NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती
NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती
प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.1
प्रश्न 1.
एक रेखा (मान लीजिए AB) खींचिए और इसके बाहर स्थित कोई बिन्दु C लीजिए। केवल पैमाना (रूलर) और परकार को प्रयोग करते हुए C से होकर AB के समान्तर एक रेखा खींचिए।
हल:
रचना के पद :
- एक रेखा AB खींची और इसके बाहर एक बिन्दु C लिया।
- रेखा AB पर एक बिन्दुलिया और CD को मिलाया।
- D को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो AB को E पर तथा CD को F पर काटता है।
- C को केन्द्र मानकर और DE के बराबर त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो CD को G पर काटता है।
- G को केन्द्र मानकर और EF त्रिज्या लेकर ऊपरी चाप बिन्दु H पर काटा।
- CH को मिलाते हुए रेखा m खींची। इस प्रकार रेखा m अभीष्ट रेखा है जो m || AB है।
प्रश्न 2.
एक रेखा l खींचिए और l पर स्थित किसी बिन्दु पर l पर लम्ब खींचिए इस लम्ब रेखा पर एक बिन्दु x लीजिए जो l से 4 cm की दूरी पर हो। x से होकर l के समान्तर एक रेखा m खींचिए।
हल:
रचना के पद:
- एक रेखा l खींची और इस पर एक बिन्दु A लिया।
- A पर 90° का कोण बनाते हुए l पर लम्बवत् रेखा AN खींची।
- AN पर कोई बिन्दु x लिया। AX = 4 cm
- पर 90° का कोण बनाकर AN पर लम्ब खींचा।, m || l अभीष्ट रेखा है, जो x से होकर जाती है।
प्रश्न 3.
मान लीजिए l एक रेखा है और Pएक बिन्दु है: जो l पर स्थित नहीं है। Pसे होकर l के समान्तर एक रेखा m खींचिए। अब P को l के किसी बिन्दुए से जोड़िए। m पर कोई अन्य बिन्दु R चुनिए। R से होकर, PQ के समान्तर एक रेखा खींचिए। मान लीजिए यह रेखा l से बिन्दु पर मिलती है। समान्तर रेखाओं के इन दोनों युग्मों से क्या आकृति बनती
हल:
रचना के पद:
- एक रेखा l खींची और इसके बाहर कोई बिन्दु P लिया।
- रेखा l पर कोई बिन्दुए लिया और PQ को मिलाया।
- P से m || l खींची।
- रेखा m पर कोई बिन्दु R लिया।
- R से RS || PQ इस प्रकार खींची कि यह l पर 5 से मिले।
∴ l || m अत: RP || SQ
साथ ही PQ || RS
∴ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 214
सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए
प्रश्न 1.
एक विद्यार्थी ने एक ऐसा त्रिभुज खींचने का प्रयत्न किया, जिसकी रफ आकृति यहाँ दी गई है। पहले उसने QR खींचा। फिर उसने 0 को केन्द्र मानकर और 3 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा तथा R को केन्द्र मानकर और 2 cm त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचा। परन्तु वह नहीं प्राप्त कर सका। इसका क्या कारण है ? इस प्रश्न से सम्बन्धित किसी गुण को आप जानते हैं ? क्या ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व है? (त्रिभुज के इस गुण को याद कीजिए : किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से बड़ा होता है।) सोचिए क्या यह सही है ?
हल:
इन मापों से त्रिभुज बनना असम्भव है। क्योंकि त्रिभुज का बनना तभी सम्भव है जबकि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा हो, परन्तु यहाँ 2 cm + 3 cm = 5cm < 6 cm
अत: ऐसे त्रिभुज का कोई अस्तित्व नहीं है।
प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.2
प्रश्न 1.
∆XYZ की रचना कीजिए, जिसमें XY = 4.5 cm, YZ = 5 cm और ZX= 6 cm है।
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार YZ = 5 cm का रेखाखण्ड खींचा।
- YZ के बिन्दु Y को केन्द्र मानकर व 4.5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया।
- YZ के बिन्दु z को केन्द्र मानकर व 6 cm त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाया, जो पहले वाले चाप को x पर काटता है।
- x को Y व z से मिलाकर XY और XZ रेखाखण्ड खींचे।
अतः प्राप्त ∆XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 2.
5.5 cm भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की रंचना कीजिए।
हल:
रचना के पद:
- सर्वप्रथम आधार BC = 5.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- BC के बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर 5.5 cm त्रिज्या लेकर दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
- A को B व C से मिलाकर क्रमश: AB व AC रेखाखण्ड प्राप्त किए।
प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 3.
∆ PQR की रचना कीजिए, जिसमें PQ = 4cm, QR = 3.5 cm और PR = 4 cm है। यह किस प्रकार का त्रिभुज है ?
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार QR = 3.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- QR के बिन्दुव Q को क्रमशः केन्द्र मानकर व 4 cm की त्रिज्या लेकर दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु P पर काटते हैं।
- P को ए व R से मिलाकर क्रमशः PQ व PR रेखाखण्ड प्राप्त किए।
प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
चूँकि PQ = PR = 4 cm
अतः ∆ PQR समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 4.
∆ ABC की रचना कीजिए, ताकि AB = 2.5cm, BC = 6 cm और AC = 6.5 cm हो। ∠B को मापिए।
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार BC = 6 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- BC के बिन्दु B को केन्द्र मानकर व 2.5 cm की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया।
- BC के बिन्दु C को केन्द्र मानकर व 6.5 cm की त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाया, जो पहले चाप को बिन्दु A पर काटता है।
- A को B व C से मिलाकर क्रमश: AB व AC रेखाखण्ड प्राप्त किए।
प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
मापने पर, ∠B = 90°
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 217
प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.3
प्रश्न 1.
∆ DEF की रचना कीजिए, ताकि DE = 5 cm, DF = 3 cm और m ∠EDF = 90° हो।
हल:
रचना के पद:
- सर्वप्रथम आधार DE = 5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- DE के बिन्दु D पर 90° का कोण बनाते हुए एक किरण DX खींची तथा जिसमें से DF = 3 cm का रेखाखण्ड काटा।
- F और E को मिलाया।
अतः प्राप्त ∆ DEF अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 2.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी प्रत्येक समान भुजा की लम्बाई 6.5 cm हो और उनके बीच का कोण 110° का हो।
हल:
रचना के पद:
- सर्वप्रथम आधार AB = 6.5 cm का रेखाखण्ड खींचा।
- AB के बिन्दु B पर ∠ABX = 110° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींची।
- रेखा BX में से BC = 6.5 cm काटकर रेखाखण्ड BC प्राप्त किया।
- C और A को मिलाया। अतः प्राप्त ∆ABC अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 3.
BC = 7.5 cm,AC = 5 cm और m∠C = 60° वाले ∆ABC की रचना कीजिए।
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार BC = 7.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- BC के बिन्दु C पर ∠BCX = 60° बनाते हुए एक किरण CX खींची।
- किरण CX में से AC = 5 cm काटकर रेखाखण्ड AC प्राप्त किया।
- A व B को मिलाया।
अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 218
सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए
प्रश्न 1.
उपर्युक्त उदाहरण में, एक भुजा की लम्बाई और दो कोणों के माप दिए गए थे। अब निम्नलिखित समस्या का अध्ययन कीजिए:
∆ ABC में यदि AC = 7 cm, m∠A = 60° और m∠B = 50° है, तो क्या आप त्रिभुज की रचना कर सकते हैं ? (त्रिभुज का कोण योग गुण आपकी सहायता कर सकता है।)
हल:
यहाँ, हमें AC, ∠A तथा ∠B दिया हुआ है। त्रिभुज के कोण योग गुणं से तीसरा कोण ∠C ज्ञात करेंगे।
∴ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
∴ 60° + 50° + m∠C = 180°
या m∠C = 180° – (60° + 50°) = 70°
इन मापों के आधार पर ∆ ABC की रचना की जा सकती है।
प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.4
प्रश्न 1.
∆ ABC की रचना कीजिए, जब m∠A= 60°, m∠B = 30° और AB = 5.8 cm दिया है।
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार AB = 5.8 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- AB के बिन्दु A और B पर क्रमश: 60° और 30° के कोण अन्तरित करती हुई दो किरणें AX और BY खींची, जो परस्पर बिन्दु C पर काटती हैं।
अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 2.
∆ PQR की रचना कीजिए, यदि PQ = 5 cm, m ∠PQR = 105° और m ∠QRP = 40° दिया है।
(संकेत : त्रिभुज के कोण योग गुण को याद कीजिए।)
हल:
∆ POR बनाने के लिए पहले m∠P ज्ञात करते हैं।
∵ m∠P + m∠Q + m∠R = 180°
∴ m∠P + 105° + 40° = 180°
या m∠P = 180° – (105° + 40°) = 35°
रचना के पद:
- सर्वप्रथम आधार PQ = 5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- PQ के बिन्दु P और Q पर क्रमशः 350 और 105° के कोण अन्तरित करती हुई दो किरणें PM और OY खीर्ची जो परस्पर R पर काटती हैं।
अतः प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि आप ∆ DEF की रचना कर सकते हैं या नहीं, यदि EF = 7.2 cm, m∠E = 110° और m∠F = 80° है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
यहाँ, m∠E = 110°, m∠F = 80°
अर्थात m∠E + m∠F = 1100 + 80° = 190° > 180°
चूँकि त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।
अत: ∆ DEF की रचना नहीं की जा सकती है।
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 220
प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.5
प्रश्न 1.
समकोण ∆PQR की रचना कीजिए, जहाँ m∠Q= 90°, QR = 8 cm और PR = 10 cm.
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार QR = 8 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- QR के बिन्दु Q पर 90° का कोण बनाते हुए किरण Qx खींची।
- बिन्दु R को केन्द्र मानकर तथा 10 cm की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो QX को P पर काटता है।
- PQ को मिलाया।
अतः प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका कर्ण 6 cm लम्बा है और एक पाद 4 cm लम्बा है।
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार BC = 4 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- BC के बिन्दु B पर 90° का कोण बनाते हुए किरण BX खींची।
- बिन्दु C को केन्द्र मानकर तथा 6 cm त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो Bx को A पर काटता है।
- AC को मिलाया।
अतः प्राप्त A.ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जहाँ m∠ACB = 90° है और AC = 6 cm.
हल:
रचना के पद :
- सर्वप्रथम आधार AC = 6 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
- AC के बिन्दु C पर 90° का कोण बनाते हुए किरण CX खींची।
- बिन्दु C को केन्द्र मानकर तथा 6 cm त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो CX को B पर काटता है।
- BA को मिलाया।
अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 220
NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती, Study Learner
