RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 145

व्यंजक क्या है?

प्रश्न 1.
y के कुछ अन्य दिए हुए मानों के लिए व्यंजक 2y – 5 के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:

1. जब y = 1, 2y – 5 = 2 (1) – 5 = – 3
2. जब y = – 2, 2y – 5 = 2 (-2) – 5 = – 9
3. जब y = 3, 2y – 5 = 2 (3) – 5 = 1
4. जब y = – 3, 2y – 5 = 2 (-3) – 5 = – 11
5. जब y = 5, 2y – 5 = 2 (5) – 5 = 5

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 146

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.1)

प्रश्न 1.
एक चर वाले और दो चरों वाले व्यजकों के पाँच-पाँच उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
एक चर वाले व्यंजक:

1. 4y
2. 7 + y
3. 6 – x
4. 12x + 3
5. -25x + 9

दो चर वाले व्यंजक:

1. x + 4y
2. x – 3y
3. 6x + y
4. 7x – y
5. 11x + 9y

प्रश्न 2.
x, x – 4, 2x + 1, 3x – 2 को संख्या रेखा पर दर्शाइए।
उत्तर:
1. x संख्या रेखा पर चर x की स्थिति X है।

2. x – 4
x – 4 का मान X के बाईं ओर 4 इकाई की दूरी पर होगा। इसे p से निरूपित किया गया है।

3. 2x + 1

यहाँ 2x की स्थिति A पर होगी। मूल बिन्दु O से A की दूरी
X की दूरी से दो गुना होगी। 2x + 1 की स्थिति P, A के दायीं तरफ 1 इकाई की दूरी पर होगी।

4. 3x – 2

यहाँ, 3x की स्थिति बिन्दु B पर होगी। मूल बिन्दु 0 से B की दूरी X की दूरी की तीन गुना होगी। 3x – 2 की स्थिति P, B के बायीं तरफ 2 इकाई दूरी पर होगी।

पद, गुणनखण्ड और गुणांक

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.2)

प्रश्न 1.
व्यंजक x² y² – 10x²y + 5xy² – 20 के प्रत्येक पद के गुणांक को पहचानिए।
हल:

• पद x²y² में x²y² गुणांक = 1
• पद – 10x²y में xy का गुणांक = – 10
• पद 5xy² में xy का गुणांक = 5

एकपदी, द्विपद एवं बहुपद

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों को एकपद, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए:
z + 5, x + y + z, y + x + 100, ab – ac, 17.
हल:

• एकपदी: 17
• द्विपद: z + 5, ab – ac
• त्रिपद: x + y + z, y + z + 100

प्रश्न 2.
बनाइए:

1. तीन ऐसे द्विपद जिनमें केवल एक चर x हो।
2. तीन ऐसे द्विपद जिनमें x और चर हों।
3. तीन एकपद जिनमें x और y पद हों।
4. चार अथवा अधिक पदों वाले 2 बहुपद।

हल:

1. ऐसे द्विपद जिनमें केवल एक चर x है: 3x – 3, 2x + 5, 7 – x
2. ऐसे द्विपद जिनमें x और y चर हैं: 3x + 5y, xy – 8, 11x – 3y
3. एक पद जिनमें x और y पद हैं: xy, 13x²y, – 4xy²
4. चार एवं अधिक पदों वाले बहुपद: x³ – 3x² + 4x + 3, 7 – 5x + x² – 3x³ – 8x⁴

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 147

प्रश्न 1.
7x एवं 7y समान पद क्यों नहीं हैं?
हल:
क्योंकि 7x और 7y में चर समान नहीं हैं, अतः ये समान पद नहीं हैं।

प्रश्न 2.
7x और 7xy समान पद क्यों नहीं हैं?
हल:
क्योंकि 7x और 77y में चर समान नहीं हैं, अतः ये समान पद नहीं हैं।

प्रश्न 3.
7x और 5x² समान पद क्यों नहीं हैं?
हल:
क्योंकि 7x और 5x² में चर समान नहीं हैं, अतः ये समान पद नहीं हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.4)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के दो समान पद लिखिए –

1. 7xy
2. 4mn²
3. 2l

हल:

1. 7xy के समान पद: 9xy, – 17xy
2. 4mn² के समान पद: – 7n – m, 11mn²
3. 21 के समान पद: 4l, -3l

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए –

(i) 5xyz² – 3ry
(ii) 1 + x + 2
(iii) 4xy² – 4x²y²z² + z²
(iv) 3 – pq + qr – rp
(v) + – xy
(vi) 0.39 – 0.6ab + 0.5b.

उत्तर:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?
x + y, 1000, x + x² + x³ + 14, 7 + y + 5x, 2y – 3y², 2y – 3y² + 4y², 5x – 4y + 3xy, 4z – 15z²,
ab + be + cd + da, pqr, p²q + pq², 2p + 2q.
हल:

• एकपदी: 1000, Pqr
• द्विपदी: x + y, 2y – 3y², 4 – 15z², P²q – pq², 2p + 24
• त्रिपदी: 7 + y + 5x, 2y – 3y² + 4y³, 5x – 4y + 3xy

वे बहुपद जो उपर्युक्त श्रेणियों में नहीं आते हैं:
x + x² + x³ + x⁴, ab + bc + cd + da

प्रश्न 3.
निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए –

1. ab – bc, bc – ca, ca – ab
2. a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac
3. 2p² – q² – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3pq²
4. l² + m², m² + n², n² + l², 2lm + 2mn + 2nl

हल:

1.

2.

3.

4.

अथवा = 2(l² + m² + n² + lm + mn + nl)

प्रश्न 4.

1. 2a – 9ab + 5b – 3 में से 4a – 7ab + 3b + 12 को घटाइए।
2. 5xy – 2yz – 2x + 10xyz में से 3xy + 5ye – 7zx को घटाइए।
3. 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq² + 5p²q में से 4p²q – 3pq + 5pq² – 8p + 7q – 10 को घटाइए।

हल:
1.

2.

3.

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 150

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.5)

प्रश्न 1.
क्या आप ऐसी और दो परिस्थितियों के बारे में सोच सकते हैं जहाँ हमें बीजीय व्यंजकों को गुणा करना पड़ सकता है?
उत्तर:
हाँ, सोच सकते हैं, जहाँ हमें बीजीय व्यंजकों का गुणा करना पड़ सकता है।

1. चाल और समय (∴ x समय या d = s x t)
2. साधारण ब्याज (∴ S.I. = )

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 151

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.6)

प्रश्न 1.
4x × 5y × 7. ज्ञात कीजिए:
सर्वप्रथम 4x × 5y ज्ञात कीजिए और फिर उसे 7z से गुणा कीजिए, अथवा सर्वप्रथम 5y × 7. ज्ञात कीजिए और इसे 4x से गुणा कीजिए। क्या परिणाम एक जैसा है? आप क्या विचार करते हैं? क्या गुणा करते समय क्रम का महत्व है?
हल:
4x × 5y × 7z = (4x × 5y) × 7z
= 20xy × 7z = 140xy
और 4x × 5y × 7z = 4x × (5y × 7z)
= 4x × 35yz = 140xyz
(4x × 5y) × 7z = 4x × (5y × 7z) = 140xyz
हाँ, परिणाम एक जैसा है।
यहाँ, स्पष्ट है कि बहुपदों का गुणनफल साहचर्य है।
गुणा करते समय क्रम का कोई महत्व नहीं है।

प्रश्न 2.
एक आयत के, जिसकी लम्बाई और चौड़ाई दी हुई है, क्षेत्रफल की सारणी को पूरा कीजिए।
हल:

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए –

1. 4, 7p
2. – 4p, 7p
3. – 4p, 7pq
4. 4p³ – 3p
5. 4p, 0.

हल:

1. 4 x 7p = 28pq
2. – 4p x 7p = – 28p²
3. – 4p x 7pq = – 28p²q
4. 4p³ x (-3p) = – 12p⁴
5. 4p x 0 = 0

प्रश्न 2.
निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लम्बाई एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(p, q) ; (10m, 5n) ; (20x², 5y²) ; (4x, 3x²) ; (3mn, Anp).
हल:
क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
∴ क्षेत्रफल = p x q = pq
= 10m x 5n = 50mn
= 20x² × 5y² = 100x²y²
= 4x × 3×2 = 12x³
= 3mn x 4np = 12mn²p

प्रश्न 3.
गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
ऐसे घनाकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः निम्नलिखित है –

1. 5a, 3a², 7a⁴
2. 2p, 4q, 8r
3. xy, 2x²y, 2xy²
4. a, 2b, 3c.

हल:
घनाकार बक्से का आयतन = लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई

1. आयतन = 5a x 3a² x 7a⁴ = 105 a¹ + 2 + 4 = 105a⁷
2. आयतन = 2p x 4qx 8r = 64pqr
3. आयतन = xy × 2x²y × 2xy² = 4x¹⁺²⁺¹y¹⁺¹⁺² = 4x⁴y⁴
4. आयतन = a x 2b x 3c = 6abc

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए –

1. xy, yz, zx
2. a, – a², a³
3. 2, 4y, 8y2, 16y³
4. a, 2b, 3c, 6abc
5. m, – mn, mnp.

हल:
1. गुणनफल = xy × yz × zx = x¹⁺¹y¹⁺¹z¹⁺¹
= x²y²z²

2. गुणनफल = a x – a² x a³ = (1 x (-1) x 1)(a¹⁺²⁺³)
= (-1)a⁶ = – a⁶

3. गुणनफल = 2 x 4y x 8y² x 16y³
= (2 x 4 x 8 x 16) (1,1 + 2 + 3) = 102476

4. गुणनफल = a x 2b x 3c x 6abc
= (1 x 2 x 3 x 6)(a x b x c x abc)
= 36a²b²c²

5. गुणनफल = m x – mn x mnp
= (1x (-1)x 1)(m x mn x mnp)
= (-1) (m³n²p) = – m³n²p

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 153

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.7)

प्रश्न 1.
गुणनफल ज्ञात कीजिए:

1. 2x(3x + 5xy)
2. a²(2ab – 5c).

हल:
1. 2x(3x + 5xy) = 2x × 3x + 2x × 5xy
= 6x² + 10x²y

2. a²(2ab – 5c) = a² x 2ab – a² x 5c
= 2a³b – 5a – ca

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.8)

प्रश्न 1.
(4p² + 5p + 7) x 3p का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल:
(4p² + 5p + 7) x 3p
= 4p² x 3p + 5p x 3p + 7 x 3p
= 12p³ + 15p² + 21p

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए –

1. 4p, q+ r
2. ab, a – b
3. a + b, 7a² – b²
4. a² – 9, 4a
5. pq + qr + rp, 0

हल:
1. 4p x (q + r) = 4p x q + 4p x r
= 4pq + 4pr

2. ab x (a – b) = ab x a – ab x b
= a²b – ab²

3. (a + b) x 7a²b² = a x 7a²b² + b x 7a²b²
= 7a²b² + 7a²b³

4. (a² – 9) x 4a = a² x 4a – 9 x 4a
= 4a³ – 36a

5. (pq + qr + rp) x 0 = 0

प्रश्न 2.
सारणी पूरी कीजिए –
हल:

प्रश्न 3.
गुणनफल ज्ञात कीजिए –

हल:
1. (a²) – (2a²²) x (4a²⁶)
= (1 x 2 x 4) x (a² x a²² x a²⁶)
= 8a^2+22+26 = 8a⁵⁰

2.

3.

4. x × x² × x³ × x⁴  = x^1+2+3+4 = x¹⁰

प्रश्न 4.
(a) 3 x (4x – 5) + 3 को सरल कीजिए और

1. x = 3 एवं
2. x = 1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।

(b) a (a + a + 1) + 5 को सरल कीजिए और

1. a = 0
2. a = 1 एवं
3. a = – 1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।

हल:
(a) 3 x (4x – 5) + 3
= 3x × 4x – 3x × 5 + 3
= 12x² – 15x + 3

1. जब x = 3 हो, तब
3x (4x – 5) + 3 = 3 x 3 (4 x 3 – 5) + 3
= 9 (12 – 5) + 3
= 9 x 7 + 3 = 63 + 3 = 66

(b) a(a² + a + 1) + 5 = a³ + a² + a + 5

1. जब a = 0 हो, तब
a(a² + a + 1) + 5 = 0 (0 + 0 + 1) +5
= 0 (1) + 5 = 0 + 5 = 5

2. जब a = 1 हो, तब
a (a² + a + 1) + 5 = 1 (1² + 1 + 1) + 5
= 1 (3) + 5 = 3 + 5 = 8

3. जब a = – 1 हो, तब
a (a² + a + 1) + 5 = (-1) (1 – 1 + 1) + 5
= (-1) x 1 + 5
= – 1 + 5 = 4

प्रश्न 5.

(a) p (p – q), q(q – r) एवं r (r – p) को जोडिए।
(b) 2x (z – x – y) एवं 2y (z – y – x) को जोड़िए।
(c) 4l (10n – 3m + 21) में से 3l (l – 4l + 5n) को – घटाइए।
(d) 4c (- a + b + c) में से 3a (a + b + c) – 2b (a – b + c) को घटाइए।

हल:
(a) p (p – q) + q (q – r) + r (r – p)
= p x p – p x q + q x q – q x r + r x r – r x p
= p² – pq + q² – qr + r² – rp
= p² + q² + r² – pq – qr – rp

(b) 2x (z – x – y) + 2y (z – y – x)
= 2xz – 2x² – 2xy + 2yz – 2y² – 2xy
= 2x² – 2y² – 4xy + 2yz + 2zx

(c) 4l (10n – 3m + 2l) – 3l (1 – 4m + 5n)
= 40ln – 12lm +8l² – 3l² + 12lm – 15ln
= 8l² – 3l² – 12lm + 12lm + 40ln – 15In
= 5l² + 25ln

(d) 4c(- a + b + c) – [3a (a + b + c) 2b(a – b + c)]
= 4c(- a + b + c) – 3a (a + b + c) + 2b(a – b + c)
= – 4ca + 4bc + 4c² – 3a² – 3ab – 3ac + 2ab – 2b² +2bc
= – 3a² – 2b² + 4c² – 3ab + 2ab + 4bc + 2bc – 4ca – 3ac
= – 3a² – 2b2 + 4c² – ab + 6bc – 7ca

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4

प्रश्न 1.
द्विपदों को गुणा कीजिए –

1. (2x + 5) और (4x – 3)
2. (y – 8) और (3y – 4)
3. (2.5l – 0.5m) और (2.51+ 0.5m)
4. (a + 3b) और (x + 5)
5. (2pq + 3q²) और (3pq – 2q²)
6. (a² +3b²) और 4 (a² – 2b²)

हल:
1. (2x + 5) x (4x – 3)
= (2x × 4x – 3) + 5 (4x – 3)
= 2x × 4x – 2x × 3 + 5 × 4x – 5 x 3
= 8x² – 6x + 20x – 15
= 8x + 14x – 15 (समान पदों को जोड़ने पर)

2. (y – 8) x (3y – 4) = y × (3y – 4) – 8 (3y – 4)
= y × 3y – y × 4 – 8 × 3y + 8 × 4
= 3y² – 4y – 24y + 32
= 3y² – 28y + 32

3. (2.51 – 0.5m) x (2.51 + 0.5m)
= 2.51 (2.51 + 0.5m) – 0.5m (2.51 + 0.5m)
= 6.25l² + 1.25lm – 1.25lm – 0.25m²
= 6.25l² – 0.25m²

4. (a + 3b) x (x + 5) = a x (x + 5) + 3b (x + 5)
= ax + 5a + 3bx + 3b x 5
= ax + 5a + 3bx + 15b

5. (2pq + 3q²) (3pq – 2q²)
= 2pq x (3pq – 2q²) + 3q²(3pq – 2q²)
= 2pq x 3pq – 2pq x 2q² + 3q² x 3pq – 3q² x 2q2
= 6p²q² – 4pq² + 9pq³ – 6q⁴
= 6p²q² + 5pq³ – 6q⁴

6. (a² + 3b²) = 4 (a² – b²)
= (a² + 3b²) + (4a² – b²)
= a²(4a² – b²) + 3b³ (4a² – b²)
= 3a⁴ – 2a²b² + 12a²b² – 8b⁴
= 3a⁴ – 10a²b² – 8b⁴

प्रश्न 2.
गुणनफल ज्ञात कीजिए –

1. (5 – 2x) (3 + x)
2. (x + 7y) (7x – y)
3. (a² + b) (a + b²)
4. (p² – q²) (2p + q)

हल:
1. (5 – 2x) x (3 + x) = 5 x (3 + x) – 2x × (3 + x)
= 15 + 5x – 6x – 2x²
= 15 – x – 2x²

2. (x + 7y) x (7x – y) = x × (7x – y) + 7y x (7x – y)
= 7x² – xy + 49xy – 7y²
= 7x² + 48xy – 7y²

3. (a² + b) x (a + b²) = a² x (a + b²) + b x (a + b²)
= a + a²b² + ab + b²
= a³ + a²b² + ab + b³

4. (p² – q²) x (2p + q) = p² x (2p + q) – q² x (2p +9)
=2p³ + p²q – 2pq² – q³
= 3p³ + p²q – 2pq² – q³

प्रश्न 3.
सरल कीजिए –

1. (x² – 5) (x + 5) + 25
2. (a² + 5) (b³ + 3) + 5
3. (t + s²)(t² – s)
4. (a + b)(c – d) + (a – b) (c + d) + 2(ac + ba)
5. (x + y (2y + y) + (x + 2y) (x – y)
6. (x + y) (x² – xy + y)
7. (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
8. (a + b + c) (a + b – c)

हल:
1. (x² – 5) (x + 5) + 25
=x² × (x + 5) – 5 x (x + 5) + 25
=x³ × 5x² – 5x – 25 + 25
= x³ + 5x² – 5x

2. (a² + 5) × (b³ + 3) + 5
= a² x (b³ + 3) + 5 x (b³ + 3) + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 15 + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 20

3. (t + s²) (t² – s) = t × (t² – s) + s² + (t² – s)
= t³ – ts + s²t² – s³

4. (a + b)(c – d) + (a – b)(c + d) + 2(ac + bd)
= a (c – d) + b(c – d) + a(c – d) – b(c + d) + 2ac + 2bd
= ac – ad + bc – bd + ac + ad – bc – bd + 2ac + 2bd
= (1 + 1 + 2)ac + (- 1 + 1) ad + (1 – 1)bc (- 1 – 1 + 2)bd
= (4ac + (0) ad + (0) bc + (0) bd
= 4ac

5. (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y)
= x(2x + y) + y x (2x + y) + x × (x – y) + 2y (x – y)
= 2x² + xy + 2xy + y² + x² – xy + 2xy – 2y²
= 2x² + x² + xy + 2xy – xy + 2xy + y² – 2y²
= 3x² + 4xy – y²

6. (x + y) (x² – xy + y²)
= x × (x² – xy + y²) + y x (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ – x²y + x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³

7. (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 1.5x (1.5x + 4y + 3) – 4y(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 2.25x² + 6.0xy + 4.5x – 6.0xy – 16y² – 12y – 4.5x + 12y
= 2.25x² + 6.0xy – 6.0xy + 4.5x – 4.5x – 12y + 12y – 16y²
= 2.25x² – 16y²

8. (a + b + c)(a + b – c) = a (a + b – c) + b(a + b – c) + c(a + b – c)
= a² + ab – ac + ab + b² – bc + ac + bc – c²
= a² + b² – c² + ab + ab – ac + ac – bc + bc
= a² + b² – c² + 2ab

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 158

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.8)

प्रश्न 1.
सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर – b रखिए। क्या आपको सर्वसमिका (II) प्राप्त होती है?
हल:
सर्वसमिका (I) से, हम प्राप्त करते हैं
(a + b)² = a² + 2ab + b²
b के स्थान पर – b रखने पर,
{a + (-b)}² = a² + 2a(- b) + (- b)²
(a – b)² = a – 2ab + b² (सर्वसमिका II)
हाँ, सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर – b रखने पर हमें सर्वसमिका II प्राप्त होती है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.9)

प्रश्न 1.
a = 2, b = 3,x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
a = 2
b = 3 तथा
x = 5 रखने पर,
L.H.S. = (x + a) (x + b)
= (5 + 2) (5 + 3)
= 7 x 8 = 56
R.H.S. = x² + (a + b)x + ab
= (5)² + (2 + 3)5 + 2 x 3
= 25 + 25 + 6 = 56
∴ L.H.S. = R.H.S.
अत: a = 2, b = 3 और x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
सर्वसमिका (IV) में a = b लेने पर आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है?
हल:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका (IV)
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
इसमें a = b रखने पर, हम प्राप्त करते हैं –
(x + b) (x + b) = x² + (b + b)x + b x b
= x² + 2bx + b²
अथवा
x + 2ax + a
हाँ, यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 3.
सर्वसमिका (IV) में a = – c तथा b = – c लेने पर, आप क्या प्राप्त करते हैं। क्या यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है?
हल:
सर्वसमिका (IV) से, x = – c रखने पर हम प्राप्त करते हैं –
[x + (- c)] [x + (- c)] = x² + (- c – c) x + (- c) (- c)
या (x – c) (x – c) = x² – 2cx + c²
(x – c)² = x² – 2cx + c²
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 4.
सर्वसमिका (IV) में b = – a लीजिए। आप क्या पाते हैं? क्या यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है?
हल:
सर्वसमिका (IV) में b = – a लेने पर, हम पाते हैं –
(x + a) {x + (- a)} = x² + (a – a)x + (a)(- a)
या (x + a) (x – a) = x² – a²
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित गुणनफलों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए उचित सर्वसमिका का उपयोग कीजिए –

1. (x + 3) (x + 3)
2. (2y + 5) (2y + 5)
3. (2a – y) (2a – y)
4. (3a – ) (3a – )
5. (11m – 0.4) (1.1m + 0.4)
6. (a² + b²)(- a² + b²)
7. (6x – 7) (6x + 7)
8. (- a + c) (- a + c)
9. ( + ) ( + )
10. (7a – 9b) (7a – 9b)

हल:
1. (x + 3) (x + 3)
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² के उपयोग से,
(x + 3)² = x² + 2 x 3 × x + (3)²
= x² + 6x + 9

2. (2y + 5) (2y + 5) = (2y + 5)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करने पर,
∴ (2y + 5) = (2y)² + 2 x (2y) x 5 + (5)²
= 4y² + 20y + 25

3. (2a – 7) (2a – 7) = (2a – 7)²
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का उपयोग करने पर,
∴ (2a – 7)² = (2a)² – 2 x 2a x (7) + (- 7)²
= 4a² – 28a + 49

4. (3a – ) (3a – ) = (3a – )²
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का उपयोग करने पर,
∴ (3a – )² = (3a)² – 2 x (3a) x (12) + (- )²
= 9a² – 3a +

5. (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)
सर्वसमिका (a – b) (a + b) = a² – b² का उपयोग करने पर,
∴ (1.1m – 0.4) (11m + 0.4) = (1.1m)² – (0.4)²
= 1.21m – 0.16

6. (a² + b²) (- a² + b²) = (b² + a²) (b² – a²)
सर्वसमिका (a + b) (a – b) = a² – b² का उपयोग करने पर,
∴ (b² + a²) (b² – a²) = (b²)² – (a²)²
= b⁴ – a⁴

7. (6x – 7) (6x + 7)
सर्वसमिका (a – b)(a + b) = a² – b² का उपयोग करने पर
∴ (6x – 7) (6x + 7) = (6x)² – (7)²
= 36x² – 49

8. (- a + c) (- a + c) = (- a + c)²
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का उपयोग करने पर,
= (- a)² – 2(a)(c) + (c)²
= a² – 2ac + c²

10. (7a – 9b) (7a – 9b) = (7a – 9b)²
सर्वसमिका (a – b) = a² – 2ab+ b² का उपयोग करने पर,
∴ (7a – 7b) = (7a)² – 2 x 7a x 9b + (9b)²
= 49a² – 126ab + 81b²

प्रश्न 2.
निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का
उपयोग कीजिए –

1. (x + 3) (x + 7)
2. (4x + 5) (4x + 1)
3. (4x – 5) (4x – 1)
4. (4x + 5) (4x – 1)
5. (2x + 5y) (2x + 3y)
6. (2a² + 9) (2a² + 5)
7. (xyz – 4) (xyz – 2).

हल:
1. (x + 3) (x + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में
a = 3 तथा b = 7 रखने पर,
(x + 3) (x + 7) = x² + (3 + 7)x + 3 x 7
= x² + 10x + 21

2. (4x + 5) (4x + 1)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab में
x = 4x, a = 5 तथा b = -1 रखने पर,
(4x + 5) (4x + 1) = (4x)² + (5 + 1) 4x + 5 x 1
= 16x² + 4x + 5

3. (4x – 5) (4x – 1)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab में
x= 4x, a = -5 तथा b = 1 रखने पर,
(4x – 5) (4x – 1) = (4x)² + (- 5 – 1)4x + (-5)(-1)
= 16x² – 24x + 5

4. (4x + 5) (4x – 1)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में
x = 4x, a = 5 तथा b = – 1 रखने पर,
(4x + 5) (4x – 1) = (4x)² + (5 – 1)4x + (5)(-1)
= 16x² + 16x – 5

5. (2x + 5y) (2x +3y)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में
x = 2x, a = 5y तथा b = 3y रखने पर,
(2x + 5y) (2x + 3y)= (2x)² + (5y + 3y) (2x) +5y x 3y
= 4x² + 16xy + 15y²

6. (2a² + a) (2a² + 5)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में
x = 2a², a = 9 तथा b = 5 रखने पर,
(2a² + 9) (2a² + 5) = (2a²)² + (9 + 5) 2a² + 9 x 5
= 4a⁴ + 28a² + 45

7. (xyz – 4) (xyz – 2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में
x = xyz, a =- 4 तथा b = – 2 रखने पर,
(xyz – 4) (xyz – 2) = (xyz) + (- 4 – 2)xyz + (- 4)(- 2)
= x²y²z² – 6xyz +8

प्रश्न 3.
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए –

1. (b – 7)²
2. (xy + 3z)²
3. (6x² – 5y
4. (23m + 32n)²
5. (0.4p – 0.54)²
6. (2xy + 5y)²

हल:
1. (b – 7)² सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² से,
(b – 7)² = b² – 2 x b x 7 + (7)²
= b² – 14b + 49

2. (xy + 3z)
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से,
(xy + 3z)² = (xy) + 2 × xy x 3z + (3z)²
= xy² + 6xyz + 9z²

3. (6x² – 5y)²
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² से,
(6x² – 5y)² = (6x²)² – 2 x 6x² × 5y + (5y)²
= 36x⁴ – 60xy + 25y²

5. (0.4p – 0.5q)²
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² से
(0.4p – 0.5q) = (0.4p)² – 2 x 0.4p x 0.5q + (0.5q)²
= 0.16p² – 0.4pq + 0.25q²

6. (2xy + 5y)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से,
(2xy + 5y)² = (2xy)² + 2 x 2xy x 5y + (5y)²
= 4x²y² + 20xy² + 25y²

प्रश्न 4.
सरल कीजिए –

1. (a² – b²)²
2. (2x + 5)² – (2x – 5)²
3. (7m – 8n)² + (7m + 8n)²
4. (4m +5n)² + (5m +4n)²
5. (2.5p – 1.5q)² – (1.5p – 2.5q)²
6. (ab + bc) – 2ab²c
7. (m² – n² – m)² + 2m³n²

हल:
1. (a² – b²)² = (a²)² – 2 x a² x b² + (b²)²
= a⁴ – 2a²b² + b⁴

2. (2x + 5)² – (2x – 5)²
= (4x² + 20x + 25) – (4x² – 20x + 25)
= 4x² + 20x + 25 – 4x² + 20x – 25
= 40x

3. (7m – 8n)² + (7m + 8n)²
= (49m² – 112mn + 64n²) + (49m² + 112mn + 64n²)
= 49m² – 112mn + 64n² + 49m² + 112mn + 64n²
= 98m² + 128n²

4. (4m + 5n)² + (5m + 4n)²
= (16m² + 40mn + 25n²) + (25m² + 40mn + 16m²)
= 16m² + 40mn + 25n² + 25m² + 40mn + 16n²
= 41m² + 80mn + 41n²

5. (2.5p – 1.5q)² – (1.5p – 2.5q)²
= (6.25p² – 7.5pq + 2.25q²) – (2.25p² – 7.5pq + 6.25q²)
= 6.25p² – 7.5pq + 2.25q² – 2.25p² + 7.5pq – 6.25q²
= 6.25p² – 2.25p² + 2.25q² – 6.25q²
= 4p² – 4q²

6. (ab + bc)² – 2ab²c
= ab² + 2 x ab x bc + b²c² – 2ab²c
= ab² + 2ab²c + b²c² – 2ab²c
= a²b² + b²c²

7. (m² – n²m²) + 2m³n²
= (m²)² – 2 x m² x n²m + (n²m)² + 2m³n²
= m⁴ – 2m³n² + n⁴m² + 2m³n²
= m⁴ + n⁴m²

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि –

हल:
1. (3x + 7)² – 84x = (3x – 7)²
L.H.S. = (3x + 7)² – 84x
= (9x² + 42x + 49) – 84x
= 9x² – 42x + 49
= (3x)² – 2 x (3x) (7) + (7)²
= (3x – 7)² = R.H.S.

2. (9p – 5q)² + 180pq = (9p + 5q)²
L.H.S. = (9p – 5q)² + 180pq
= 81p² – 90pq + 25q² + 180pq
= 81p² + 90pq + 25q²
= (9p)² + 2(9p)(5q) + (5q)²
= (9p + 5q) = R.H.S.

4. (4pq + 3q)² – (4pq – 3q)² = 48pq²
L.H.S. = (4pq + 3q)² – (4pq – 3q)²
= (16p²q² + 24pq² + 9q²) – (16p²q² – 24pq² + 9q²)
= 16p²q² + 24pq² + 9q² – 16p²q² + 24pq² – 9q²
= 48pq² = R.H.S.

5. (a – b)(a + b) + (b – c)(b + c) + (c – a)(c + a) = 0
L.H.S. = (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a)
= a² – b² + b² – c² + c² – a²
= 0 = R.H.S.

प्रश्न 6.
सर्वसमिकाओं के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए –

1. 71²
2. 99²
3. 102²
4. 998²
5. 5.2²
6. 297 x 303
7. 78 x 82
8. 8.9²
9. 1.05 x 9.5

हल:
1. 71² = (70 + 1)²
= (70)² + 2 x 70 x 1 + (1)²
= 4900 + 140 + 1
= 5041

2. 99² = (100 – 1)²
= (100)² – 2 x 100 x 1 + (1)²
= 10000 – 200 + 1
= 9801

3. (102)² = (100 + 2)²
= (100)² + 2 x 100 x 2 + (2)²
= 10000 + 400 + 4 = 10404

4. (998)² = (1000 – 2)²
= (1000)² – 2 x 1000 x 2 + (2)²
= 1000000 – 4000 + 4
= 996004

5. (5.2)² = (5 + 0.2)²
= (5)² + 2 x 5 x 0.2 + (0.2)²
= 25 + 2 + 0.04
= 27.04

6. 297 x 303 = (300 – 3) (300 + 3)
= (300)² – (3)²
[∴ (a – b) (a + b) = a² – b²]
= 90000 – 9
= 89991

7. 78 x 82 = (80 – 2) (80 + 2)
= (80)² – (2)²
= 6400 – 4
= 6396

8. (8.9)² = (9 – 0.1)²
= (9)² – 2 x 9 x 0.1 + (0.1)²
=81 – 1.8 + 0.01
= 81.01 – 1.8
= 79.21

9. 1.05 x 9.5 = (1 + 0.05) 9.5
= 1 x 9.5 + 0.05 x 9.5
= 9.5 + 0.475
= 9.975

प्रश्न 7.
a² – b² = (a + b) (a – b) का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए –

1. 51² – 49²
2. (1.02)² – (0.98)²
3. 153² – 147²
4. 12.1² – 7.9²

हल:
1. 51² – 49²
a² – b² = (a + b) (a-b) का उपयोग करने पर,
51² – 4a² = (51 + 49) (51 – 49)
= 100 x 2 = 200

2. (1.02)² – (0.98)²
a² – b² = (a + b) (a – b) का उपयोग करने पर
(1.02)² – (0.98)² = (1.02 + 0.98) (1.02 – 0.98)
= 2.00 x 0.04 = 0.08

3. 153² – 147²
a² – b² = (a + b)(a – b) का उपयोग करने पर
153² – 147² = (153 + 147) (153 – 147)
= 300 x 6 = 1800

4. 12.1² – 7.9²
a² – b² = (a + b) (a – b) का उपयोग करने पर,
12.1² – 7.9² = (12.1 + 7.9) (12.1 – 7.9)
= 20 x 4.2 = 84

प्रश्न 8.
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए –

1. 103 x 104
2. 5.1 x 5.2
3. 103 x 98
4. 9.7 x 9.8.

हल:
1. 103 x 104 = (100 + 3) (100 + 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में
x = 100, a = 3 तथा b = 4 रखने पर,
(100 + 3) (100 + 4) = (100)² + (3 + 4) 100 + 3 x 4
= 10000 + 700 + 24 = 10724

2. 5.1 x 5.2 = (5 + 0.1) (5 + 0.2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab में,
x = 5, a = 0.1 तथा b = 0.2 रखने पर,
(5 + 0.1) (5.02) = (5)² + (0.1 + 0.2) 5 + 0.1 x 0.2
= 25 + 1.5 + 0.02 = 26.52

3. 103 x 98 = (100 + 3) (100 – 2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab में
x = 100, a = 3 तथा b = – 2 रखने पर,
(100 + 3) (100 – 2)= (100)² + (3 – 2) 100 – 3 x (-2)
= 10000 + 100 – 6 = 10094

4. 9.7 x 9.8 = (9 + 0.7) (9 + 0.8)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab में
x = 9, a = 0.7 तथा b = 0.8 रखने पर,
(9 + 0.7) (9 + 0.8) = (9)² + (0.7+ 0.8)9 + 0.7 x 0.8
= 81 + 13.5 + 0.56 = 95.06

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ, Study Learner