NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 1 पूर्णांक

NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 1 पूर्णांक

पूर्णांक Ex 1.1

प्रश्न 1.
किसी विशिष्ट दिन विभिन्न स्थानों के तापमानों को डिग्री सोल्सियस (°C) में निम्नलिखित संख्या रेखा पर दर्शाया गया है:

(a) इस संख्या रेखा को देखिए और इस पर अंकित स्थानों के तापमान लिखिए।
(b) उपर्युक्त स्थानों में से सबसे गर्म और सबसे ठण्डे स्थानों के तापमानों में क्या अन्तर है?
(c) लाहुलस्पीती एवं श्रीनगर के तापमानों में क्या अन्तर है?
(d) क्या हम कह सकते हैं कि शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है? क्या इन दोनों स्थानों के तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से भी कम है?
हल:
(a)

(b) यहाँ, सबसे गर्म स्थान बैंगलोर (22°C) और सबसे ठण्डा स्थान लाहुलस्पीती (-8°C) है।
∴ सबसे गर्म और सबसे ठण्डे स्थानों के तापमानों का अन्तर
= 22°C – (-8°C) = 22°C + 8°C = 30°C

(c) लाहुलस्पीती का तापमान = – 8°C, श्रीनगर का तापमान = -2°C
∴ अभीष्ट अन्तर = -2°C – (-8°C)
= -2°C + 8°C = 6°C

(d) शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग = 5°C + (-2°C) = 3°C
अतएव, हम कह सकते हैं कि
हाँ, शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है।
श्रीनगर का तापमान = -2°C
∵ 3°C > -2°C नहीं, इन दोनों स्थानों के तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से कम नहीं है।

प्रश्न 2.
किसी प्रश्नोत्तरी में सही उत्तर के लिए धनात्मक अंक दिए जाते हैं और गलत उत्तर के लिए ऋणात्मक अंक दिए जाते हैं। यदि पाँच उत्तरोत्तर चक्करों (rounds) में जैक द्वारा प्राप्त किए गए अंक 25, -5, – 10, 15 और 10 थे, तो बताइए अन्त में उसके अंकों का योग कितना था ?
हल:
∵ पहले चक्कर में अंक = 25
दूसरे चक्कर में अंक = -5
तीसरे चक्कर में अंक = -10
चौथे चक्कर में अंक = 15
पाँचवें चक्कर में अंक = 10
∴ कुल अंक = 25 + (-5) + (-10) + 15 + 10
= 50 – 15 = 35
अतएव, जैक के अंकों का योग = 35

प्रश्न 3.
सोमवार को श्रीनगर का तापमान -5°C था और मंगलवार को तापमान 2°C कम हो गया। मंगलवार को श्रीनगर का तापमान क्या था? बुधवार को तापमान 4°C बढ़ गया। बुधवार को तापमान कितना था ?
हल:
सोमवार को श्रीनगर का तापमान = – 5°C
∵ 2°C तापमान कम हो गया।
∴ मंगलवार को तापमान = – 5°C + (-2°C)= – 7°C
बुधवार को तापमान 4°C बढ़ गय
∴ बुधवार को तापमान = – 7°C +4°C = -3°C

प्रश्न 4.
एक हवाई जहाज समुद्र तल से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। एक विशिष्ट बिन्दु पर यह हवाई जहाज समुद्र तल से 1200 मीटर नीचे तैरती हुई पनडुब्बी के ठीक ऊपर है। पनडुब्बी और हवाई जहाज के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी कितनी है ?
पाठ्य-पुस्तक में दिये गये चित्र के अनुसार, समुद्र तल 0 मीटर पर है और हवाई जहाज समुद्र तल से 5000 मीटर की ऊँचाई पर है।
हल:
समुद्र तल और हवाई जहाज के बीच की दूरी = 5000 मीटर
और पनडुब्बी समुद्र तल से 1200 मीटर नीचे है।
∴ समुद्र तल और पनडुब्बी के बीच की दूरी = 1200 मीटर
∴ हवाई जहाज और पनडुब्बी के बीच दूरी
= 5000 मीटर + 1200 मीटर
= 6200 मीटर

प्रश्न 5.
मोहन अपने बैंक खाते में ₹ 2000 जमा करता है और अगले दिन इसमें से ₹1642 निकाल लेता है। यदिखाते में से निकाली गई राशि को ऋणात्मक संख्या से निरूपित किया जाता है, तो खाते में जमा की गई राशि को आप कैसे निरूपित करोगे? निकासी के पश्चात् मोहन के खाते में शेष राशि ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि बैंक से निकासी की राशि बैंक में जमा की गई राशि के विपरीत है, अतएव जमा की गई राशि को धनात्मक संख्या से निरूपित करेंगे।
उत्तर जमा की गई राशि = ₹ 2000
निकाली गई राशि = – ₹ 1642
अतएव निकालने के बाद शेष राशि
= ₹ 2000 – ₹ 1642
= ₹ 358

प्रश्न 6.
रीता बिन्दु A से पूर्व की ओर बिन्दु B तक 20 किलोमीटर की दूरी तय करती है। उसी सड़क के अनुदिश बिन्दु B से वह 30 किलोमीटर की दूरी पश्चिम की ओर तय करती है। यदि पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो पश्चिम की ओर तय की गई दूरी को आप कैसे निरूपित करोगे? बिन्दु A से उसकी अन्तिम स्थिति को किस पूर्णांक से निरूपित करोगे?

हल:
पूर्व और पश्चिम की दिशाएँ एक-दूसरे की विपरीत है।

यदि पूर्व की ओर चली दूरी को धनात्मक संख्या मानें, तो पश्चिम की ओर चली गई दूरी को ऋणात्मक संख्या से निरूपित करेंगे।
अब, पूर्व की ओर तय की गई दूरी = + 20 किलोमीटर
और पश्चिम की ओर तय की गई दूरी = – 30 किलोमीटर
∴ बिन्दु A से उसकी अन्तिम स्थिति = – 30 + (+ 20) = -10 किलोमीटर

प्रश्न 7.
किसी मायावी वर्ग में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तम्भ एवं प्रत्येक विकर्ण की संख्याओंकायोगसमान होता है। बताइए निम्नलिखित में से कौन-सा वर्ग एक मायावी वर्ग है।

हल:
मायावी वर्ग (i)
अंकों का योग:
पहली पंक्ति = 5 + (-1) + (-4) = + 5 + (-5) = 0
दूसरी पंक्ति = (-5) + (-2) +7 = -7 + 7 = 0
तीसरी पंक्ति = 0 + 3 + (-3) = 3 + (-3) = 0
प्रथम स्तम्भ = 5 + (-5) + 0 = 5 + (-5) = 0
द्वितीय स्तम्भ = (-1) + (-2) + 3 = – 3 + 3 = 0
तृतीय स्तम्भ = (-4) + 7 + (-3) = – 7 +7 = 0
प्रथम विकर्ण = 5 + (-2) + (-3) = 5 + (-5) = 0
द्वितीय विकर्ण = 0 + (-2) + (-4) = – 2 – 4 = – 6
चूँकि वर्ग (i) में द्वितीय विकर्ण का योग अन्य पंक्ति, स्तम्भ एवं विकर्ण के बराबर (- 6 ≠ 0) नहीं है,
अतः वर्ग (i) मायावी वर्ग नहीं है।

मायावी वर्ग (ii)
अंकों का योग : पहली पंक्ति = 1 + (- 10) + 0 = 1 – 10 = –9
द्वितीय पंक्ति = (-4) + (-3) + (-2) = -9
तृतीय पंक्ति = – 6 + 4 + (-7) = – 13 + 4 = -9
प्रथम स्तम्भ = 1 + (-4) + (-6) = 1 + (- 10) = -9
द्वितीय स्तम्भ = (-10) + (-3) + 4 = – 13 + 4 = -9
तृतीय स्तम्भ = 0 + (-2) + (-7) = 0 – 9 = -9
प्रथम विकर्ण = 1 + (-3) + (-7)= 1 – 10 = -9
द्वितीय विकर्ण = (-6) + (-3) + 0 = – 6 – 3 = -9
मायावी वर्ग (ii) में प्रत्येक पंक्ति, स्तम्भ और विकर्ण का योग बराबर (-9) है।
अतः वर्ग (ii) एक मायावी वर्ग है।

प्रश्न 8.
a और b के निम्नलिखित मानों के लिए a – (- b) = a + b का सत्यापन कीजिए :
(i) a = 21, b = 18;
(ii) a = 118, b = 125;
(iii) a = 75, b = 84;
(iv) a = 28, b = 11
हल:
(i) यहाँ, a = 21, b = 18
∴ L.H.S. = a – (-b)
= 21 – (-18)
= 21 + 18 = 39
R.H.S. = a + b
= 21 + 18 = 39
∵ L.H.S. = R.H.S
∴ a – (-b) = a + b सत्यापित है।

(ii) यहाँ, a = 118, b = 125
∴ L.H.S. = a – (-b)
= 118 – (- 125)
= 118 + 125 = 243.
और R.H.S. = a + b
= 118 + 125 = 243
∵ L.H.S. = R.H.S
∴ a – (-b) = a + b सत्यापित है।

(iii) यहाँ, a = 75, b = 84 .
∴ L.H.S. = a – (-b)
= 75 – (-84)
= 75 + 84 = 159
R.H.S. = a + b
= 75 + 84 = 159
∵ L.H.S. = R.H.S
∴ a – (-b) = a + b सत्यापित है।

(iv) यहाँ, a = 28, b = 11
∵ L.H.S. = a – (-b)
= 28 – (-11)
= 28 +11 = 391
और R.H.S: = a + b
= 28 + 11 = 39
∵ L.H.S. = R.H.S
∴ a – (-b) = a + b सत्यापित है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित कथनों को सत्य बताने के लिए, बॉक्स में संकेत >, < अथवा = का उपयोग कीजिए-

हल:
(a) -8+ (-4) = -8 – 4 = – 12
तथा -8 – (-4) = -8 + 4 = -4
∴ (-12) < (-4)
अतः -8 + (-4) < -8 – (-4)

(b) -3 +7 – (19) = – 3 +7 – 19 = – 15
तथा 15 – 8 + (-9) = – 2
(-15) < (-2)
अतः -3 +7- (19) < 15 – 8 + (-9) (c) 23 – 41 + 11 = 34 – 41 = -7 तथा 23 – 41 – 11 = 23 – 52 = – 29 ∴ (-7) > (-29)
अतः 23 – 41 + 11 > 223 – 41 – 11

(d) 39+ (-24)- (15) = 39 – 24 – 15 = 0
तथा 36 + (-52) – (-36) = 36 – 52 + 36 = 20
∴ 0 < 20
अतः 39 + (-24) – (15) < 36 + (-52) – (-36) (e) -231 + 79 + 51 = – 231 + 130 = – 101 तथा -399 + 159+ 81 = -399 + 240 = -159 (-101) > (- 159)
अतः – 231 + 79 + 51 > -399 + 159 + 81

प्रश्न 10.
पानी के एक तालाब के अन्दर की ओर सीढ़ियाँ हैं। एक बन्दर सबसे ऊपर वाली सीढ़ी (यानी पहली सीढ़ी) पर बैठा हुआ है। पानी नौवीं सीढ़ी पर है।
(i) वह एक छलांग में तीन सीढ़ियाँ नीचे की ओर और अगली छलाँग में दो सीढ़ियाँ ऊपर की ओर जाता है। कितनी छलाँगों में वह पानी के स्तर तक पहुँच पाएगा?
(ii) पानी पीने के पश्चात् वह वापस जाना चाहता है। इस कार्य के लिए वह एक छलाँग में 4 सीढ़ियाँ ऊपर की ओर और अगली छलाँग में 2 सीढ़ियाँ नीचे की ओर जाता है। कितनी छलाँगों में वह वापस सबसे ऊपर वाली सीढ़ी पर पहुँच जाएगा?
(iii) यदि नीचे की ओर पार की गई संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है तो निम्नलिखित को करते हुए भाग (i) और (ii) में उसकी गति को निरूपित कीजिए :
(a) – 3 + 2 – … = -8
(b) 4 – 2 +… = 8
(a) में योग (-8) आठ सीढ़ियाँ नीचे जाने को निरूपित करता है, तो (b) में योग 8 किसको निरूपित करेगा?
हल:
(i) बन्दर पहली सीढ़ी पर बैठा हुआ है।
∴ छलाँगों के बाद बन्दर की स्थिति निम्न प्रकार होगी : पहली छलाँग में वह चौथी सीढ़ी पर होगा।
दूसरी छलाँग में वह दूसरी सीढ़ी पर होगा। (∵4 – 2 = 2)
तीसरी छलाँग में वह पाँचवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 2 + 3 = 5)
चौथी छलाँग में वह तीसरी सीढ़ी पर होगा। (∵ 5 – 2 = 3)
पाँचवीं छलाँग में वह छठी सीढ़ी पर होगा। (∵ 3 + 3 = 6)
छठवी छलाँग में वह चौथी सीढ़ी पर होगा। (∵ 6 – 2 = 4)
सातवीं छलाँग में वह सातवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 4 + 3 = 7)
आठवीं छलाँग में वह पाँचवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 7 – 2 = 5)
नौवीं छलाँग में वह आठवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 5 + 3 = 8)
दसवीं छलाँग में वह छठवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 8 – 2 = 6)
ग्यारहवीं छलाँग में वह नौवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 6 + 3 = 9) जो कि पानी का स्तर है।
अत: पानी के स्तर तक वह 11 छलाँगों में पहुँच पाएगा।

(ii) यहाँ, बन्दर की स्थिति पानी के स्तर अर्थात् नौवीं सीढ़ी पर है।
∴ छलाँगों के बाद बन्दर की ऊपर वाली सीढ़ी से स्थिति निम्न प्रकार होगी :
पहली छलाँग में वह पाँचवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 9 – 4 = 5)
दूसरी छलाँग में वह सातवीं सीढ़ी पर होगा। (∵ 5 + 2 = 7)
तीसरी छलाँग में वह तीसरी सीढ़ी पर होगा। (7 – 4 = 3)
चौथी छलाँग में वह पाँचवीं सीढ़ी पर होगा। (3 + 2 = 5)
पाँचवीं छलाँग में वह पहली (ऊपर की) सीढ़ी पर होगा। (5 – 4 = 1)
∴ अभीष्ट छलाँगों की संख्या = 5

(iii) चूँकि बन्दर द्वारा ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है और नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है। अतः भाग (i) में बन्दर की गति

(a) – 3 + 2 -3 + 2 – 3 + 2 – 3 + 2 – 3 + 2 – 3 = -8

भाग (ii) में बन्दर की गति

(b) 4 – 2 + 4 – 2 + 4 = 8
(b) में योग 8 ऊपर की ओर 8 सीढ़ियाँ चढ़ने को निरूपित करता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 06

नीचे दी हुई सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए :
आप क्या देखते हैं? क्या दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक | पूर्णांक प्राप्त होता है? क्या आपको पूर्णांकों का ऐसा युग्म मिला जिसका योग पूर्णांक नहीं है। क्या पूर्णांक योग के अन्तर्गत संवृत होते हैं।
हल:
कथन                                            प्रेक्षण
(i) 17 + 23 = 40                   परिणाम एक पूर्णांक है।
(ii) (-10) +3 =-7                  परिणाम एक पूर्णांक है।
(iii) (-75) + 18 = – 57         परिणाम एक पूर्णांक है।
(iv) 19 + (-25) = – 6           परिणाम एक पूर्णांक है।
(v) 27 + (-27) = 0              परिणाम एक पूर्णांक है।
(vi) (-20) + 0 = – 20         परिणाम एक पूर्णांक है।
(vii) (-35) + (-10) = – 45  परिणाम एक पूर्णांक है।

(a) हम देखते हैं कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है।
(b) हाँ, दो पूर्णांकों का योग सदैव पूर्णांक होता है।
(c) हमें यहाँ पूर्णांकों का ऐसा युग्म प्राप्त नहीं हुआ जिनका योग एक पूर्णांक न हो।
(d) अतः पूर्णांकों का योग पूर्णांक ही होता है। इसलिए हम कहते हैं कि पूर्णांक योग के अन्तर्गत संवृत (closed) होते हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 07

निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए :
आप क्या देखते हैं? क्या पूर्णांकों का कोई ऐसा युग्म है जिसका अन्तर पूर्णांक नहीं है?
क्या हम कह सकते हैं कि पूर्णांक व्यवकलन के अन्तर्गत संवृत होते हैं?
हल:
कथन                                              प्रेक्षण
(i) 7 – 9 = – 2                         परिणाम एक पूर्णांक है।
(ii) 17 – (-21) = 38               परिणाम एक पूर्णांक है।
(iii) (-8) – (-14) = 6             परिणाम एक पूर्णांक है।
(iv) (-21) – (-10) = – 11       परिणाम एक पूर्णांक है।
(v) 32 – (-17) = 49              परिणाम एक पूर्णांक है।
(vi) (-18) – (-18)= 0           परिणाम एक पूर्णांक है।
(vii) (-29 )- 0 = – 29          परिणाम एक पूर्णांक है।

(a) हम देखते हैं कि दो पूर्णांकों का व्यवकलन भी एक पूर्णांक होता है।
(b) नहीं, पूर्णांकों का ऐसा कोई युग्म नहीं है जिसका अन्तर पूर्णांक नहीं है।
(c) हाँ, हम कह सकते हैं कि पूर्णांक व्यवकलन के अन्तर्गत संवृत होते हैं।

प्रश्न 1.
क्या पूर्ण संख्याएँ भी इस गुण को सन्तुष्ट करती हैं ?
उत्तर:
नहीं, पूर्ण संख्याएँ इस गुण को सन्तुष्ट नहीं करतीं।

प्रश्न 2.
क्या निम्नलिखित समान हैं ?
(i) (-8) + (-9) और (-9) + (-8)
(ii) (-23) + 32 और 32 + (-23)
(iii) (-45) + 0 और 0 + (-45)
पाँच अन्य पूर्णांकों के युग्मों के लिए ऐसा प्रयास कीजिए। क्या आपको पूर्णांकों का कोई ऐसा युग्म मिलता है जिसके लिए पूर्णांकों का क्रम बदल देने में उनका योग भी बदल जाता है।
हल:
(i) (-8) + (-9)= – 8 – 9 = – 17
और (-9) + (-8) = -9 – 8 = – 17
हाँ, (-8) + (-9) और (-9) + (-8) समान हैं।

(ii) (-23) + 32 = 32 – 23 = 9
और 32 + (-23) = 32 – 23 = 9
हाँ, (-23) + 32 और 32 + (-23) समान हैं।

(iii) (-45) + 0 = -45 + 0 = -45
और 0 + (-45) = 0 – 45 = – 45
हाँ, (-45) + 0 और 0 + (-45) समान हैं।
उदाहरण:
(a) (-36) + (-15) = -51
और (-15) + (-36) = – 51
∴ (-36) + (-15) = (-15) + (-36)

(b) (-10) + 6 = – 10 + 6 = -4
और 6 + (-10) = 6 – 10 = -4
∴ (-10) + 6 = 6 + (-10)

(c) (-118) + 0 = – 118 + 0 = – 118
और 0 + (-118) = 0 – 118 = – 118
∴ (-118)+ 0 = 0+ (- 118)

(d) (-12) + 10 = – 12 + 10 = – 2
और 10 + (-12) = 10 – 12 = -2
∴ (-12) + 10 = 10 + (-12)

(e) 53 + (-26) = 53 – 26 = 27
और (-26)+ 53 = – 26 + 53 = 27
∴ 53 + (-26) = (-26) + 53

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 08

पूर्णांकों के कम-से-कम पाँच विभिन्न युग्म लीजिए और इस कथन की जाँच कीजिए कि व्यवकलन पूर्णांकों के लिए क्रम-विनिमेय नहीं हैं।
हल:
(i) 100 – 86 और 86 – 100
100 – 86 = 14 और 86 – 100 = – 14.
∴ 100 – 86 ≠ 86 – 100

(ii) (-19) और 5
(-19) – 5 = – 24 और 5-(-19) = 24
∴ (-19 – 5 ≠ 5- (-19)

(iii) (-17) और (-19)
(-17) – (- 19) = – 17 + 19 = 2
और (-19) – (-17) = – 19 + 17 = – 2
∴ (-17) – (-19) ≠ (-19) – (-17)

(iv) 69 और 0
69 – 0 = 69 और 0 – 69 = – 69
∴ 69 – 0 ≠ 0 – 69

(v) 118 और (-56)
118 – (-56) = 118 + 56 = 174
और (-56)- 118 = – 174
118 – (-56) ≠ (-56) – 118
उपर्युक्त उदाहरणों से स्पष्ट है कि व्यवकलन पूर्णांकों के लिए क्रम-विनिमेय नहीं है।
अर्थात् a – b # b – a.
इसी प्रकार – 3, 1 और – 7 को लीजिए।
-3 + [1 + (-7)] = -3 + (-6) = -9
[(-3) + 1] + (-7) = – 2 + (-7) = -9
इसी प्रकार के पाँच और उदाहरण लीजिए :
उदाहरण;
(i) -9, -4 और 6
(-9) + [(-4) + 6] = -9+ 2 = -7
और [(-9) + (-4)] + 6 = – 13 + 6 = -7
अतः (-9) + [(-4) + 6] = [(-9) + (-4)] + 6

(ii) -2, 10 और 5
= 8 + 5 = 13
और (-2) + [ 10 + 5] = -2 + 15 = 13
अतः [(-2) + 10] + 5 = – 2 + [10 + 5]

(iii) 13, – 12 और -7
[13 + (-12)] + (-7) = 1-7 = – 6
और 13 + [(-12) + (-7)] = 13 – 19 = -6
अतः [13 + (-12)] + (-7) = 13 + [(-12) + (-7)]

(iv) -4, 15 और -3
[(-4) + 15] + (-3) = 11 – 3 = 8 और -4 + [15 + (-3)] = – 4 + 12 = 8
अतः [(-4) + 15] + (-3) = -4+ [15 + (-3)]

(v) – 12, 19 और 15
[(-12)+ 19] + 15 = 7 + 15 = 22
और -12 + [19 + 15] = – 12 + 34 = 22
अतः [(-12) + 19] + 15 = – 12 + [19+ 15]
अतएव पूर्णांकों के लिए योग सहचारी (Associative) है।
∴ (a + b) + c = a + (b + c)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 09

निम्नलिखित को देखिए और रिक्त स्थानों की पर्ति कीजिए-
हल:
(i) (-8) + 0 = – 8
(ii) 0 + (-8) = -8
(iii) (-23)+ 0 = – 23
(iv) 0 + (-37) = -37
(v) 0+ (-59) = -59
(vi) 0+ (-43) = – 43
(vii) -61 + 0 = – 61
(viii) -45 + 0 = – 45
उपर्युक्त उदाहरण दर्शाते हैं कि शून्य और ऋणात्मक पूर्णांकों का योग सदैव उसी पूर्णांक के बराबर होता है। अतएव किसी पूर्णांक a के लिए शून्य योज्य तत्समक है।
a + 0 = 0 + a = a

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक ऐसा पूर्णांक युग्म लिखिए जिसके योग से हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है
(a) एक ऋणात्मक पूर्णांक
(b) शून्य
(c) दोनों पूर्णांकों से छोटा एक पूर्णांक
(d) दोनों पूर्णांकों में से केवल किसी एक से छोटा पूर्णांक
(e) दोनों पूर्णांकों से बड़ा एक पूर्णांक।
हल:
(a) -25 और 9
योग- (-25) + 9 = -16; -16 एक ऋणात्मक पूर्णांक है।
(b) – 27 और 27
योग -(-27) + 27 = 0

(c) – 16 और -4
योग – (-16) + (-4) = – 20; – 20 पूर्णांक – 16 और -4 से छोटा है।

(d) 4 और -6
योग-4+ (-6) = -2 ; – 2 केवल 4 से छोटा है।

(e) 29 और 11
योग-29 + 11 = 40; 40 पूर्णांक 29 और 11 से बड़ा है।

प्रश्न 2.
एक ऐसा पूर्णांक युग्म लिखिए जिसके अन्तर से हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है
(a) एक ऋणात्मक पूर्णांक
(b) शून्य
(c) दोनों पूर्णांकों से छोटा एक पूर्णांक
(d) दोनों पूर्णांकों में से केवल किसी एक से बड़ा पूर्णांक
(e) दोनों पूर्णांकों से बड़ा एक पूर्णांक
हल:
(a) 13 और – 8
अन्तर – ( – 8) – 13 = – 21; – 21 एक ऋणात्मक पूर्णांक है।
(b) – 13 और – 13
अन्तर – (-13) – (- 13) = – 13 + 13 = 0
(c) 15 और 19
अन्तर -19 – 15 = 4; 4 पूर्णांक 19 और 15 से छोटा
(d) 16 और 7
अन्तर -16 – 7 = 9; 9 पूर्णांक 7 से बड़ा है।
(e) 18 और -6
अन्तर – 18 – (-6) = 24; 24 पूर्णांक 18 और -6 से बड़ा है।

पूर्णांक Ex 1.2

प्रश्न 1.
ऐसा पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका
(a) योग -7 है
(b) अन्तर – 10 है
(c) योग 0 है।
हल:
(a) हम लेते हैं योग (-3) + (- 4) = – 7
∴ अभीष्ट पूर्णांक युग्म = -3 और -4
(b) हम लेते हैं अन्तर -15 – (-5) = – 10
∴अभीष्ट पूर्णांक युग्म = – 15 और -5
(c) हम लेते हैं योग – 25 + 25 = 0
∴ अभीष्ट पूर्णांक युग्म = – 25 और 25

प्रश्न 2.
(a) एक ऐसा ऋणात्मक पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका अन्तर 8 है।
(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनका योग-5 है।
(c) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनका अन्तर – 3 है।
हल:
(a) चूँकि -2 – (-10) = – 2 + 10 = 8
अतः -2 और – 10 एक ऐसा ऋणात्मक पूर्णांक युग्म है जिनका अन्तर 8 है।

(b) चूँकि – 6 + 1 = -5
अतः -6 और 1 पूर्णांक युग्म है जिनका योग – 5 है और इनमें से एक पूर्णांक ऋणात्मक और एक धनात्मक है।

(c) चूँकि (-1) – (2) = – 1 – 2 = -3
अतः -1 और 2 पूर्णांक युग्म ऐसा है जिनका अन्तर – 3 है और इनमें से एक पूर्णांक ऋणात्मक और एक धनात्मक है।

प्रश्न 3.
किसी प्रश्नोत्तरी के तीन उत्तरोतर चक्करों (rounds) में टीम A द्वारा प्राप्त किए गए अंक -40, 10, 0 थे और टीम B द्वारा प्राप्त किए गए अंक 10, 0, – 40 थे। किस टीम ने अधिक अंक प्राप्त किए ? क्या हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है ?
हल:
टीम A के द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का योग = (-40) + 10 + 0 = – 40 + 10 = – 30
टीम B के द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का योग
= 10 + 0+ (-40) = 10 – 40 = -30
अतएव दोनों टीमों ने बराबर अंक प्राप्त किए हैं अर्थात् – 30
हाँ, हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) (-5) + (-8) = (-8) + (….)
(ii) -53 + …. = – 53
(iii) 17+ …. = 0
(iv) [13 + (-12)] + (….)= 13 + [(-12) + (-7)]
(v) (-4)+ [15 + (-3)] = [-4+ 15] + ….
हल:
(i) चूँकि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है,
∴ (-5) + (-8) = (-8) + (-5)
(ii) किसी पूर्णांक में शून्य जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त होती है,
∴ -53 + 0 = -53
(iii) चूँकि किसी पूर्णांक और उसके योज्य प्रतिलोम का योग शून्य होता है,
∴ 17 + (-17) = 0
(iv) चूँकि पूर्णांकों के लिए योग सहचारी होता है, अर्थात् a+ (b + c) = (a + b) + c .
∴ [13 + (- 12)] + (-7) = 13 + [(- 12) + (-7)]

(v) ∴ (-4) + [15 + (-3)] = [(-4) + 15] + (-3)

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
संख्या रेखा का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
(i) 4 x (-8)
(ii) 8 x (-2)
(iii)3 x (-7)
(iv) 10 x (-1).
हल:
(i) 4 x (-8); इसे हम संख्या रेखा पर निम्नलिखित रूप में निरूपित कर सकते हैं,

अतः संख्या रेखा से, हम प्राप्त करते हैं :
(-8) + (-8) + (-8) + (-8) = -32
4 x (-8) = – 32

(ii) 8 x (-2); इसे हम संख्या रेखा पर निम्नलिखित रूप में निरूपित कर सकते हैं,

अब संख्या रेखा से, हम प्राप्त करते हैं
(-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = – 16
∴ 8 x (-2) = -16

(iii) 3 x (-7); इसे हम संख्या रेखा पर निम्नलिखित रूप में निरूपित कर सकते हैं,

अब संख्या रेखा से, हम प्राप्त करते हैं :
(-7) + (-7) + (-7) = – 21
∴ 3 x (-7) = -21

(iv) 10 x (- 1); इसे संख्या रेखा पर हम निम्नलिखित रूप में निरूपित कर सकते हैं,

अब संख्या रेखा से, हम प्राप्त करते हैं :
(-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = – 10
∴ 10x (-1) = -10

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 11

निम्नलिखित को ज्ञात कीजिएहल :
(i) 4 x (-8)= – (4 x 8) = -32
(ii) 3 x (-7) = – (3 x 7) = – 21
(iii) 6 x (-5) = – (6 x 5) = -30
(iv) 2 – (-9) = – (2 x 9) = -18
प्रयास कीजिए

ज्ञात कीजिए-
(i) 6 x (-19)
(ii) 12 x (-32)
(iii) 7 x (-22)
हल:
(i) 6 x (-19) = – (6 x 19) = -114
(ii) 12 x (-32)= – (12 x 32) = – 384
(iii) 7x (-22) = – (7 x 22) = -154

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 12
प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए-
(a) 15 x (-16)
(b) 21 x (-32)
(c) (-42) x 12
(d) (-55) x 15
हल:
एक धन पूर्णांक और एक ऋण पूर्णांक का गुणा करने के लिए पहले पूर्णांकों का गुणा करते हैं और तत्पश्चात् गुणनफल से पहले (-) का चिह्न लगा देते हैं।
(a) 15 x (-16) = -(15 x 16) = -240
(b) 21 x (-32) = – (21 x 32) =-672
(c) (-42) x 12 = – (42 x 12) = – 504
(d) (-55) x 15 = – (55 x 15) = – 825

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि क्या
(a) 25 x (-21)=(-25) x 21 है।
(b) (-23) x 20 = 23 x (-20) है।
इस प्रकार के पाँच और उदाहरण लिखिए।
हल:
(a) L.H.S. = 25 x (-21) = – (25 x 21) = -525
R.H.S. = (-25) x 21 = – (25 x 21) = -525
∵ L.H.S. = R.H.S.
∴ 25 x (-21) = (-25) x 21.

(b) L.H.S. = (-23) x 20 = – (23 x 20) = – 460
R.H.S. = 23 x (-20) = – (23 x 20) = – 460
∵ L.H.S. = R.H.S.
∴ (-23) x 20 = 23 x (-20)

अन्य उदाहरण-
(i) (-13) x 20 = 13 – (-20)
(ii) 25 x (-17) = (-25) x 17
(iii) 50x (-40) = (-50) x 40
(iv) 75 x (- 12) = (-75) x 12
(v) 91 x (-25) = (-91) x 25

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 13

प्रेक्षणों के आधार पर निम्नलिखित को पूरा कीजिए-
(i) -3 x – 3 = …,
(ii) -3x – 4 = …..
हल:
(i) – 3 x 4 = – 12
-3 x 3 = -9 = – 12 – (-3) = – 12 + 3
– 3 x 2 = – 6 = -9 – (-3) = -9 + 3
– 3 x 1 = -3 = – 6 -(-3) = – 6 + 3
-3 x 0 = 0 = -3 -(-3)= – 3 +3
-3x – 1 = 0 – (-3) = 0 + 3 = 3
-3x -2 = 3 – (-3) = 3 + 3 = 6
– 3 x -3 = 6 – (-3) = 6 + 3 = 9
अतएव, -3 x -3 = 9

(ii) -3 x – 4.
– 3 x 4 = – 12
– 3 x 3 = – 9 = – 12 -(-3) = – 12 + 3
– 3 x 2 = – 6 = – 9 – (-3)= – 9 +3
– 3 x 1 = -3 = -6 – (-3)= – 6 + 3
– 3 x 0 = 0 = -3 – (-3)= -3 + 3
– 3 x – 1 = 0 – (-3) = 0 + 3 = 3
– 3 x – 2 = 3-(-3)= 3 + 3 = 6
– 3 x -3 = 6-(-3)= 6 + 3 = 9
– 3 x – 4 = 9 – (-3) = 9 + 3 = 12
अतएव, – 3 x -4 = 12
इन गुणनफलों को देखिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
– 4 x 4 = – 16
– 4 x 3 = – 12 = – 16 + 4
– 4 x 2 = -8 = – 12 +4
– 4 x 1 = -4 = -8 + 4
– 4 x 0 = 0 = -4 + 4
– 4 x (-1) = 4 = 0 + 4
– 4 x (-2) = 8 = 4 + 4
– 4 x (-3) = 12 = 8 + 4
अतएव,
(-4) x (-2) = 4 x 2 = 8
(-4) x (-3) = 4 x 3 = 12

प्रयास कीजिए
(i) (-5) x 4, से शुरू करते हुए (-5) x (-6) ज्ञात कीजिए।
(ii) (-6) x 3, से शुरू करते हुए (-6) x (-7) ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) (-5) x 4 = -(5 x 4) = -20
(-5) x 3 = -(5 x 3) = -15 = -20 + 5
(-5) x 2 = -(5 x 2)= -10 = – 15 + 5
(-5) x 1 = -(5 x 1) = -5 = -10 + 5
(-5) x 0 = – (5 x 0)= 0 = -5 + 5
इस पैटर्न से, हम प्राप्त करते हैं :
(-5) x (-1) = 0 + 5 = 5
(-5) x (-2) = 5 + 5 = 10
(-5) x (-3) = 10 + 5 = 15
(-5) x (-4) = 15 + 5 = 20
(-5) x (-5) = 20+ 5 = 25
(-5) x (-6) = 25+ 5 = 30
अतएव, (-5) x (-6) = 30

(ii) (-6) x 3 – (6 x 3) = -18
(-6) x 2 = -(6 x 2)= – 12 = – 18 + 6
(-6) x 1 = -(6 x 1) -6 = -12 + 6
(-6) x 0 = -(6 x 0) = 0 = – 6 + 6
इस पैटर्न से, हम प्राप्त करते हैं :
(-6) x (-1) = 0 + 6 = 6
(-6) x (-2) = 6 + 6 = 12
(-6) x (-3) = 12 + 6 = 18
(-6) x (-4) = 18 + 6 = 24
(-6) x (-5) = 24 + 6 = 30
(-6) x (-6) = 30+6 = 36
(-6) x (-7) = 36+ 6 = 42

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए-
(-31) x (-100), (-25) x (-72), (-83) x (-28)
हल:
(-31) (-100) = + (31 x 100)= 3100
(-25) x (-72) = + (25 x 72)= 1800
(-83) x (-28) = + (83 x 28) = 2324

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 15

तीन अथवा अधिक ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल

प्रश्न (d) में पाँच ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल क्या है ? 6 ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल क्या होगा ?
हल:
(d) में पाँच ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक होगा।
6 ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होगा।

नोट: यदि गुणा किये जाने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या सम हो, तो गुणनफल धनात्मक होगा और यदि गुणा किए जाने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या विषम है, तो गुणनफल ऋणात्मक पूर्णांक होगा।

प्रत्येक प्रकार के पाँच और उदाहरण देकर इस कथन की पुष्टि कीजिए।
उदाहरण 1.
जबकि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या सम है-
(i) (-3) x (-4) = 12
(ii) (-1) (-5) x (-3) (-2) = {(-1)x (-5)} x {(-3) x (-2)} = 5 x 6 = 30
(iii) (-2) x (-3) x (-4) x (-5) x (-6) x (-7) = {(-2)x (-3)}x {(-4) x (-5)} x {(-6) x (-7)}
= 6 x 20 x 42 = 5040
(iv) (-3) x 5 x (-6) = (-3) x (-6) x 5 = 18 x 5 = 90
(v) (-2) – (-4) x (-5) x (-5) x 7
= {(-2)x (-4)} x {(-5)x (-5)} x 7 = 8 x 25 x 7 = 1400

उदाहरण 2.
जबकि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या विषम है-
(i) (-2)x (-3) x (-5) = [(-2) x (-3)] x (-5) = 6 x (-5) = -30
(ii)(-4) x (-5) x (-3) x (-4) x (-6)
=[(-4)x (-5)] x [(-3)x (-4)] x (-6)
= 20 x 12 x (-6) = -1440
(iii)(-6) (-7) x 8 x (-5)
= [(-6) x (-7)] x 8x (-5) = 42 x 8 x (-5) = -1680
(iv) 3x (-10) x (-5)x (-8)
= 3 x (-10)x [(-5)x (-8)]
= -30 x 40 = -1200
(v) (-2) (-3) x (-4)x – 5x (-8)
= [(-2) (-3)] x [(-4) x (-8)] x -5
= 6 x 32 x (-5) = – 960
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

प्रश्न (i).
गुणनफल (-9) x (-5) x (-6) (-3) धनात्मक है, जबकि गुणनफल (-9) x (-5) x 6 x (-3) ऋणात्मक है। क्यों ?
(ii) गुणनफल का चिह्न क्या होगा, यदि हम निम्नलिखित को एक साथ गुणा करते हैं ?
(a) आठ ऋणात्मक पूर्णांक एवं तीन धनात्मक पूर्णांक
(b) पाँच ऋणात्मक पूर्णांक और चार धनात्मक पूर्णांक
(c) (-1) को बारह बार
(d) (-1) को 2 m बार, जहाँ m एक प्राकृतिक संख्या है।
हल:
(i) गुणनफल (-9) x (-5) – (-6) x (-3) धनात्मक है क्योंकि यहाँ सम ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणा किया गया है।
गुणनफल (-9) x (-5) x 6 x (-3) ऋणात्मक है क्योंकि यहाँ विषम ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणा किया गया है।
(ii) (a) धनात्मक, ∵ आठ ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक है।
(b) ऋणात्मक, ∵ पाँच ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक है।
(c) धनात्मक,∵ 12 सम संख्या है अतः (-1) का बारह बार गुणनफल धनात्मक होगा।
(d) धनात्मक,∵ 2m राशि सम संख्या है। अतः (-1) 2m बार गुणा करने पर धन संख्या प्राप्त होगी। उत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 16

गुणन के अन्तर्गत संवृत
निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए।
हल:
कथन निष्कर्ष
(-20) x (-5) = 100 गुणनफल एक पूर्णांक है
(-15) x 17 = – 255 गुणनफल एक पूर्णांक है
(-30) x 12 = – 360 गुणनफल एक पूर्णांक है
(-15) x (-23)= 345 गुणनफल एक पूर्णांक है
(-14) x (-13) = 182 गुणनफल एक पूर्णांक है
12 x (-30) = – 360 गुणनफल एक पूर्णांक है

पाँच और पूर्णांक युग्मों के गुणनफल ज्ञात कीजिए और उपर्युक्त कथन (सभी पूर्णांकों a तथा b के लिए a x b एक पूर्णांक होता है) को सत्यापित कीजिए।
उदाहरण:

गुणन के क्रम-विनिमेयता

निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए :

कथन 2

हम यहाँ देखते हैं कि दो पूर्णांकों का गुणनफल सदैव एक पूर्णांक होता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 17

इस प्रकार के पाँच और उदाहरण लिखिए एवं सत्यापन कीजिए।
उदाहरण:

शून्य से गुणन -5 x 0 = 0
0 x (-6) = 0

गुणात्मक तत्समक

जाँच कीजिए कि 1 पूर्णांकों के लिए भी गुणनात्मक तत्समक है। 1 के साथ पूर्णांकों के निम्नलिखित गुणनफलों को देखिए :
(-3) x 1 = -3 1 x 5 = 5
(-4) x 1 = -4 1 x 8 = 8
1 x (-5) = -5 3 x 1 = 3
1 x (-6) = -6 7 x 1 = 7
यदि किसी भी पूर्णांक को – 1 से गुणा किया जाए, तो क्या होता है? निम्नलिखित को पूरा कीजिए :
(-3) x (-1) = 3
3 x (-1) = -3
(-6) x (-1) = 6
(-1) x 13 = – 13
(-1) x 25 = -25
18 x (-1) = -18

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 18

गुणन साहचर्य गुण
निम्नलिखित पर विचार कीजिए और गुणनफलों को पूरा कीजिए :
हल:
[7x (-6)] x 4 = -42 x 4 = -168
7 x [(-6) x 4] = 7 x (-24) = -168
क्या [7 x (-6)] x 4 = 7x [(-6) x 4] है?
हल:
L.H.S. = [7 x (-6)] x 4 = (-42) x 4=- 168
R.H.S. = 7 x [(-6) x 4] = 7 x (-24) = – 168
∴ L.H.S. = R.H.S.
अतः [7 x (-6)] x 4 = 7x [(-6) x 4]
अतएव किन्हीं तीन पूर्णांक a, b, c के लिए
[a x b] x c = a x [b x c]
a, b और c में से प्रत्येक के लिए पाँच मान लीजिए और इस गुण का सत्यापन कीजिए।
(a x b) x c = a x (bx c) का सत्यापन

अतएव तीन पूर्णांकों का गुणन सहचारी है। अर्थात् (a x b) x c = a x (b x c)

वितरण गुण
a,b और c में से प्रत्येक के लिए कम-से-कम पाँच मान लीजिए और वितरण गुण [a x (b + c)] = [a x b + a x c] को सत्यापित कीजिए।
उदाहरण:

अतः a x (b + c) = ax b + ax c के मान समान हैं।

प्रयास कीजिए

प्रश्न (i) क्या 10 x [6 + (-2)] = 10 x 6 + 10 x (-2) है ?
(ii) क्या (-15) x [(-7) + (-1) = (-15) x (-7) + (-15) x (-1) है ?
हल:
(i) हाँ, [∵ a x (b + c) = a x b + a x c]
(ii) हाँ, [∵ a x (b + c) = a x b + a x c]

किन्हीं तीन पूर्णांकों a, b और c के लिए
a x (b – c) = a x b – a x c
a, b और c के लिए कम-से-कम पाँच मान लीजिए और इस गुण को सत्यापित कीजिए।
उदाहरण:

अतः a x (b – c) = a x b – a x c के मान समान हैं।

प्रयास कीजिए

प्रश्न
(i) क्या 10 x [6 – (-2)] = 10 x 6 – 10 x (-2) हैं?
(ii) क्या (-15) x [(-7) – (-1)] = (-15) x (-7) -(-15) x (-1) है ?
हल:
(i) हाँ, [∵ a x (b – c) = a x b – a x c]
(ii) हाँ, [∵ a x (b – c) = a x b – a x c]

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 20
प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
वितरण गुण का उपयोग करते हुए (-49) x 18; (-25) x (-31) ; 70 x (-19) + (-1) x 70 के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) (-49) x 18 :
∵ 18 = 10 + 8
∴ (-49) x 18 = (-49) x (10 + 8)
= (-49) x 10 + (-49) x 8
= -490 + (-49) (10 – 2) (∵ 8 = 10 – 2)
= – 490 + (-49) x 10 – (-49) x 2
= – 490 + (-490) + 98
= -980 + 98 = -882

(ii) (-25) x (-31):
∴ -31 = (-30) + (-1)
∴ (-25) x (-31)
= (-25) x [(-30) + (-1)]
= (-25) – (-30) + (-25) x (-1)
= 25 x 30 + 25 x 1
= 750 + 25 = 775

(iii) 70 x (-19) + (-1) x 70 :
= 70 x [(- 19) + (-1)]
[∵ a x b + a x c = a x (b + c) से]
= 70 x (-20)
= – (70 x 20) = -1400

पूर्णांक Ex 1.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए :
(a) 3 x (-1)
(b) (-1) x 225
(c) (-21) x (-30)
(d) (-316) x (-1)
(e) (-15) x 0 x (-18)
(f) (-12) x (-11) x 10
(g) 9 x (-3) x (-6)
(h) (-18) – (-5) (-4)
(i) (-1) (-2) (-3) x 4
(j) (-3)x (-6) (-2) x (-1)
हल:
(a) 3 x (-1) = – (3 x 1) = -3
(b) (-1) x 225 = – (1 x 225) = – 225
(c) (-21) x (-30) = + (21 x 30)
= [(20+ 1) x 30] = 20 x 30+ 1 x 30
= 600 + 30 = 630

(d)(-316) x (-1) = + (316 x 1)= 316
(e) (-15) x 0 x (- 18)
= [(- 15) x 0] x (-18)
= 0 x (-18) = 0
(f) (-12) x (-11) x 10
= + [(12 x 11) x 10]
= 132 x 10 = 1320 उत्तर
(∵ ऋणात्मक पूर्णांकों की सम संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है)
(g) 9x (-3) x (-6) = + (9 x 3 x 6) = 162
(h) (-18) x (-5) x (-4) = -(18 x 5 x 4) = -360 (∵ ऋणात्मक पूर्णांकों की विषम संख्याओं का गुणनफल ऋणत्मक होता है)
(i) (-1)- (-2) x (-3) x 4 = – (1 x 2 x 3 x 4)= – 24
(j) (-3) x (-6) x (-2) (-1) = + (3 x 6 x 2 x 1) = 36

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए :
(a) 18 x [7 + (-3)] = [18 x 7] + [18x (-3)]
(b) (-21) x [(-4)+ (-6)] = [(-21) x (-4)] + [(-21) x (-6)]
हल:
(a) 18 x [7 + (-3)] = (18×7) + [18 – (-3)]
L.H.S. = 18 – [7 + (-3)]
= 18 x (7 – 3)
= 18 x 4 = 72
R.H.S. = [18 x 7] + [18x (-3)]
= 126 + (-54) = 126 – 54 = 72
∵L.H.S. = R.H.S.
∴ 18 x [7 + (-3)] = [18 x 7] + [18 x (-3)]

(b) (-21)x [(-4)+ (-6)] = [(-21) x (-4)] + [(-21)x (-6)]
L.H.S. = (-21) [(-4) + (-6)]
= (-21) x (-10)
=+ (21 x 10) = 210
R.H.S. = [(-21) x (-4)] + [(-21)- (-6)]
= (+ 84) + (+ 126)
= 84 + 126 = 210
∵L.H.S. = R.H.S.
∴ (-21) x [(-4) + (-6)] = [(-21)x (-4)+ [(-21)- (-6)]

प्रश्न 3.
(i) किसी भी पूर्णांक a के लिए, (-1) x a किसके समान है ?
(ii) वह पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिसका (-1) के साथ गुणनफल है :
(a) -22
(b) 37
(c) 0
हल:
(i) (-1) x a = -a
(ii) ∵ (- 1) x (कोई पूर्णांक) = पूर्णांक का योज्य प्रतिलोम
अतः (a) (-1) x 22 = – 22
(b) (-1) (-37) = 37
(c) (-1) x 0 = 0

प्रश्न 4.
(-1) x 5 से प्रारम्भ करके विभिन्न गुणनफलों द्वारा कोई पैटर्न दर्शाते हुए (-1) x (-1)= 1 को निरूपित कीजिए।
हल:
∵(-1) x 5 = -5
(-1) x 4 = – 4 = (-5) + 1
(-1) x 3 = -3 = (-4) + 1
(-1) x 2 = – 2 = (-3) + 1
(-1) x 1 = – 1 = (-2) + 1
(-1) x 0 = 0 = (-1) + 1
(-1) x (-1)= 1 = 0 + 1

प्रश्न 5.
उचित गुणों का उपयोग करते हुए, गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(a) 26 x (-48) + (-48) x (-36)
(b) 8 x 53 x (-125)
(c) 15 x (-25) x (-4)x (-10)
(d) (-41) x 102
(e) 625 – (-35) + (-625) x 65
(f) 7 x (50 – 2)
(g) (-17) x (-29)
(h) (-57) x (-19) + 57
हल:
(a) 26 x (-48) + (-48) x (-36)
= (-48) [26 + (-36)] (योग पर गुणन का वितरण नियम)
= (-48) (- 10) = 480

(b) 8 x 53 x (-125)
= 8 x (-125) x 53 (गुणन का साहचर्य नियम)
= (- 1000) x 53 = -53000

(c) 15 x (-25) x (-4) x (- 10) = [(-25) x (-4)] – [(-10) x 15] (गुणन का साहचर्य नियम)
= [(100) x (- 150)] = -(100 x 150)
= -15000

(d) (-41) x (102)
= (-41)x (100 + 2) (योग पर गुणन का वितरण नियम)
= (-41) x 100 + (-41) x 2
= – 4100 + (-82)= – 4182

(e) 625 x (-35) + (-625) x 65
= 625 [(-35) + (-65)]
= 625 x (- 100) = – 62500

(f) 7 x (50 – 2)
= 7 x 50 – 7 x 2 [∵ a x (b – c) = a x b – a x c]
=350 – 14 = 336

(g) (-17) – (-29)
= + (17 x 29)
= 17 x (30 – 1) [∵ a x (b – c) = a x b – a x c]
= 510 – 17
= 493

(h) (-57) x (-19) + 57
= (-57) x (-19) + [(-57) x (-1)]
= (-57) x [(-19) + (-1)]
= (-57) x (-20)
= 57 x 20
= 1140

प्रश्न 6.
किसी हिमीकरण (ठण्डा) प्रक्रिया में, कमरे के तापमान को 40°C से, 5°C प्रति घण्टे की दर से कम करने की आवश्यकता है। इस प्रक्रिया के शुरू होने के 10 घण्टे बाद कमरे का तापमान क्या होगा?
हल:
कमरे का तापमान = 40°C
प्रति घण्टा तापमान में कमी = -5°C
∴ 10 घण्टे में तापमान कम होगा = (-5) x 10 °C = -50°C
∴ 10 घण्टे बाद कमरे का तापमान = 40°C – 50°C = – 10°C

प्रश्न 7.
दस प्रश्नों वाले एक कक्षा टेस्ट में प्रत्येक सही उत्तर के लिए 5 अंक दिये जाते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए (-2) अंक दिए जाते हैं एवं प्रयत्न नहीं किए गए प्रश्नों के लिए शून्य अंक दिया जाता है।
(i) मोहन चार प्रश्नों का सही और छः प्रश्नों का गलत . उत्तर देता है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं ?
(ii) रेश्मा के पाँच उत्तर सही हैं और पाँच उत्तर गलत हैं। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं ?
(iii) हीना ने कुल सात प्रश्न किए हैं। उनमें से दो का उत्तर सही है और पाँच का उत्तर गलत है, तो उसे कितने अंक प्राप्त होते हैं ?
हल:
कुल प्रश्नों की संख्या = 10
सही उत्तर के लिए अंक = 5
गलत उत्तर के लिए अंक = -2
प्रयत्न न किए गए प्रश्नों के लिए अंक = 0

(i) मोहन के अंक = 4 x 5 + 6 x (-2)
= 20 – 12 = 8
(ii) रेश्मा के अंक = 5 x 5 + 5 x (-2)
= 25 + (-10)
= 25-10 = 15
(iii) हीना के अंक = 2 x 5 + 5 x (-2) + 3 x 0
= 10 + (-10) + 0
= 10 – 10 + 0 = 0

प्रश्न 8.
एक सीमेंट कम्पनी को सफेद सीमेंट बेचने पर ₹ 8 प्रति बोरी की दर से लाभ होता है तथा स्लेटी (Grey) रंग की सीमेंट बेचने पर ₹ 5 प्रति बोरी की दर से हानि होती है।
(a) किसी महीने में वह कम्पनी 3000 बोरियाँ सफेद सीमेंट की और 5000 बोरियाँ स्लेटी सीमेंट की बेचती है। उसका लाभ अथवा हानि क्या है ?
(b) यदि बेची गई स्लेटी सीमेंट की बोरियों की संख्या 6400 है, तो कम्पनी को सफेद सीमेंट की कितनी बोरियाँ बेचनी चाहिए, ताकि उसे न तो लाभ हो और न ही हानि ?
हल:
सफेद सीमेंट की प्रति बोरी पर लाभ = ₹ 8
स्लेटी सीमेंट की प्रति बोरी पर हानि = ₹ 5

(a) सफेद सीमेंट की बेची गईं बोरियों की संख्या = 3000
स्लेटी सीमेंट की बेची गईं बोरियों की संख्या = 5000
∴ लाभ = 3000 x ₹ 8 = ₹ 24000
व, हानि = 5000 x ₹ 5 =₹ 25000
यहाँ, लाभ से हानि अधिक है।
अतएव, हानि = ₹ 25000 – ₹ 24000
= ₹ 1000

(b) स्लेटी सीमेंट की बेची गई बोरियों की संख्या = 6400
कुल हानि = ₹ 6400 x 5
= ₹ 32000
उसे न तो लाभ हो और न ही हानि के लिए ₹ 32000 का लाभ होना चाहिए।
∴ ₹ 32000 लाभ के लिए उसे सफेद सीमेंट की बोरियाँ बेचनी चाहिए = 32000 ÷ 8
= 4000 बोरियाँ

प्रश्न 9.
निम्न को सत्य कथन में परिवर्तित करने के लिए, रिक्त स्थान को एक पूर्णांक में प्रतिस्थापित कीजिए
हल:
(a) (-3) x (-9) = 27
(b) 5 x (-7) = -35
(c) 7 x (-8) = -56
(d) (-11) x (-12) = 132

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 23

पूर्णांकों का विभाजन
निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए।
हल:

अतः हम गुणन कथन तथा संगत भाग कथन को लिख सकते हैं।
प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए-
(a) (-100) ÷ 5.
(b) (-81) ÷ 9
(c)(-75) ÷ 5
(d) (-32) ÷ 2
हल:
जब हम ऋणात्मक पूर्णांक को धनात्मक पूर्णांक से भाग देते हैं, तो पूर्णांक संख्याओं में भाग देकर भागफल से पहले ऋण चिह्न लगा देते हैं।
(a) ∴ (-100) ÷ 5 = (-20)
(b) ∴ (-81) ÷ 9 = -9
(c) ∴ (-75) ÷ 5 = (-15)
(d) ∴ (-32) ÷ 2 = (-16)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 24

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए-
(a) 125 ÷ (-25)
(b) 80 ÷ (-5)
(c) 64 ÷ (-16)
हल:
जब हम धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से भाग देते हैं, तो पूर्णांक संख्याओं में भाग देकर भागफल से पहले ऋण चिह्न लगा देते हैं।
(a) ∴ 125 ÷ (-25) = (-5)
(b) ∴ 80 ÷ (-5) = -16
(c) ∴ 64 ÷ (-16) = (-4)

प्रश्न 2.
ज्ञात कीजिए
(a) ∴ (-36) ÷ (-4)
(b) ∴ (-201) ÷ (-3)
(c) ∴ (-325) ÷ (-13)
हल:
जब एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से भाग देते हैं तो सर्वप्रथम हम उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में भाग देते हैं और उसके पश्चात् भागफल से पहले धनात्मक चिह्न (+) लगा देते हैं।
(a) ∴ (-36) ÷ (-4) = 36 ÷ 4 = +9
(b) ∴ (-201) ÷ (-3) = 201 ÷ 3 = + 67

= 325 : 13 = + 25

पूर्णांकों के भाग के गुण
निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए।
हल:
कथन

अतः पूर्णांक भाग के अन्तर्गत संवृत नहीं है।

पाँच और उदाहरण लेते हुए, इस कथन की सत्यता के लिए उचित कारण बताइए।
उदाहरण:

अत: भागफल सदैव पूर्णांक प्राप्त नहीं होता।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 25

भाग में पूर्णांकों के लिए क्रम-विनिमेय नियम नहीं है। पाँच और उदाहरण लेकर इसे सत्यापित कीजिए :

अतः स्पष्ट है कि पूर्णांकों के लिए भाग क्रम-विनिमेय नहीं है।

निम्नलिखित को देखिए-
हल:
किसी पूर्णांक को 1 से भाग देने पर वही पूर्ण संख्या प्राप्त होती है।
(i) ∴ (-25) ÷ 1 = (-25)
(ii) ∴ (-37) ÷ 1 = – 37
(ii) ∴ (-48) ÷ 1 = (-48)

निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए-
हल:
किसी पूर्णांक को (-1) से भाग देने पर वही पूर्णांक प्राप्त नहीं होता है।

किसी संख्या के लिए भाग साहचर्य है/नहीं। अपनी ओर से पाँच उदाहरण लेकर इसे सत्यापित कीजिए।
उदाहरण:
(i) [24 ÷ 6] ÷ (-2) और (-24) ÷ [6 ÷ (-2)]
[(-24) ÷ 6] ÷ (-2) = (-4) ÷ (-2) = 2
और (-24) ÷ [6 ÷ (-2)] = (-24) ÷ (-3) = 8
अतः [(-24) ÷ 6] + (-2) ÷ (-24) ÷ [6 + (-2)]

(ii) (15 ÷ 3) ÷ 5 और 15 ÷ (3 ÷ 5)
∴ (15 ÷ 3) + 5 = 5 + 5 = 1
और 15 F = 2 =
अतः (15 ÷ 3) ÷ 5 ≠ 15 ÷ ( 3 ÷ 5)

(iii) [(-36) ÷ (-4)] ÷ 6 और (-36) ÷ [(-4) ÷ 6]
∴ [(-36) + (-4)] ÷ 6 = 9 ÷ 6 = 1
और (-36) ÷ [(-4) ÷ 6] = (-36) ÷ -4/6 = 54
अतः [(-36) ÷ (-4)] ÷ 6 (-36) ÷ [(-4) 6]
(iv) [(-100) ÷ (-5)] ÷ 5 और (-100) ÷ [(-5) ÷ 5]
∴ [(-100) + (-5)] + 5 = 20 + 5 =4
और (-100)’ [(-5) ÷ 5] = (-100) ÷ (-1)= 100
अतः [(-100) ÷ (-5)] ÷ 5(-100) ÷ [(-5) ÷ 5]

(v) [75 ÷ (-15)] ÷ (-5) और 75 ÷ [(-15) ÷ (-5)]
∴ [75 ÷ (-15)] ÷ (-5) = (-5) ÷ (-5)=1
और 75 ÷ [(-15) ÷ (-5)] = 75 ÷ 3 = 15
अतः [75 ÷ (-15)] ÷ (-5) = 75 ÷ [(-15) ÷ (-5)]
अतएव कहा जा सकता है कि पूर्णंकों के लिए भाग साहचर्य नहीं है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
किसी भी पूर्णांक a के लिए
(i) 1 ÷ a=1 है ?
(ii) a ÷ (-1) = -a है ? a के विभिन्न मानों के लिए इनकी जाँच कीजिए।
हल:
(i) माना कि a = -1, 1, 3, 5
a = -1 के लिए,
L.H.S. = 1 ÷ a = 1 ÷ (-1)= -1;
R.H.S. = 1 अर्थात्
L.H.S. ≠ R.H.S.
a = 1 के लिए,
L.H.S. = 1 ÷ a = 1 ÷ 1 = 1: R.H.S. = 1
अर्थात् L.H.S. = R.H.S.
a = 3 के लिए,
L.H.S. = 1 ÷ a= 1 ÷ 3 = 1/3 ; R.H.S. = 1
अर्थात् L.H.S. ≠R.H.S.
a = 5 के लिए,
L.H.S. = 1 ÷ a = 1 ÷ 5 = 1/5; R.H.S. = 1
अर्थात् L.H.S. ≠ R.H.S.
अतएव 1 ÷ a = 1 केवल a = 1 के लिए सत्य है।

(ii) माना कि a = 1, 2, 3 , 5
a = 1 के लिए,
L.H.S. = a ÷ (-1)= 1 ÷ (-1)= – 1; .
R.H.S. = – a = -1
अर्थात् L.H.S. = R.H.S.
a = 2 के लिए,
L.H.S. = a ÷ (-1) = 2 ÷ (-1) = – 2 ;
R.H.S. = -a = -2
अर्थात् L.H.S. = R.H.S.
a = 3 के लिए,
L.H.S. = a ÷ (-1) = 3 ÷ (-1) = -3;
R.H.S. = – a = -3
अर्थात् L.H.S. = R.H.S.

a = 5 के लिए,
L.H.S. = a ÷ (-1) = 5 ÷ (-1) = -5;
R.H.S. = -a = -5
अर्थात् L.H.S. = R.H.S.
अतएव प्रत्येक पूर्णांक के लिए, हम पाते हैं :
a ÷ (-1) = -a

पूर्णांक Ex 1.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
(a) (-30) ÷ 10
(b) 50 ÷ (-5)
(c) (-36) ÷ (-9)
(d) (-49) ÷ 49
(e) 13 ÷ [(-2)+1]
(f) 0 ÷ (-12)
(g) (-31) ÷ [(-30) + (-1)]
(h) [(-36) ÷ 12] ÷ 3 (i) [(-6)+5] ÷ [(-2) +1]
हल:

प्रश्न 2.
a, b और c के निम्नलिखित मानों में से प्रत्येक के लिए a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c) को सत्यापित कीजिए :
(a) a = 12, b = -4, c = 2.
(b) a = -10, b = 1, c = 1.
हल:
(a) यहाँ a = 12, b = – 4, c = 2
L.H.S = a ÷ (b + c) = 12 ÷ [(-4) + 2]
= 12 ÷ (-2)= – 6
R.H.S. = a ÷ b + a ÷ c = 12 + (-4) + 12 ÷ 2
= (-3) + 6 = 3
∵ -6 ≠ 3
अतएव, a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c)

(b) यहाँ a = -10, b = 1, c = 1
L.H.S. = a ÷ (b + c) = (- 10) ÷ (1 + 1)
= – 10 ÷ 2 = -5
R.H.S. = (a ÷ b) + (a ÷ c)
= [(-10) ÷ 1] + [(-10) ÷ 1]
= (-10) + (-10) = (-20)
∵ -5 ≠ – 20
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
अतएव, a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c)

प्रश्न 3.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
हल:
(a) 369 ÷ 1 = 369 [∵ a ÷ 1 = a]
(b) (-75) ÷ 75 = -1 [∵ (-a) ÷ a = – 1]
(c) (-206) ÷ (-206) = 1 [∵ (-a) ÷ (-a) = 1]
(d) – 87 ÷ (-1)= 87 [∵ (-a) ÷(-1) = a]
(e) (-87) ÷ 1 =-87 [∵ (-a) ÷ 1 = -a]
(f) (-48) ÷ 48 = – 1
(g) 20 ÷ (-10) = – 2
(h) (-12) ÷ 4 = -3

प्रश्न 4.
पाँच ऐसे पूर्णांक युग्म (a, b) लिखिए ताकि a ÷ b = – 3 हो। ऐसा एक युग्म (6, – 2) है। क्योंकि 6 ÷ (-2) = – 3 है।
हल:
(i) ∵ [(-3) ÷ 1] = -3 ÷ 1 = -3
a ÷ b = – 3 से तुलना करने पर, a = -3, b = 1
अतः अभीष्ट पूर्णांक युग्म = (-3, 1)

(ii) ∵ 9 ÷ (-3) = -3
a ÷ b = – 3 से तुलना करने पर, a = 9, b = – 3
अतः अभीष्ट पूर्णांक युग्म = (9, -3)

(iii) ∵ (-15) ÷ 5 = – 3
a ÷ b = -3 से तुलना करने पर, a = – 15, b = 5
अत: अभीष्ट पूर्णांक युग्म = (-15, 5)

(iv) ∵ 12 ÷ (-4) = -3
a ÷ b = – 3 से तुलना करने पर, a = 12, b = -4
अतः अभीष्ट पूर्णांक युग्म = (12, -4)

(v) ∵ (-21) ÷ 7 = -3
a ÷ b = – 3 से तुलना करने पर, a = – 21, b = 7
अत: अभीष्ट पूर्णांक युग्म = (-21, 7)

प्रश्न 5.
दोपहर 12 बजे तापमान शून्य से 10°C ऊपर था। यदि यह आधी रात तक 2°C प्रति घण्टे की दर से कम होता है, तो किस समय तापमान शून्य से 8°C नीचे होगा? आधी रात को तापमान क्या होगा?
हल:
दोपहर 12 बजे तापमान = 10°C
तापमान कम होने की दर = -2°C प्रति घण्टा
दोपहर 12 बजे से आधी रात तक का समय = 12
घण्टे 12 घण्टे में तापमान में परिवर्तन = 12 x (-2) °C
= – 24°C
अतः आधी रात को तापमान = + 10°C + (-24°C)
= -14°C
अब 10°C और -8°C के मध्य तापमान का अन्तर = 10°C – (-8°C) = 18°C
∴ तापमान 0°C से 8°C नीचे तक जाने में लगा समय
= कुल कमी/1 घण्टे में तापमान में अन्तर = 18/2 = 9 घण्टे
उत्तर अतः 18°C तापमान में अन्तर दोपहर 12 बजे से 9 घण्टे में होगा।
अतः दोपहर 12 बजे के बाद 9 घण्टे = रात्रि 9 बजे
अतएव, 9 बजे रात्रि को तापमान शून्य से 8°C नीचे होगा।

प्रश्न 6.
एक कक्षा टेस्ट में प्रत्येक सही उत्तर के लिए (+ 3) अंक दिए जाते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए (-2) अंक दिए जाते हैं। और किसी प्रश्न को हल करने का प्रयत्न नहीं करने पर कोई अंक नहीं दिया जाता है।
(i) राधिका ने 20 अंक प्राप्त किए। यदि उसके 12 उत्तर सही पाए जाते हैं, तो उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है ?
(ii) मोहिनी टेस्ट में (-5) अंक प्राप्त करती है, जबकि उसके 7 उत्तर सही पाए जाते हैं। उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है ?
हल:
प्रत्येक सही उत्तर के लिए अंक = +3
प्रत्येक गलत उत्तर के लिए अंक = – 2
(i) राधिका द्वारा प्राप्त कुल अंक = 20
सही उत्तर के लिए प्राप्त अंक = 12 x 3 = 36
∴ गलत उत्तर के लिए प्राप्त अंक = 20 – 36 = – 16
∴ गलत उत्तरों की संख्या = (-16) ÷ (-2)
अतः राधिका ने 8 प्रश्नों के उत्तर गलत दिए।

(ii) मोहिनी द्वारा प्राप्त अंक = -5
7 सही उत्तरों के लिए प्राप्त अंक = 7 x 3 = 21
∴ गलत उत्तरों के लिए प्राप्त अंक =-5-21 = -26
∴ गलत उत्तरों की संख्या = (-26) (-2) = 13
अतः मोहिनी ने 13 प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है।

प्रश्न 7.
एक उत्थापक किसी खान कूपक में 6 m प्रति मिनट की दर से नीचे जाता है। यदि नीचे जाना भूमि तल से 10 मीटर ऊपर से शुरू होता है, तो – 350 m पहुँचने में कितना समय लगेगा?
हल:
उत्थापक की वर्तमान स्थिति भूमि तल से 10 मीटर ऊपर है।

अतः उत्थापक को नीचे पहुँचने में 60 मिनट (या एक घण्टा) लगेंगे।

NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 1 पूर्णांक, Study Learner