रत्येक आकार का परिमाप:
आकृति (a’) का परिमाप = 2(14 + 7) = 2 x 21
= 42cm
आकृति (b’) का परिमाप = (πr + 14)
= ( x 7 + 14) = 36 cm
आकृति (c’) का परिमाप = (a + b + c)
= (11 + 14+ 9)
= 34 cm
आकृति (d’) का परिमाप = 2(l + b)
=2(14 + 7) cm
=2 x 21 cm
=42 cm
आकृति (e’) का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 7
= 28 cm

क्षेत्रमिति Ex 11.1

प्रश्न 1.
जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है, एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिए हुए हैं। यदि इनके परिमाप समान हैं, तो किस खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा?

हल:
माना कि आयताकार खेत की चौड़ाई = b m है।
आयताकार खेत की लम्बाई = 80 m
वर्गकार खेत की भुजा = 60 m
वर्गाकार खेत का परिमाप = 4 x 60 m = 240 m
अब, प्रश्नानुसार, आयत का परिमाप – वर्ग का परिमाप
2(80 + b) = 240
80 + b = = 120
b = (120 – 80) m = 40 m.
अतः आयत की चौड़ाई = 40 m.
अब, वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (60)² m²
= 60 x 60 m² = 3600 m²
आयताकार खेत का क्षेत्रफल = l x b = 80 m x 40 m
= 3200 m²
3600 m² > 3200 m²
अतः वर्गाकार खेत का शेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 2.
श्रीमती कौशिक के पास चित्र में दर्शाए गए मापों वाला एक वर्गाकार प्लॉट है। वह प्लॉट के बीच में एक घर बनाना चाहती हैं। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है। ₹ 55 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस बगीचे को विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
वर्गाकार प्लॉट की भुजा = 25 m
वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल= (भुजा) = (25 m)²
= 25 m x 25 m = 625 m²
भीतरी आयत की लम्बाई l = 20 m, चौड़ाई = 15 m
भीतरी आयत का क्षेत्रफल = l x b = 20 m x 15 m
= 300 m²
∴ बगीचे का क्षेत्रफल = वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल – भीतरी आयत का क्षेत्रफल
= 625 m² – 300 m²
= 325 m²
₹ 55 प्रति वर्ग मीटर की दर से बगीचे को विकसित करने का व्यय
= ₹ 55 x 325
= ₹ 17,875

प्रश्न 3.
जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है, एक बगीचे का आकार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (आयत की लम्बाई 20 – (3.5 + 3.5) मीटर है।)

हल:
आयत की लम्बाई = 20 – (3.5 + 3.5) मीटर
= (20 – 7) मीटर = 13 मीटर
आयत की चौड़ाई = 7 मीटर ; वृत्त की त्रिज्या
= मीटर = 3.5 मीटर
बगीचे का परिमाप = 2 x आयताकार भाग की
लम्बाई + दो अर्धवृत्तों का परिमाप
2 x l + 2πr = 2 x 13 + 2 x x 3.5 मीटर
= 26 + 22 मीटर
= 48 मीटर
अतः बगीचे का परिमाप = 48 मीटर
बगीचे का क्षेत्रफल = आयताकार भाग का क्षेत्रफल + 2 अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= l x b + 2 x πr²
= 13 x 7 + 2 x x x 3.5 x 3.5
= 91 + 38.5 मीटर² = 129.5 मीटर²
अतः बगीचे का क्षेत्रफल = 129.5 मीटर²

प्रश्न 4.
फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समान्तर चतुर्भुज का है जिसका आधार 24 cm और संगत ऊँचाई 10 cm है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढकने के लिए ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है? फर्श के कोनों को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते हैं।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का आधार = 24 सेमी
ऊँचाई = 10 सेमी।
एक टाइल का क्षेत्रफल = आधार x ऊँचाई
= 24 सेमी x 10 सेमी
= 240 सेमी²
फर्श का क्षेत्रफल = 1080 वर्ग मीटर
= 1080 x 100 x 100 वर्ग सेमी

= 45,000 टाइलें
अतः फर्श को ढकने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या = 45,000

प्रश्न 5.
एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभिन्न आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है।
भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े के लिए चींटी को लम्बा चक्कर लगाना पड़ेगा? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि c = 2πr, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।

हल:
दी गई आकृतियों पर बिन्दु A, B, C और D अंकित किए। माना कि चींटी प्रत्येक आकृति में भोज्य पदार्थों के टुकड़ों के चारों ओर घूमने के लिए बिन्दु A से प्रारम्भ करके पुनः उसी बिन्दु पर पहुँचती है।

1. भोज्य पदार्थ के (a) टुकड़े के लिए;
यहाँ r = सेमी = 1.4 सेमी
चींटी द्वारा चली गई दूरी= चाप AB + दूरी BA
x 2πr + BA
= x 2 x x 14 + 2.8 सेमी
= 4.4 + 2.8 = 7.2 सेमी

1. भोज्य पदार्थ के (b) टुकड़े के लिए,
चींटी द्वारा चली गई दूरी = चाप AB + दूरी BC + CD + DA
= x 2πr + 1.5 सेमी + 2.8 सेमी + 1.5 सेमी
= x 2 x x 1.4 + 1.5 + 2.8 + 1.5 सेमी
= 4.4 सेमी + 5.8 सेमी
= 10.2 सेमी

3. भोज्य पदार्थ के (c) टुकड़े के लिए,
चींटी द्वारा चली गई दूरी = चाप AB + BC + CA
= x 2πr + 2 सेमी + 2 सेमी
= x 1.4 सेमी + 2 सेमी + 2 सेमी
= 4.4 सेमी + 4 सेमी = 8.4 सेमी
स्पष्ट है कि चींटी को भोज्य पदार्थ (b) टुकड़े के लिए लम्बा चक्कर लगाना पड़ेगा।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 180

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.2)

प्रश्न 1.
नजमा की बहन के पास भी एक समलम्ब के आकार का प्लॉट है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। इसे तीन भागों में बाँटिए। दर्शाइए कि समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = h .

हल:
माना कि Y और Z से लम्ब WX पर क्रमशः L तथा M पर मिलते हैं।
तब, समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल
= समकोण ∆LXY का क्षेत्रफल + आयत MLYZ का क्षेत्रफल + समकोण ∆WMZ का क्षेत्रफल
= x LX x YL + ML x LY + x WM x ZM
= x d x h + h x h + + x c x h
= h (d + 2b + c)
= h (2b + c + d)
= h (b + b + c + d)
= h (b + a)
(∴ a = b + c + d)
अतः समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = h

प्रश्न 2.
यदि h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm, d = 4cm, तो इसके प्रत्येक भाग का मान अलग-अलग ज्ञात कीजिए और WXYZ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इनका योग कीजिए। h, a तथा b का मान व्यंजक में रखते हुए इसका सत्यापन कीजिए।
हल:
यहाँ h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm, d = 4 cm.
समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = समकोण ∆LXY का क्षेत्रफल + आयत MLYZ का क्षेत्रफल + समकोण ∆WMZ का क्षेत्रफल
= x d x h + b x h + x c x h
= x 4 x 10 + 12 x 10 + x 6 x 10
= 20 + 120 + 30 = 170 cm²
सत्यापन:
समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = h
यहाँ, a = c + b + d = 6 cm + 12 cm + 4 cm = 22 cm
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = 10 x cm²
= 5 x 34 cm² = 170 cm²
अतः सूत्र द्वारा क्षेत्रफल का सत्यापन होता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 181

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.1)

प्रश्न 1.
1. आलेख कागज (ग्राफ पेपर) के अन्दर कोई भी समलम्ब WXYZ खींचिए जैसाकि संलग्न आकृति 11.9 में दर्शाया गया है और इसे काटकर बाहर निकालिए।

2. भुजा XY को मोड़कर इसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए और इसे A नाम दीजिए (आकृति 11.10)।

3. भुजा ZA के साथ-साथ काटते हुए समलम्ब WXYZ को दो भागों में काटिए। ∆ZYA को ऐसे रखिए जैसा कि आकृति 11.11 में दर्शाया गया है जिसमें AY को AX के ऊपर रखा गया है। बड़े त्रिभुज के आधार की लम्बाई क्या है? इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का व्यंजक लिखिए (आकृति 11.11)।

4. इस त्रिभुज और समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल समान है। (कैसे)? त्रिभुज के क्षेत्रफल के व्यंजक का उपयोग करते हुए समलम्ब के क्षेत्रफल का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
हल:
3 बड़े त्रिभुज के आधार की लम्बाई
= WB = WX + XB
= WX + ZY
= a+b
∆WBZ का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई
= x WB x h
= (a + b) x h
परन्तु समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = x (a + b) h
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = ∆WBZ का क्षेत्रफल अतः समलम्ब का क्षेत्रफल = x त्रिभुज का आधार x इसकी ऊँचाई

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समलम्बों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति : 11.12)।

हल:
(i) यहाँ, a = 9 सेमी
b = 7 सेमी तथा
h = 3 सेमी
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = h
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = 3 x वर्ग सेमी
= 3 x वर्ग सेमी
= 24 वर्ग सेमी
अतः समलम्ब का क्षेत्रफल = 24 वर्ग सेमी

(ii) यहाँ, a = 10 सेमी
b = 5 सेमी तथा
h = 6 सेमी
समलम्ब का क्षेत्रफल = h
समलम्ब का क्षेत्रफल = 6 x वर्ग सेमी
= 3 x 15 = 45 वर्ग सेमी
अतः समलम्ब का क्षेत्रफल = 45 वर्ग सेमी

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.2)

प्रश्न 1.
1. कक्षा VII में हमने विभिन्न परिमापों लेकिन समान क्षेत्रफलों वाले समान्तर चतुर्भुजों की रचना करना सीखा है। क्या यह समलम्बों के लिए भी किया जा सकता है? जाँच कीजिए क्या विभिन्न परिमापों वाले निम्नलिखित समलम्ब क्षेत्रफल में समान हैं (आकृति 11.13)

2. हम जानते हैं। कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ क्षेत्रफल में समान होती हैं। क्या हम कह सकते हैं कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं? क्या ये आकृतियाँ सर्वांगसम हैं?
3. एक वर्गाकार शीट पर कम से कम तीन ऐसे समलम्ब खींचिए जिनके परिमाप समान हों परन्तु क्षेत्रफल विभिन्न हों।
हल:
1. हाँ, यह समलम्बों के लिए भी किया जा सकता है।
पहले समलम्ब का क्षेत्रफल = h(a+b)
= x 4 x (10 + 14) वर्ग इकाई

= 2 x 24 वर्ग इकाई
= 48 वर्ग इकाई।
दूसरे समलम्ब का क्षेत्रफल = x (4 + 8) x 8 वर्ग इकाई
= 4 x 12 वर्ग इकाई
= 48 वर्ग इकाई
तीसरे समलम्ब का क्षेत्रफल = x (6 + 10) x 6 वर्ग इकाई
= 3 x 16 वर्ग इकाई
= 48 वर्ग इकाई
पहले समलम्ब का परिमाप = 5 + 10 + 4 + 14 इकाई
= 33 इकाई
दूसरे समलम्ब का परिमाप = 8 + 4 + 8 + 8 इकाई
= 28 इकाई
तीसरे समलम्ब का परिमाप = 6 + 6 + 10 + 7 इकाई
= 29 इकाई
अतः स्पष्ट है कि विभिन्न परिमाप वाले समलम्ब क्षेत्रफल में समान हैं।
2. यह आवश्यक नहीं कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी हों।
3. ऐसी आकृतियाँ जिनके परिमाप समान हैं परन्तु क्षेत्रफल विभिन्न हैं

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 182

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.4)

प्रश्न 1.
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज भी एक चतुर्भुज है। आइए, इसे भी हम दो त्रिभुजों में विभक्त करते हैं और इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात करते हैं। क्या यह सूत्र आपको पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है (आकृति 11.15)?

हल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल + ∆BCD का क्षेत्रफल
= x b x h + x b x h
= x (b + b) x h
x 2b x h = b x h = bh
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (समान्तर भुजाओं का योग) – उनके बीच की दूरी
= x (b + b) x h
x 2b x h = bh
हाँ, यह सूत्र पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 183

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.1)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण खींचकर इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जाता है। क्या समलम्ब को भी दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है?
उत्तर:
नहीं, समलम्ब को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में नहीं बाँटा जा सकता है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.5)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.16)

हल:
(i) यहाँ d = 6 सेमी,
h₁ = 3 सेमी,
h₂ = 5 सेमी

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 184

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.6)

प्रश्न 1.
1. निम्नलिखित बहुभुजों (आकृति 11.17) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन्हें विभिन्न भागों (त्रिभुजों एवं समलम्बो) में विभाजित कीजिए।

2. बहुभुज ABCDE को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति 11.18 में दर्शाया गया है। यदि AD = 8 cm, AH = 6cm, AG = 4cm, AF = 3cm और लम्ब BF = 2cm, CH = 3 cm, EG = 2.5 cm तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ∆AFB का क्षेत्रफल + …

3. यदि MP = 9 cm, MD = 7 cm, MC = 6 cm, MB=4cm, MA=2 cm तो बहुभुज MNOPQR(आकृति 11.19) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। NA, OC, QD एवं RB विकर्ण MP पर खींचे गए लंब हैं।

हल:
1. दिए गए बहुभुज EFGHI को निम्नांकित भागों में विभाजित किया गया है।
बहुभुज का क्षेत्रफल = ∆FGL का क्षेत्रफल + समलम्ब LGHN का क्षेत्रफल + ∆NHI का क्षेत्रफल + ∆EFI का क्षेत्रफल

= x FL x GL + (GL + HN) x LN + x NI x HN + x FI x ME

बहुभुज MNOPQR को विभिन्न भागों में विभाजित किया गया है।
बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल = ∆MTN का क्षेत्रफल + ∆OSN का क्षेत्रफल + समलम्ब OPUS का क्षेत्रफल + ∆PQU का क्षेत्रफल + ∆RVQ का क्षेत्रफल + समलम्ब MTVR का क्षेत्रफल
= x NT x TM + x SN x OS + (OS + PU) x SU + x UQ x PU + x QV x VR + = (TM X VR) x TV

2. यहाँ, AD = 8 सेमी
AH = 6 सेमी
AG = 4 सेमी
AF = 3 सेमी
लम्ब BF = 2 सेमी
CH = 3 सेमी
EG = 2.5 सेमी।
बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ∆AFB का क्षेत्रफल + समलम्ब FBCH का क्षेत्रफल + ∆CHD का क्षेत्रफल + ∆ADE का क्षेत्रफल

3. यहाँ, MP= 9 सेमी
MD = 7 सेमी
MC = 6 सेमी
MB = 4 सेमी
MA = 2 सेमी।
बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल = ∆MNA का क्षेत्रफल + समलम्ब ANOC का क्षेत्रफल + ∆OCP का क्षेत्रफल + AQDP का क्षेत्रफल + समलम्ब BDQR का क्षेत्रफल + ∆RBM का क्षेत्रफल
= AM x MN + x (AN + OC) x AC + CP x OC + DP x DQ + (BN + DQ) – BD + BM x BR
= x 2 x 2.5 वर्ग सेमी + 2x (2.5 + 3) x 4 वर्ग सेमी + x 3 x 3 वर्ग सेमी + x 2 x 2 वर्ग सेमी + x (2.5 + 2) x 3 वर्ग सेमी + x 4 x 2.5 वर्ग सेमी।
= 2.5 + 11.0 + 4.5 + 2 + 6.75 + 500 वर्ग सेमी
= 31.75 वर्ग सेमी।
(∴AC = MC – MA = 6 – 2 = 4 सेमी
CP = MP – MC = 9 – 6 = 3 सेमी
BD = MD – MB = 7 – 4 = 3 सेमी
DP = MP – MD = 9 – 7 = 2 सेमी)

 क्षेत्रमिति Ex 11.2

प्रश्न 1.
एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 m और 1.2 m हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8 m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ समान्तर भुजाएँ a = 1.2 मी
b = 1 मी
समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी h = 0.8 मी
मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल = समलम्ब का क्षेत्रफल
= समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी
= (a + b) x h
= (1.2 मी. + 1 मी.) x 0.8 मी
= x 2.2 x 0.8 वर्ग मी.
= 0.88 वर्ग मीटर।
अत: मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल = 0.88 वर्ग मीटर।

प्रश्न 2.
एक समलम्ब का क्षेत्रफल 34 cm² है और इसकी ऊँचाई 4 सेमी है। समान्तर भुजाओं में से एक की 10 cm लम्बाई है। दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
समलम्ब का क्षेत्रफल = 34 सेमी²
ऊँचाई = 4 सेमी
समलम्ब की एक समान्तर भुजा = 10 सेमी
माना कि दूसरी समान्तर भुजा = a सेमी
समलम्ब का क्षेत्रफल = x समान्तर भुजाओं का योग x ऊँचाई
34 सेमी² = (10 + a) x 4
10 + a = = 17
a = 17 – 10 = 7 सेमी
अतः समलम्ब की दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई = 7 सेमी।

प्रश्न 3.
एक समलम्ब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लम्बाई 120 m है। यदि BC = 48 m, CD = 17 m और AD = 40 m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समान्तर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है।

हल:
खेत ABCD की बाड़ की लम्बाई = 120 मी.
BC = 48 मी
CD = 17 मी और
AD = 40 मी
खेत की बाड़ की लम्बाई = AB + BC + CD + DA
120 मी = AB + 48 मी + 17 मी + 40 मी
120 मी = AB + 105 मी
AB = 120 मी – 105 मी = 15 मी
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी।
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = x (48 + 40) x 15 वर्ग मीटर
= x 88 x 15
= 660 वर्ग मीटर।
अतः खेत ABCD का क्षेत्रफल = 660 वर्ग मीटर।

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लम्ब 8 m एवं 13 m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ d= 24 मी
h₁ = 13 मी, h₂ = 8 मी

∴ खेत का क्षेत्रफल = x d (h₁ + h₂)
∴ खेत का क्षेत्रफल = x 24 x (13 + 8) मीटर²
x 24 x 21 मीटर² = 252 मीटर²
अतः चतुर्भुज आकार के खेत का क्षेत्रफल = 252 मीटर

प्रश्न 5.
किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, समचतुर्भुज के विकर्ण = 7.5 सेमी और 12 सेमी हैं।
∴ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल= x विकर्णों का गुणनफल
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = x (7.5 x 12) वर्ग सेमी
= 45 वर्ग सेमी।
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 45 वर्ग सेमी।

प्रश्न 6.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्ष लम्ब 4 cm है। यदि एक विकर्ण की लम्बाई 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
समचतुर्भुज की भुजा = 6 सेमी
शीर्ष लम्ब = 4 सेमी
एक विकर्ण की लम्बाई =8 सेमी
दूसरे विकर्ण की लम्बाई =d सेमी
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार x शीर्ष लम्ब
= 6 x 4वर्ग सेमी = 24 वर्ग सेमी।
∴ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = x विकर्णों का गुणनफल
∴ 24 वर्ग सेमी = x 8 x d
∴ d = = 6 सेमी
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग सेमी
दूसरे विकर्ण की लम्बाई = 6 सेमी।

प्रश्न 7.
किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45 cm और 30 cm लम्बाई के हैं। ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
टाइल के विकर्ण = 45 सेमी और 30 सेमी
टाइलों की संख्या = 3000
पॉलिश का व्यय = ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर
∴ 1 टाइल का क्षेत्रफल = x विकर्णों का गुणनफल
= x 45 x 30 वर्ग सेमी।
= 675 वर्ग सेमी
∴ 3000 टाइलों का क्षेत्रफल = 3000 x 675 वर्ग सेमी
= 2025000 वर्ग सेमी
= वर्ग मीटर
= 202.5 वर्ग मीटर।
∴ फर्श का क्षेत्रफल = 202.5 वर्ग मीटर।
फर्श पर पॉलिश करने का व्यय = ₹ 4 x 202.5
= ₹ 810
अतः फर्श पर पॉलिश करने का व्यय = ₹ 810

प्रश्न 8.
मोहन एक समलम्ब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समान्तर है और लम्बाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500 m हैं और दो समांतर भुजाओं के बीच की लम्बवत् दूरी 100 m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:
खेत का क्षेत्रफल = 10,500 m²
माना कि सड़क के साथ वाली भुजा की लम्बाई = x मीटर
नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 2x मीटर
दोनों भुजाओं के बीच की दूरी = 100 मीटर
खेत का क्षेत्रफल =
x समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी
10500 मी² = x (x + 2x) x 100
3x =
x =
= 70 मीटर
अतः नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 2x = 2 x 70
=140 मीटर।

प्रश्न 9.
एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कजिए।

हल:
अष्टभुजी पृष्ठ ABCDEFGH का क्षेत्रफल = समलम्ब ABGH का क्षेत्रफल + आयत BCFG का क्षेत्रफल + समलम्ब CDEF का क्षेत्रफल = x (5 + 11) x 4 + 11 x 5 + x (11 + 5) x 4 वर्ग मीटर
= 32 + 55 + 32 वर्ग मीटर
= 119 वर्ग मीटर।
अतः अष्ठभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल = 119 वर्ग मीटर।

प्रश्न 10.
एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

हल:
ज्योति के आरेख द्वारापंचभुज आकार के बगीचे का क्षेत्रफल = 2 x समलम्ब ARCLका क्षेत्रफल
यहाँ, समलम्ब की समान्तर भुजाएँ = 30 मी और 15 मी
समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी = मी = 7.5 मी
अतः बगीचे का क्षेत्रफल = 2 x समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी
= 2 x (30 + 15) x 7.5 वर्ग मी
= 45 x 7.5 वर्ग मी
= 337.5 वर्ग मीटर।
अत: ज्योति के आरेख द्वारा पंचभुज आकार के बगीचे का क्षेत्रफल = 337.5 वर्ग मीटर।

कविता के आरेख द्वारा:

पंचभुज आकार के बगीचे का क्षेत्रफल = ∆ का क्षेत्रफल + वर्ग का क्षेत्रफल
यहाँ, त्रिभुज का आधार = 15 मीटर
त्रिभुज की ऊँचाई = 15 मीटर
वर्ग की भुजा = 15 मीटर

अतः बगीचे का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई + वर्ग की भुजा
= x 15 x 15 + (15)² वर्ग मीटर
= + 225 वर्ग मीटर
= 112.5 + 225 वर्ग मीटर
= 337.5 वर्ग मीटर।
अतः कविता के आरेख द्वारा बगीचे का क्षेत्रफल = 337.5 वर्ग मीटर।

अन्य विधि:

अभीष्ट क्षेत्रफल = आयत BDEG का क्षेत्रफल – 2 x ∆ABC का क्षेत्रफल
= 15 x 30 – 2 x = x 15 वर्गमीटर
= 450 वर्ग मी – 112.5 वर्गमीटर
= 337.5 वर्ग मीटर
अतः बगीचे का अभीष्ट क्षेत्रफल = 337.5 वर्ग मीटर

प्रश्न 11.
संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः 24 cm x 28 cm एवं 16 cm x 20 cm हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक – खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

खण्ड ABQP का क्षेत्रफल = खण्ड CDSR का क्षेत्रफल
= x (AB + PQ) x 4 सेमी
= ( 28 + 20) x 4 सेमी²
= 48 x 2 वर्ग सेमी
= 96 वर्ग सेमी।
खण्ड BCRQ का क्षेत्रफल = खण्ड APSD का क्षेत्रफल
= (BC + QR) x 4 वर्ग सेमी
= (24 + 16) x 4 वर्ग सेमी
= 40 x 2 = 80 वर्ग सेमी। उत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 187

ठोस आकार

प्रश्न 1.
ध्यान दीजिए कि कुछ आकारों में दो या दो से अधिक समरूप (सर्वांगसम) फलक हैं। उनको नाम दीजिए। कौन से ठीसों में सभी फलक सर्वांगसम हैं?

हल:
ठोस आकारों में घनाभ, बेलन, घन और पिरामिड में दो या दो से अधिक फलक समरूप सर्वांगसम हैं। घन में सभी फलक सर्वांगसम हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 188

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.2)

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में दर्शाए गए ठोस को बेलन कहना क्यों गलत है?

हल:
बेलन में दो वृत्ताकार सर्वांगसम फलक होते हैं। लेकिन इस आकृति के फलक सर्वांगसम नहीं है।
अतः दिए गए ठोस को बेलन कहना गलत है। उत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 189

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.7)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनाभों (आकृति 11.32) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) लम्बाई l = 6 सेमी
चौड़ाई b = 4 सेमी
ऊँचाई R = 2 सेमी
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (6 x 4 + 4 x 2 + 2 x 6) वर्ग सेमी
= 2 (24 + 8 + 12) वर्ग सेमी
= 2 x 44 वर्ग सेमी
= 88 वर्ग सेमी।

(ii) लम्बाई l = 4 सेमी
चौड़ाई b = 4 सेमी
ऊँचाई h = 10 सेमी
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4 x 4 + 4 x 10 + 10 x 4) वर्ग सेमी
= 2 (16 + 40 + 40) वर्ग सेमी
= 2 (96) वर्ग सेमी
= 192 वर्ग सेमी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 190

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.3)

प्रश्न 1.
1. एकघनाभाकार डस्टर (जिसे आपके अध्यापक कक्षा में उपयोग करते हैं। के पार्श्व पृष्ठ को भूरे रंग के कागज़ की पट्टी से इस प्रकार ढकिए कि यह डस्टर के पृश्ठ के चारों ओर बिल्कुल ठीक बैठे। कागज़ को हटाइए। कागज़ का क्षेत्रफल मापिए। क्या यह डस्टर का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है?
2. अपनी कक्षा के कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई मापिए और निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए

(a) खिड़कियों और दरवाजों के क्षेत्रफल को छोड़कर कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(b) इस कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(c) सफेदी किए जाने वाला, कमरे का कुल क्षेत्रफल।

हल:
1. हाँ, कागज का क्षेत्रफल डस्टर के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।

2. कक्षा के कमरे की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई मापने पर,
लम्बाई = 6 मी
चौड़ाई = 5 मी तथा
ऊँचाई = 4 मी

(a) कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(6 x 5 + 5 x 4 + 4 x 6) वर्ग मीटर।
= 2 (30 + 20 + 24) वर्ग मीटर
= 2 (74) वर्ग मीटर
= 148 वर्ग मीटर।

(b) कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l + b)h
= 2 (6 + 5) x 4 वर्ग मीटर
= 2 x 11 x 4 वर्ग मीटर
= 88 वर्ग मीटर।

(c) सफेदी किए जाने वाला कमरे का कुल क्षेत्रफल = कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 88 वर्ग मीटर + 6 x 5 वर्ग मीटर
= 88 + 30 वर्ग मीटर
= 118 वर्ग मीटर।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.3)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x आधार का क्षेत्रफल।
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x आधार का क्षेत्रफल
2 (l + b)h + 2 x lb = 2 (hl + bh + lb)
= 2 (1b + bh + hl)

प्रश्न 2.
यदि हम किसी घनाभ [ आकृति 11.33 (i)] की ऊँचाई और आधार की लम्बाई को परस्पर बदलकर एक दूसरा घनाभ [(आकृति 11.33 (ii)] प्राप्त करलें तो क्या = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा?

हल:
घनाभ (i) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (l + b)h ….(1)
तथा घनाभ (ii) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (h + b)l …(2)
स्पष्ट है कि दोनों पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल भिन्न हैं।
अतः ऊँचाई और आधार की लम्बाई को बदलने पर पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा।

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.4)

प्रश्न 1.
एक वर्गांकित कागज पर दर्शाए गए पैटर्न को खींचिए और उसे काटिए [ आकृति 11.34 (i)]। आप जानते हैं कि यह पैटर्न घन का जाल (नेट) है। इसे रेखाओं के अनुदिश मोडिए[आकृति 11.34 (ii)]और घन बनाने के लिए किनारों पर टेप लगाइए [ आकृति 11.34 (iii) ]।

(a) इस घन की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्या है? ध्यान दीजिए घन के सभी फलक वर्गाकार हैं। = इसलिए घन की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है (आकृति 11.35)।

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल लिखिए। क्या सभी फलकों के क्षेत्रफल समान हैं?
(c) इस घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।
(d) यदि घन की प्रत्येक भुजा है, तो प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल क्या होगा [ आकृति 11:35 (ii)]। क्या हम कह सकते हैं कि । भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 612 है?
हल:
(a) क्योंकि घन के सभी फलक वर्गाकार आकृति के होते हैं।
अत: घन की लम्बाई = चौड़ाई = ऊँचाई = प्रत्येक 3 इकाई।

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (3)² = 9 वर्ग इकाई।
हाँ, सभी फलकों के क्षेत्रफल समान हैं।

(c) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 612 वर्ग इकाई
= 6 x (3)²
= 54 वर्ग इकाई।

(d) घन की प्रत्येक भुजा = l
∴ प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल = l x l x l²
भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l x l + l x l + l x l)
= 2(l² + l² + l²)
= 2 x 3l² = 6l²
हाँ, हम कह सकते हैं कि ! भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 612 है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 191

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.8)

प्रश्न 1.
घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
घन A की लम्बाई = चौड़ाई = ऊँचाई = 10 सेमी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
= 6 x (10)² = 6 x 100
= 600 वर्ग सेमी
अतः घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600 वर्ग सेमी।
घन B की लम्बाई = चौड़ाई = ऊँचाई = 8 सेमी घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l + l) x l
= 2 (8 + 8) x 8 वर्ग सेमी
= 2 x 16 x 8 वर्ग सेमी।
= 256 वर्ग सेमी।
अतः घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 256 वर्ग सेमी।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.4)

प्रश्न 1.
1. b भुजा वाले दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (आकृति 11.37) । इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह 1252 है? क्या ऐसे तीन घनों को मिलाकर बनाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1862 है? क्यों?

2. न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे?

3. किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेंट करने के पश्चात् उस घन को समान विमाओं वाले 64 घनों में काटा जाता है (आकृति 11.38)। इनमें से कितने घनों का कोई भी फलक पेंट नहीं हुआ है? कितने घनों का 1 फलक पेंट हुआ है? कितने घनों के 2 फलक पेंट हुए हैं ? कितने घनों के तीन फलक पेंट हुए हैं?

हल:
1. b भुजा वाले दो घनों को मिलाकर बने घनाभ की लम्बाई l = b + b = 2b इकाई, चौड़ाई = b इकाई तथा ऊँचाई = b इकाई इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (2b x b + b x b + b x 2b)
= 2 (2b² + b² + 2b²)
= 2 x 5b² = 10b² वर्ग इकाई
अत: घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 10b² वर्ग इकाई उत्तर नहीं, यह 12b² नहीं है।
जब ऐसे तीन घनों को मिलाकर घनाभ बनाया जाता है, तब घनाभ की लम्बाई l = 3b, चौड़ाई = b, ऊँचाई = b इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (3b x b + b x b + b x 3b)
= 2 (3b² + b² + 3b²) वर्ग इकाई
= 2 x 7b² = 14b² वर्ग इकाई
नहीं, इस प्रकार बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 18b2 नहीं है। क्योंकि घनाभ की चौड़ाई और ऊँचाई में कोई परिवर्तन नहीं हुआ है।

2. प्रथम स्थिति:
घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को लम्बाई में व्यवस्थित करने पर

इस स्थिति में, l = 12b
b = b
h = b
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (12b x b + b x b + b x 12b)
= 2(12b² + b² + 12b²)
= 2 x 25b² = 50b²

द्वितीय स्थिति:

इस स्थिति में,
l = 6b
b = b
h = 2b
∴ इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(6b x b + b x 2b + 2b x 6b)
= 2(66² + 2b² + 12b²)
= 2 x 20b² = 40b²

तृतीय स्थिति:

इस स्थिति में,
l = 4b
b = b
h = 3b
∴ इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4b x b + b x 3b + 3b x 4b)
= 2(4b² + 3b² + 12b²)
= 2 x 19b² = 38b²
अतः न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को तृतीय स्थिति के अनुसार व्यवस्थित करना चाहिए।

3. घनों की संख्या जिनके कोई भी फलक पेंट नहीं हुए = 16
घनों की संख्या जिनका 1 फलक पेंट हुआ = 16
घनों की संख्या जिनके 2 फलक पेंट हुए = 24
घनों की संख्या जिनके 3 फलक पेंट हुए = 8

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 193

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.9)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति : 11.39)

हल:
(i) त्रिज्या r = 14 सेमी
ऊँचाई h = 8 सेमी
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x 14 (14 + 8)
= 2 x 22 x 2 x 22 वर्ग सेमी
= 1936 वर्ग सेमी
अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1936 वर्ग सेमी

(ii) यहाँ, त्रिज्या r = मी = 1 मी
ऊँचाई h = 2 मी
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x x 1 (1 + 2) वर्ग मी
= x 3 वर्ग मी.
= वर्ग मी.
= 186 वर्ग मी.
अत: बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18 वर्ग मी

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.5)

प्रश्न 1.
नोट कीजिए कि किसी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) आधार की परिधि x बेलन की ऊँचाई के समान होता है। क्या हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप x घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?
हल:
माना कि घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः l, b तथा h हैं, तब
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l + b) x h
= आधार का परिमाप x ऊँचाई
अतः हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप – घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं।

क्षेत्रमिति Ex 11.3

प्रश्न 1.
दो घनाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?

हल:
डिब्बे (a) के लिए –
l = 60 सेमी
b = 40 सेमी
h = 50 सेमी
डिब्बे (a) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (60 x 40 + 40 x 50 + 50 x 60) वर्ग सेमी
= 2 (2400 + 2000 + 3000) वर्ग सेमी
= 2 (7400) वर्ग सेमी
=14800 वर्ग सेमी

डिब्बे (b) के लिए –
l = 50 सेमी
b = 50 सेमी
h = 50 सेमी
(∴ = b = h = 50 सेमी)
डिब्बे (b) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
= 6 x (50)² वर्ग सेमी
=6 x 2500 वर्ग सेमी
= 15000 वर्ग सेमी
क्योंकि डिब्बे (a) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे (b) के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से कम है।
अतः (a) डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 2.
80 cm x 48 cm x 24 cm माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 96 cm चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?
हल:
सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (80 x 48 + 48 x 24 + 24 x 80) सेमी²
= 2 (3840 + 1152 + 1920) सेमी²
= 2 x 6912 सेमी²
= 13824 सेमी²
100 सूटकेसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल =100 x 13824 सेमी² = 100 x मीटर²
माना कि तिरपाल के कपड़े की आवश्यक लम्बाई = x मीटर तिरपाल के कपड़े का वांछित क्षेत्रफल = 100 सूटकेसों का क्षेत्रफल
x × मी² = मी²
(∴ 96 cm = 96100 m)
x = मी
= 144 मीटर
अतः 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 144 मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 3.
एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 cm² है।
हल:
माना कि घन की भुजा = l सेमी है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
अब, प्रश्नानुसार,
6l² = 600
l² = = 100
या l = = 10 सेमी
अतः घन की भुजा = 10 सेमी

प्रश्न 4.
रुखसार ने 1 m x 2 m x 1.5 m माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

हल:
यहाँ, l = 2 मी
b = 1 मी तथा
h = 1.5 मी
पेंट किया हुआ क्षेत्रफल = lb + 2bh + 21h
= (2 x 1 + 2 x 1 x 1.5 + 2 x 2 x 1.5) मी²
= (2 + 3 + 6) मी²
= 11मी²
अतः रुखसार ने 11 मी² पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

प्रश्न 5.
डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15 m, 10 m एवं 7 m हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100 m² क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?
हल:
यहाँ, l = 15 मी
b = 10 मी
h = 7 मी
पेंट किया जाने वाला क्षेत्रफल = lb + 2bh + 2hl
= 15 x 10 + 2 x 10 x 7 + 2 x 7 x 15 मी²
= 150 + 140 + 210 मी²
= 500 मी²

अतः डैनियल को 5 पेंट की कैनों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 6.
वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एकसमान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न-भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृश्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

हल:
दोनों आकृतियाँ ऊँचाई में एकसमान हैं।
अन्तर:

1. एक आकृति बेलन है और दूसरी आकृति घन है।
2. बेलन के दो वृत्तीय फलक हैं, जबकि घन के छः वर्गाकार फलक हैं।

बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
यहाँ, l = 5 सेमी = 3.5 सेमी और
h = 7 सेमी
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 x x 3.5 x 7 वर्ग सेमी
= 154 वर्ग सेमी
घन की भुजा = 7 सेमी, ऊँचाई = 7 सेमी
घन का पार्श्व पृश्ठीय क्षेत्रफल = आधार की परिमाप x ऊँचाई
= 4 x 7 x 7 वर्ग सेमी
= 196 वर्ग सेमी
अत: घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 7.
7 m त्रिज्या और 3 m ऊँचाई वाला एक बन्द बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, बेलनाकार टैंक की त्रिज्या r = 7 मी और
ऊँचाई h = 3 मी
बन्द बेलनाकार टैंक बनाने के लिए वांछित चादर = बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πr (r + h)
= 2 x x 7x (7 + 3) मी²
= 44 x 10 मी²
= 440 मी²
अत: टैंक बनाने के लिए वांछित धातु की चादर का क्षेत्रफल = 440 मी²

प्रश्न 8.
एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm² है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 32 cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4224 cm²
आयताकार चादर की चौड़ाई = 32 cm
खोखले बेलन को काटकर आयताकार चादर बनाई गई है।
∴ बेलन के आधार की परिमाप = आयताकार चादर की लम्बाई तथा बेलन की ऊँचाई = चादर की चौड़ाई
इसलिए, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = आयताकार चादर का क्षेत्रफल माना कि चादर की लम्बाई = l सेमी है।
∴ आयताकार चादर का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
l x 32 = x 4224
l = सेमी = 132 सेमी
अब, आयताकार चादर की परिमाप = 2 (l + b)
= 2 (132 + 32) सेमी
= 2 x 164 सेमी
= 328 सेमी
अत: आयताकार चादर का अभीष्ट परिमाप = 328 सेमी

प्रश्न 9.
किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 cm और लम्बाई 1 m है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
रोलर बेलनाकार है।
रोलर की त्रिज्या r = सेमी = 42 सेमी = 0.42 मीटर
रोलर की लम्बाई h = 1 मीटर
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 x = x 0.42 x 1 मी²
= 2.64 मी²
रोलर द्वारा 750 चक्कर में तय किया क्षेत्रफल = 750 x 2.64 मी² = 1980 मी²
अत: सड़क का क्षेत्रफल = 1980 मी²

प्रश्न 10.
एक कम्पनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14 cm और ऊँचाई 20 cm है। कम्पनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2 cm की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

हल:
यहाँ, बेलनाकार बर्तन का व्यास = 14 सेमी
∴ बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या l = 14 सेमी = 7 सेमी
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 20 सेमी
∴ कम्पनी ने बर्तन में लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2 सेमी की दूरी पर चिपकाया है। बर्तन पर चिपका हुआ लेबल एक बेलन निर्मित करता है, जिसकी त्रिज्या l = 7 सेमी तथा ऊँचाई = 20 – 4 = 16 सेमी
∴ लेबल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2πrh = 2 x x 7 x 16 सेमी²
= 704 सेमी²
अतः लेबल का क्षेत्रफल = 704 सेमी²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 196

घनाभ

प्रश्न 1.
(i) निम्नलिखित सारणी पर विचार कीजिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
उत्तर:

प्रश्न 1.
(ii) आप क्या देखते करते हैं?
उत्तर:
हम यहाँ यह देखते हैं कि घनाभों को बनाने के लिए 36 घनों का उपयोग किया गया है। इसलिए प्रत्येक घनाभ का आयतन 36 घन इकाई है।
स्पष्ट है कि घनाभ का आयतन = लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
अर्थात् घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 197

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.10)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनाभों (आकृति 11.45) का आयतन ज्ञात कीजिए –

हल:
1. यहाँ, 1 = 8 सेमी, b = 3 सेमी तथा h = 2 सेमी
घनाभ का आयतन = l x b x h
= 8 x 3 x 2 = 48 सेमी³

2. यहाँ, आधार का क्षेत्रफल = l x b = 24 सेमी²
ऊँचाई h = 3 सेमी = 100 मी
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
= 24 मी² x मी = मी³
= 0.72 मी³

घनाभ

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.11)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए –

1. 4 cm भुजा वाला
2. 1.5 m भुजा वाला।

हल:
1. यहाँ, घन की भुजा l = 4 सेमी
∴ घन का आयतन = l³ = (4)³सेमी
= 4 x 4 x 4 सेमी
= 64 सेमी³

2. यहाँ, घन की भुजा l = 1.5 मी
∴ घन का आयतन = = (1.5)³मी
= 1.5 x 1.5 x 1.5 मी³ = 3.375 मी³

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.5)

प्रश्न 1.
समान आकार वाले 64 घनों को जितने रूपों में आप व्यवस्थित कर सकते हैं, उतने रूपों में व्यवस्थित करते हुए घनाभ बनाइए। प्रत्येक रूप का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है?
हल:
कुछ व्यवस्थित रूप इस प्रकार हो सकते हैं। घन इस प्रकार रख सकते हैं –

इनके पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः इस प्रकार हैं –
∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)

(i) ∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (64 x 1 + 1 x 1 + 1 x 64)
= 2 x (64 + 1 + 64)
= 2 x 129
= 258 वर्ग इकाई

(ii) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (32 x 2 + 2 x 1 + 1 x 32)
= 2 (64 + 2 + 32)
= 2 x 98
= 196 वर्ग इकाई

(iii) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (16 x 2 + 2 x 2 + 2 x 16)
= 2(32 + 4 + 32)
= 2 x 68
= 136 वर्ग इकाई

(iv) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (16 x 4 +4 x 1 + 1 x 16)
= 2 (64 + 16 + 16)
= 2 x 84
= 168 वर्ग इकाई

(v) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (8 x 4 + 4 x 2 + 2 x 8)
= 2 (32 + 8 + 16)
= 2 x 56
= 112 वर्ग इकाई

(vi) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4 x 4 + 4 x 4 + 4 x 4)
= 2 (16 + 16 + 16)
= 2 x 48
= 96 वर्ग इकाई
प्रत्येक स्थिति में आयतन = 64 घन इकाई
यहाँ, स्पष्ट है कि प्रत्येक घन का आयतन तो समान है परन्तु पृष्ठीय क्षेत्रफल भिन्न हैं।
अतः समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान नहीं होता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.6)

प्रश्न 1.
एक कम्पनी बिस्कुट बेचती है। बिस्कुटों को पैक करने के लिए घनाभाकार डिब्बों का उपयोग किया जा रहा है। डिब्बा A → 3 cm x 8 cm x 20 cm, डिब्बा B → 4 cm x 12 cm x 10 cm. डिब्बे का कौन सा आकार कम्पनी के लिए आर्थिक दृष्टि से लाभदायक रहेगा? क्यों? क्या आप ऐसे किसी और आकार (विमाएँ) के डिब्बे का सुझाव दे सकते हैं जिसका आयतन इनके समान हो परन्तु इनकी तुलना में आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक हो?
हल:
डिब्बा A:
l = 3 सेमी
b = 8 सेमी
h = 20 सेमी
आयतन = l x b x h = 3 x 8 x 20 सेमी³ = 480 सेमी³
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (3 x 8 + 8 x 20 + 20 x 3) सेमी²
= 2 (24 + 160 + 60) सेमी²
= 2 x 244 सेमी²
= 488 सेमी²

डिब्बा B:
l = 4 सेमी
b = 12 सेमी
h = 10 सेमी
आयतन = l x b x h = 4 x 12 x 10 सेमी³ = 480 सेमी³
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2(4 x 12 + 12 x 10 + 10 x 4) सेमी²
= 2 (48 + 120 + 40) सेमी²
= 2 x 208 सेमी²
= 416 सेमी²
यहाँ, डिब्बे A का आयतन = डिब्बे B का आयतन है।
परन्तु डिब्बे A का पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे B के पृष्ठीय क्षेत्रफल से अधिक है।
अतः डिब्बा B को बनाने में कम सामग्री की आवश्यकता होगी।
∴ डिब्बे A की अपेक्षा डिब्बा B का आकार कम्पनी के के लिए आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक रहेगा।

अन्य डिब्बा:
8 सेमी x 6 सेमी x 10 सेमी
इस डिब्बे का आयतन = 8 x 6 x 10 = 480 सेमी³
इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (8 x 6+ 6 x 10 + 10 x 8) सेमी²
= 2(48 + 60 + 80) सेमी²
= 2 x 188 सेमी²
= 376 सेमी²
स्पष्ट है कि इस डिब्बे का आयतन डिब्बे B के आयतन के बराबर है। परन्तु इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे B के पृष्ठीय क्षेत्रफल से कम है।
अतः दिए हुए डिब्बों की अपेक्षा यह डिब्बा आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 198

आयतन और धारिता

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.12)

प्रश्न 1.
संलग्न बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) यहाँ, बेलन की त्रिज्या r = 7 सेमी
ऊँचाई h = 10 सेमी
बेलन का आयतन = πr²h
= x 7 x 7 x 10 सेमी³
= 1540 सेमी³

(ii) यहाँ आधार का क्षेत्रफल πr² = 250 मी तथा ऊँचाई = 2 मी
बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
= 250 मी² x 2 मी
= 500 मी³

क्षेत्रमिति Ex 11.4

प्रश्न 1.
आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है। निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयत –

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

उत्तर:

(a) आयतन
(b) पृष्ठीय क्षेत्रफल
(c) आयतन।

प्रश्न 2.
बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है? दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

हल:

प्रश्न 3.
एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm² और जिसका आयतन 900 cm³ है।
हल:
यहाँ, घनाभ का आयतन = 900 सेमी³ तथा आधार का क्षेत्रफल = 180 सेमी²
माना कि घनाभ की ऊँचाई = h सेमी है।
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
900 सेमी² = 180 सेमी² x h
h = = 5 सेमी
अतः घनाभ की ऊँचाई = 5 सेमी

प्रश्न 4.
एक घनाभ की विमाएँ 60 cm x 54 cm x 30 cm हैं। इस घनाभ के अन्दर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घर रखे जा सकते हैं?
हल:
यहाँ, l = 60 सेमी
b = 54 सेमी तथा
h = 30 सेमी
घनाभ का आयतन = l x b x h
= 60 x 54 x 30 सेमी³
घन की भुजा = 6 सेमी
घन का आयतन = (भुजा)³ = (6)³ सेमी³
= 6 x 6 x 6 सेमी³
= 216 सेमी³

अतः घनाभ में 450 घन रखे जा सकते हैं।

प्रश्न 5.
एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ और जिसके आधार का व्यास 140 cm है।
हल:

प्रश्न 6.
एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m है और लम्बाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

हल:
टैंक की त्रिज्या = 1.5 m, टैंक की लम्बाई = 7 m
टैंक की धारिता = πr²h
= 227 x 1.5 x 1.5 x 7 मीटर³
= 49.5 मी³
= 49.5 x 1000 लीटर
(∵ 1 मी³ = 1000 लीटर)
= 49500 लीटर
अत: टैंक में भरे जाने वाली दूध की मात्रा = 49500 लीटर

प्रश्न 7.
किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए तो –

1. इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?
2. इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

हल:
माना कि घन की भुजा = x इकाई है, तब
इसका आयतन = x³ तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x²
अब, जबकि घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तब

1. इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(2x)² = 6 x 4x²
= 24x² = 4 x 6x²
अतः नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में चार गुना वृद्धि होगी।

2. नये घन का आयतन = (2x)²
= 8x² = 8 × x³
अतः इसके आयतन में आठ गुना वृद्धि होगी।

प्रश्न 8.
एक कुंड के अन्दर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m’ है, _ तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

हल:
यहाँ, कुंड का आयतन
= 108 m³
= 108 x 1000 लीटर
= 108000 लीटर
कुंड में पानी गिरने की दर = 60 लीटर प्रति मिनट
= 60 x 60 लीटर प्रति घण्टा

= 30 घण्टे
अतः कुंड को भरने में 30 घण्टे लगेंगे।

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 11 क्षेत्रमिति, Study Learner