NCERT Solution For Class 7 Math Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल

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NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल

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परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.1

प्रश्न 1.
एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 500 m तथा 300 m है। ज्ञात कीजिए :
(i) भूखण्ड का क्षेत्रफल
(ii) भूखण्ड का मूल्य, यदि 1 m² का मूल्य ₹ 10,000
हल:
(i) भूखण्ड की लम्बाई, l = 500 m,
चौड़ाई b = 300 m
भूखण्ड का क्षेत्रफल = l × b
= 500 m × 300 m = 1,50,000 m²

(ii) भूखण्ड के 1 m² का मूल्य = ₹10,000
∴ भूखण्ड के 1,50,000 m² का मूल्य
= ₹ 10,000 × 1,50,000
= ₹ 1,50,00,00,000

प्रश्न 2.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 320 m है।
हल:
∵ वर्गाकार पार्क का परिमाप = 320 m
अर्थात् 4 × भुजा = 320 m

वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= 80 m × 80 m
= 6,400 m²

प्रश्न 3.
एक आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 440 m- और लम्बाई 22 m हो। इसका परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 22 m
माना कि भूखण्ड की चौड़ाई = b
∴ भूखण्ड का क्षेत्रफल = l × b = 22 × b
या 22 × b = 440

अतः भूखण्ड की चौड़ाई = 20 m
परिमाप = 2(l + b)
= 2 × (22 + 20)
= 2 × 42 = 84 m

प्रश्न 4.
एक आयताकार शीट का परिमाप 100 cm है। यदि लम्बाई 35 cm हो, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए। क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार शीट का परिमाप = 100 cm, लम्बाई = 35 cm, चौड़ाई b = ?
∴ 2(l + b) = 100 cm
या 2(35 + b) = 100 cm

b = 50 – 35 = 15 cm
∴ शीट की चौड़ाई = 15 cm
अब, क्षेत्रफल = l × b
∴ शीट का क्षेत्रफल = 35 × 15 = 525 cm²

प्रश्न 5.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के बराबर है। यदि वर्गाकार पार्क की एक भुजा 60 m हो और आयताकार पार्क की लम्बाई 90 m हो, तो आयताकार पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्गाकार पार्क की भुजा = 60 m
आयताकार पार्क की लम्बाई = 90 m
∴ वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = a² = 60 m × 60 m
= 3,600 m²
∵ आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल
∴ लम्बाई × चौड़ाई = 3,600 m²

प्रश्न 6.
एक तार आयत के आकार का है। इसकी लम्बाई 40 cm और चौड़ाई 22 cm है। यदि उसी तार को दुबारा मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है, तो प्रत्येक भुजा की माप क्या होगी? यह भी ज्ञात कीजिए कि किस आकार का क्षेत्रफल अधिक होगा?
हल:
लम्बाई l = 40 cm, चौड़ाई b = 22 m
परिमाप = 2(l + b)
= 2(40 + 22)
= 2 × 62 = 124cm
आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 40 × 22
= 880 cm²
∵ तार को मोड़कर वर्ग बनाया गया है।
∴ वर्ग का परिमाप – आयत का परिमाप
4 × a= 124 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = (a)²
= 31 × 31
= 961 cm²
∵ 961 cm² > 880 cm²
∴ वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल से अधिक है।

प्रश्न 7.
एक आयत का परिमाप 130 cm है। यदि आयत की चौड़ाई 30 cm हो, तो आयत की लाबाई ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत का परिमाप = 130 cm
आयत की चौड़ाई = 30 cm
∵ आयत का परिमाप = 2 × (l + b)
∴ 2(l + 30) = 130 cm

या आयत की लम्बाई l = 65 – 30 = 35 cm
∴ आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 35 × 30 cm²
= 1,050 cm²

प्रश्न 8.
2 m लम्बाई और 1 m चौड़ाई वाले दरवाजे को एक दीवार में लगाया जाता है। दीवार की लम्बाई 4.50 m तथा चौड़ाई 3.6m है (चित्र 11.5)।₹ 20 प्रति m’ की दर से दीवार पर सफेदी (white wash) कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
दरवाजे की लम्बाई = 2 m, चौड़ाई = 1 m, दीवार की लम्बाई = 4.50 m, चौड़ाई = 3.6 m.
∴ दीवार का क्षेत्रफल = l × b
= 4.50 m × 3.6m
= 16.2 m²
दरवाजे का क्षेत्रफल = 2 m × 1 m = 2 m²
दीवार पर सफेदी वाला क्षेत्रफल
= दीवार का क्षेत्रफल – दरवाजे का क्षेत्रफल
= 16.2 m² – 2 m² = 14.2 m²
∴ सफेदी कराने का व्यय = ₹ 14.2 × 20
= ₹ 284

प्रश्न:
08 cm और 5 cm भुजाओं वाला एक आयत लीजिए। आयत को विकर्ण के अनुदिश ऐसा काटिए जिससे दो त्रिभुज प्राप्त हों (चित्र 11.6)।
एक त्रिभुज को दूसरे पर रखिए।

प्रश्न 1.
क्या ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं ?
उत्तर:
हाँ, ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं।

प्रश्न 2.
क्या आप कह सकते हैं कि दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है ?
उत्तर:
हाँ, दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 3.
क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम भी हैं ?
उत्तर:
हाँ, ये त्रिभुज सर्वांगसमता के SSS गुण के अनुसार सर्वांगसम है।

प्रश्न 4.
इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है ?
हल:
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल 20 cm² है।

प्रश्न 5.
अब एक 5 cm भुजा वाला वर्ग लीजिए और इसे 4 त्रिभुजों में बाँटिए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है (चित्र 11.7)।

प्रश्न 1.
क्या चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है ?
उत्तर:
हाँ, चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 2.
क्या वे एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं ?
उत्तर:
हाँ, वे एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है ?
हल:
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = × वर्ग का क्षेत्रफल
= × 5 × 5
= = 6.25 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 226

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
आगे दिए गए सभी आयत जिसकी लम्बाई 6.cm और चौड़ाई 4 cm है, सर्वांगसम बहुभुज से मिलकर बने हैं। प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
आयत की लम्बाई = 6 cm, चौड़ाई = 4 cm,
आयत सर्वांगसम बहुभुज बनाते हैं।
प्रत्येक दशा में बहुभुज का क्षेत्रफल
= आयत का क्षेत्रफल
= l × b = 6 × 4 = 24 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 227-228

पाठ्या-पुस्तक में दिये गये समान्तर चतुर्भुजों के बारे में सोचिए।
आकृतियों द्वारा घेरे गए वर्गों की संख्या को गिनकर समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और भुजाओं को मापकर परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
तालिका को पूरा कीजिए।
हल:
समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक आकृति में वर्गों की संख्या 15 है। इसलिए प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 15 वर्ग इकाई

परिमाप निकालने के लिए प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज की भुजा AD को नापते हैं।
आकृति : (a) AD = 3.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(l + b) = 2(5 + 3.2) = 16.4 इकाई
(b) AD = 3.6 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.6) = 17.2 इकाई
(c) AD = 4.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 4.2) = 18.4 इकाई
(d) AD = 3.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.2) = 16.4 इकाई
(e) AD = 3.6 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.6)
= 17.2 इकाई
(f) AD = 4.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 4.2) = 18.4 इकाई
(g) AD =5 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 5) = 20 इकाई

तालिका

इकाई स्पष्ट है कि क्षेत्रफल सभी चतुर्भुजों का समान है, लेकिन परिमाप भिन्न हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 228

प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दिये गये 7 cm तथा 5 cm भुजाओं वाले समान्तर चतुर्भुजों को देखिए।
प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। अपने परिणाम का विश्लेषण कीजिए।
हल:

यहाँ, स्पष्ट है कि समान्तर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल अलग-अलग है, लेकिन परिमाप समान हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 229

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न समान्तर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(iii) समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB = 7.2 cm और C से AB पर लम्ब 4.5 cm है।
हल:
(i) आधार = 8 cm, ऊँचाई = 3.5 cm
∴ क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 8 cm × 3.5 cm = 28 cm²

(ii) आधार = 8 cm, ऊँचाई = 2.5 cm
∴ क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
=8 cm × 2.5 cm = 20 cm²

(iii) समान्तर चतुर्भुज का आधार AB = 7.2 cm
ऊँचाई = 4.5cm
क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 7.2 cm × 4.5 cm
= 32.40 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 230

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
ऊपर दिए गए क्रियाकलापों को अलग-अलग प्रकार के त्रिभुज लेकर कीजिए।
हल:
दिया है, ∆ABC हम दूसरा ∆ACD इस प्रकार लेते हैं कि समान्तर चतुर्भुज ABCD दिखाई दे, जैसा कि चित्र 11:11 में दिखाया गया है :

ऊपर की प्रत्येक आकृति में, ∆ABC के क्षेत्रफल का दो गुना समान्तर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।
क्योंकि हम जानते हैं कि ∆ABC का क्षेत्रफल
= (आधार × ऊँचाई)
तथा समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई होता है।

प्रश्न 2.
अलग-अलग प्रकार के समान्तर चतुर्भुज लीजिए। प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में एक विकर्ण के अनुदिश काटिए। क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं ?
हल:
दिया है, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विकर्ण AC अथवा BD के अनुदिश काटा, जैसा कि चित्र 11.12 में दिखाया गया है। ये त्रिभुज आपस में सर्वांगसम होंगे।

प्रश्न 3.
चित्र 11.13 में सभी त्रिभुज, आधार AB = 6 cm पर स्थित हैं। आधार AB पर प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?
क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है?

हल:
चित्र से स्पष्ट है कि प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई आधार AB पर बराबर है।

अतः हम कह सकते हैं कि समान आधार और बराबर ऊँचाई के त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 4.
आधार 6 cm वाले एक अधिक कोण त्रिभुज (obtuse angled triangle) त्रिभुज ABC पर विचार करते हैं।
इसकी ऊँचाई AD शीर्ष A से DC पर लम्ब है जो त्रिभुज के बाह्य स्थित है।
क्या आप इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं ?

हल:
हाँ, इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 232-234

परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.2

प्रश्न 1.
निम्न में प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

हल:
(a) यहाँ, आधार (b) = 7 cm, ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (7 × 4) cm² = 28 cm

(b) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 3 cm.
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= b × h = (5 × 3) cm² = 15 cm²

(d) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 4.8 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (5 × 4.8) cm² = 24 cm²

(e) यहाँ, आधार (b) = 2 cm, ऊँचाई (h) = 4.4 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (2 × 4.4) cm² = 8.8 cm²

प्रश्न 2.
निम्न में से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि

प्रश्न 5.
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (संलग्न चित्र 11.17)| QM शीर्ष Q से SR तक की ऊँचाई तथा QN शीर्ष Q से PS तक की ऊँचाई है। यदि SR = 12 cm और QM = 7.6 cm, तो ज्ञात कीजिए :
(a) समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
(b) ON यदि, PS = 8 cm

हल:
(a) यहाँ, आधार SR = 12 cm,
संगत ऊँचाई QM = 7.6 cm
समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = b × h
= SR × QM
= (12 × 7.6) cm²
= 91.2 cm²

(b) अब, समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 91.2 cm², आधार (PS) = 8 cm
माना कि संगत ऊँचाई (QN) = h cm
b × h = 91.2
या 8 × h = 91.2

∴ QN = 11.4 cm

प्रश्न 6.
DL और BM समान्तर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाएँ AB और AD पर लम्ब हैं(संलग्न चित्र 11.18)। यदि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1470 cm² है, AB = 35 cm, और AD = 49 cm है, तो BM तथा DL की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC, A पर समकोण है (संलग्न चित्र 11.19),और AD भुजा BC पर लम्ब है। यदि AB = 5cm, BC = 13 cm और AC = 12 cm है, तो ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 8.
∆ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC = 7.5 cm और BC = 9 cm है (संलग्न चित्र 11.20)। 4 से BC तक की ऊँचाई AD, 6 cm है। ∆ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। C से AB तक की ऊँचाई, अर्थात् CE क्या होगी?

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 236

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र 11.21 में
(a) किस वर्ग का परिमाप अधिक है ?
(b) कौन-सा अधिक है; छोटे वर्ग का परिमाप या वृत्त की परिधि?

हल:
(a) बाहरी वर्ग का परिमाप अधिक है।
(b) छोटे वर्ग के परिमाप से वृत्त की परिधि अधिक है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक चौथाई प्लेट तथा एक अर्द्ध प्लेट लीजिए। प्रत्येक को टेबल की ऊपरी सतह पर एक बार घुमाइए। कौन-सी प्लेट एक पूरे चक्कर में अधिक दूरी तय करती है? कौन-सी प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लम्बाई को पूरा करेगी?

हल:
एक पूरे चक्कर में अर्द्ध प्लेट अधिक दूरी तय करेगी। एक चौथाई प्लेट की अपेक्षा अर्द्ध प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लम्बाई को पूरा करेगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 237

निम्न पर विचार कीजिए

एक किसान खेत के केन्द्र पर 7 m त्रिज्या वाली एक फूलों की क्यारी खोदता है। उसे खाद को खरीदने की आवश्यकता है। यदि 1 m² क्षेत्रफल के लिए 1 kg खाद की आवश्यकता हो, तो उसे कितने किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए?
हल:
यहाँ, फूलों की क्यारी की त्रिज्या r = 7 m
∵ क्यारी का क्षेत्रफल = πr²

∵ 1 वर्ग मीटर के लिए खाद चाहिए = 1 kg
∴ 154 वर्ग मीटर के लिए खाद चाहिए = 1 × 154
= 154 kg
अत: उसे 154 किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 238

प्रश्न 1.
₹10 प्रति m² की दर से, 2 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय क्या होगा?
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 239-240

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर अलग-अलग त्रिज्याओं के वृत्तों को बनाइए। वर्गों की संख्या को गिनकर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सूत्र का प्रयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।
हल:
1 वर्ग सेमी के ग्राफ पर 2 सेमी तथा 3 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त खींचे।

दोनों वृत्तों के पूर्ण वर्ग को गिनने पर हमें क्रमश: 12 सेमी तथा 28 सेमी² क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
सूत्र का प्रयोग करने पर हमें उनका क्रमशः निम्न क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

यहाँ हम देखते हैं कि दोनों क्षेत्रफलों के मान भिन्न-भिन्न प्राप्त होते हैं। हालांकि यह अन्तर बहुत कम है।

परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए (π = लीजिए):
(a) 14 cm
(b) 28 cm
(c) 21 cm
हल:

हल:

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154 मी हो, तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए

हल:
यहाँ, वृत्त की परिधि = 154 m,
माना कि त्रिज्या = r m
∴ वृत्त की परिधि = 2πr = 154

प्रश्न 4.
21 m व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। ₹ 4 प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए

हल:

प्रश्न 5.
4 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
वृत्ताकार शीट की त्रिज्या R = 4cm (बाहरी त्रिज्या)
शीट में से निकाले गये वृत्त की त्रिज्या r = 3 cm (भीतरी त्रिज्या)
∴ शेष शीट का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल – भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल
= πR² – πr²
= π (R² – r²) = π (R + r) (R – r)
= 3.14 × (4 + 3) (4 – 3)
= 3.14 × 7 × 1 = 21.98 cm²

प्रश्न 6.
साइमा 1.5 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लम्बाई ज्ञात कीजिए और ₹15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:

प्रश्न 7.
दी गई आकृति व्यास के साथ एक अर्द्धवृत्त है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:
अर्द्धवृत्त का व्यास = 10 cm

प्रश्न 8.
₹ 15 प्रति वर्ग मीटर की दर से 1.6m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
टेबल के ऊपरी सतह का व्यास = 1.6m

टेबल के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल
= πr2 = 3.14 × (0.8)²
= 3.14 × 0.8 × 0.8 m²
∵ पॉलिश की दर = ₹ 15/m²
∴ टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय
= ₹15 × 3.14 × 0.8 × 0.8
= ₹30.144
अत: पॉलिश कराने का अभीष्ट व्यय
= ₹30.14(लगभग)

प्रश्न 9.
शाझली 44 cm लम्बाई वाला एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इस तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी?
कौन-सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है-वृत्त या वर्ग ?

हल:
यहाँ, तार की लम्बाई = 44 cm,
‘माना कि वृत्त की त्रिज्या = r
∵ तार द्वारा बने वृत्त की परिधि = 2πr
∴ 2πr = 44

प्रश्न 10.
14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से 3.5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 cm लम्बाई तथा 1 cm चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है)। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल:

अत: दो छोटे वृत्तों का क्षेत्रफल
= 2 × 38.5 cm² = 77 cm²
पुनः छोटे आयत की लम्बाई = 3 cm, चौड़ाई = 1 cm
∴ आयत का क्षेत्रफल = 3 × 1 = 3 cm²
∴ शीट से काटा गया कुल क्षेत्रफल
= 77 cm² + 3 cm² = 80 cm²
अतः, शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल
= 616 cm² – 80 cm²
= 536 cm²

प्रश्न 11.
6 cm भुजा वाले एक वर्गाकार ऐल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 लीजिए)
हल:
वर्ग की भुजा = 6 cm
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = a × a = 6 × 6 = 36 cm²
शीट में से काटे गये वृत्त की त्रिज्या = 2 cm
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 2 × 2
= 12.56 cm²
शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = 36 cm² – 12.56 cm²
= 23.44 cm²

प्रश्न 12.
एक वृत्त की परिधि 31.4.cm है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
यहाँ, वृत्त की परिधि = 31.4 cm
माना कि वृत्त की त्रिज्या = r
∴ 2πr = 31.4
या 2 × 3.14 × r = 314

= 5 cm
अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 5 cm
अब, वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
3.14 × 5 × 5
= 78.5 cm²

प्रश्न 13.
एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4m चौड़ा पथ है तथा फूलों की क्यारी का व्यास 66 m है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
यहाँ, फूलों की क्यारी का व्यास = 66 m

∵ चारों ओर मार्ग की चौड़ाई = 4 m

∴ बाहरी वृत्त की त्रिज्या (R) = 33 m + 4 m
= 37 m
∴ शेष भाग का क्षेत्रफल = πR² – πr²
= π (R² – r²)
= 3.14 × (37² – 33²)
= 3.14 × (37 + 33) (37 – 33)
= 3.14 × 70 × 4 = 879.2 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 879.2 m²

प्रश्न 14.
एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 m² है। बगीचे के केन्द्र में एक घूमने वाला फव्वारा (Sprinkler) लगाया जाता है जो अपने चारों ओर 12 m त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा ? (π = 3.14 लीजिए)
हल:
वृत्ताकार बगीचे का क्षेत्रफल = 314 m²
माना कि बगीचे की त्रिज्या = r m
∴ बगीचे का क्षेत्रफल = πr² = 314

अब फव्वारे द्वारा घिरे क्षेत्र की त्रिज्या = 12 m
∵ 12 m > 10 m
हाँ, फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा।

प्रश्न 15.
आकृति में अन्तः और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)

हल:
यहाँ, बाह्य वृत्त की त्रिज्या (R) = 19 m
∴ बाह्य वृत्त की परिधि = 2πR
= 2 × 3.14 × 19 m
= 119.32 m
अन्त: वृत्त की त्रिज्या (r) = 19m – 10 m = 9m
∴ अन्तः वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × 3.14 × 9
= 56.52 m

प्रश्न 16.
28 cm त्रिज्या वाले एक पहिए को 352 m दूरी · तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा?

हल:
पहिए की त्रिज्या (r) = 28 cm
∴ पहिए की परिधि = 2πr

∵ पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी = 176 cm
∵ पहिए द्वारा तय कुल दूरी = 352 m = 35,200 cm

अतः पहिया 352 m की दूरी 200 चक्करों में तय करेगा।

प्रश्न 17.
एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई 15 cm है। मिनट की सुई की नोंक 1 घण्टे में कितनी दूरी तय करेगी। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
∵ मिनट की सुई की लम्बाई = 15 cm
∴ मिनट की सुई की नोंक द्वारा बनाए गए वृत्त की त्रिज्या
(r) = 15 cm
इस प्रकार, बने वृत्त की परिधि
= 2πr = 2 × 3.14 × 15 = 94.2 cm
∵ मिनट की सुई 1 घण्टे में 1 चक्कर लगाती है।
अत: मिनट की सुई की नोंक द्वारा 1 घण्टे में चली गई अभीष्ट दूरी = 94.2 cm

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 241

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न को बदलिए :
(i) 50 cm² को mm² में
(ii) 2 ha को m² में
(iii) 10 m² को cm² में
(iv) 1000 cm² को mm² में
हल:
(i) ∵ 1 cm² = (10 × 10) mm² = 100 mm²
∴ 50 cm = (50 × 100) mm²
= 5000 mm²

(ii) ∵ 1 हेक्टेअर = (100 × 100) m² = 10000 m²
∴ 2 हेक्टेअर = 2 × 10000 = 20000 m²

(iii) ∵ 1m² = (100 × 100) cm²
= 10000 cm²
∴ 10 m² = 10 × 10000 = 100000 cm²

(iv) ∵ 1 cm² = (10 × 10) mm² = 100 mm²
∴ 1000 cm² = 1000 × 100 = 100000 mm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 243-244

परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.4

प्रश्न 1.
एक बगीचा 90 m लम्बा और 75 m चौड़ा है। इसके बाहर चारों तरफ 5 m चौड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रफल हेक्टेअर में भी ज्ञात कीजिए।
हल:
बगीचे की लम्बाई (l) = 90 m, चौड़ाई (b) = 75 m

बगीचे का क्षेत्रफल = l × b
= 90 m × 75 m = 6750 m²

= 0.6750 हेक्टेअर
∵ बगीचे के चारों ओर का पथ आयत बनाता है।
∴ बाह्य आयत की लम्बाई = 90 + 5 + 5 = 100 m
व चौड़ाई = 75 + 5 + 5 = 85 m
∴ पथ सहित बगीचे का बाह्य आयत का क्षेत्रफल
= 100 × 85 = 8,500 m²
अतः पथ का क्षेत्रफल = बाह्य आयत का क्षेत्रफल – बगीचे का क्षेत्रफल
= 8500 m² – 6750 m² = 1750 m²

प्रश्न 2.
125 m लम्बाई और 65m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर बाहर एक 3 m चौड़ा पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 11.29 में,
PQ = AB + 2 × पथ की चौड़ाई
= 125 + 2 × 3 = 125 + 6 = 131 m
व QR = BC + 2 × पथ की चौड़ाई
= 65 + 2 × 3 = 65 + 6 = 71 m

अब, पथ का क्षेत्रफल
= बाह्य आयत PORS का क्षेत्रफल – पार्क ABCD का क्षेत्रफल
= PQ × QR – AB × BC
= 131 × 71 – 125 × 65
= 9301 – 8125 = 1176m²

प्रश्न 3.
8 cm लम्बे और 5 cm चौड़े एक गत्ते पर एक चित्र की पेंटिंग इस प्रकार बनाई गई है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1.5 cm चौड़ा हाशिया (margin) छोड़ा गया है। हाशिये का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 11.30 में,
PQ = 8 cm, QR = 5 cm
AB = PQ – 2 × हाशिये की चौड़ाई
= 8 – 2 × 1.5 = 8 – 3 = 5 cm
BC = QR – 2 × हाशिये की चौड़ाई
= 5 – 2 × 1.5 = 5 – 3 = 2 cm

अब, हाशिये का कुल क्षेत्रफल
= गत्ते का क्षेत्रफल – पेंटिंग का क्षेत्रफल
= PQ × QR – AB × BC = 8 × 5 – 5 × 2 = 40 – 10 = 30 cm²

प्रश्न 4.
5.5m लम्बे और 4 m चौड़े कमरे के चारों ओर बाहर 2-25 m चौड़ा एक बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए:
(i) बरामदे का क्षेत्रफल
(ii) ₹ 200 प्रति m² की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का व्यय।
हल:
चित्र 11.31 में,
ABCD कमरा है तथा इसके चारों ओर 2.25 m चौड़ा बरामदा है।
PQ = AB + 2 × बरामदे की चौड़ाई
= 5.5 + 2 × 2.25 = 5.5 + 4.5 = 10 m
QR = BC + 2 × बरामदे की चौड़ाई
= 4 + 2 × 2.25
= 4 + 4.5 = 8.5 m

(i) बरामदे का क्षेत्रफल = बाह्य आयतकार भाग PQRS का क्षेत्रफल – कमरे का क्षेत्रफल
= PQ × QR – AB × CD
= 10 × 8.5 – 5.5 × 4
= 85 – 22 = 63 m²

(ii) ₹ 200 प्रति m² की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का कुल व्यय = ₹200 × 63 = ₹ 12,600

प्रश्न 5.
30 m भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए:
(i) पथ का क्षेत्रफल
(ii) ₹ 40 प्रति m² की दर से शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय।
हल:
(i) चित्र 11.32 में,
PQRS बगीचा है। इसके भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ है।

AB = PQ – 2 × पथ की चौड़ाई
= 30 – 2 × 1
= 30 – 2 = 28 m.

BC = OR – 2 × पथ की चौड़ाई
= 30 – 2 × 1
= 30 – 2 = 28m
अब, पथ का क्षेत्रफल = बाह्य वर्ग PQRS का क्षेत्रफल
– अन्त:वर्ग ABCD का क्षेत्रफल
= 30 × 30 – 28 × 28
= 900 – 784
= 116 m²

(ii) बगीचे के शेष भाग का क्षेत्रफल
= ABCD का क्षेत्रफल
= (28 × 28) m²
= 784 m²
∴ ₹ 40 प्रति m² की दर से बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय
= ₹40 × 784
= ₹ 31,360

प्रश्न 6.
700 m लम्बे और 300 m चौड़े एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर जाते 10 m चौड़े दो पथ बने हुए हैं, जो एक-दूसरे पर परस्पर लम्ब और चौपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा पार्क की भुजाओं को छोड़कर पार्क के शेष भाग का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर को हेक्टेयर में दीजिए।
हल:
PQ = EH = KL = KN = 10 m
लम्बाई के अनुदिश सड़क की लम्बाई = 700 m
चौड़ाई के अनुदिश सड़क की लम्बाई = 300 m

प्रश्न 7.
90 m लम्बाई और 60 m चौड़ाई वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाए गए हैं, जो भुजाओं के समान्तर हैं, एक-दूसरे को लम्बवत् काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक पथ की चौड़ाई 3m हो, तो ज्ञात कीजिए:
(i) पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल
(ii) ₹110 प्रति m² की दर से पथ बनाने का व्यय।
हल:
(i) पथ PQRS का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 90 × 3 = 270 m²

पथ TUVW का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 60 × 3 = 180 m²
उभयनिष्ठ भाग EFGH का क्षेत्रफल
= 3 × 3 = 9 m²
अत: पथों का कुल क्षेत्रफल = पथ PQRS का क्षेत्रफल + पथ TUVW का क्षेत्रफल – उभयनिष्ठ भाग EFGH का क्षेत्रफल
= 270 m² + 180 m² – 9m²
= 450 m² – 9 m²
= 441 m²

(ii) ₹ 110 प्रति m² की दर से पथ बनाने का व्यय
= ₹ 110 × 441
= ₹ 48,510

प्रश्न 8.
प्रज्ञा 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है (जैसा दिखाया गया है) और रस्सी की आवश्यक लम्बाई को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 cm भुजा वाले एक वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटती है(दिखाया गया है)। क्या उसके पास कुछ और रस्सी बचेगी ? (π = 3.14)

हल:
वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या (r) = 4 cm
∴ पाइप की परिधि = 2πr
= 2 × 3.14 × 4 = 25.12 cm
∴ पाइप पर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई
= 25.12 cm
अब, वर्ग का परिमाप = 4 × a
= 4 × 4 cm = 16 cm
∴ वर्ग पर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई = 16 m
∵ 25.12 cm – 16 cm
∴ 25.12 cm – 16 cm = 9.12 cm.
हाँ, उसके पास 9-12 cm रस्सी और बचेगी।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति एक आयताकार पार्क के मध्य में एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी को दर्शाती है। ज्ञात कीजिए:

(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल
(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल
(iv) क्यारी की परिधि।
हल:
(i) यहाँ, पार्क की लम्बाई (l) = 10m, चौड़ाई = 5 m.
∴ पार्क का क्षेत्रफल = l × b
= 10 × 5 = 50 m²