Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 12 हीरोन का सूत्र

हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
यातायात संकेत बोर्ड ‘a’ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। माना कि यह ∆PQR . है। प्रश्नानुसार त्रिभुज PQR की प्रत्येक भुजा = a

इस समबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + a + a = 3a
तथा अर्द्ध-परिमाप (s) = \frac{3 a}{2}
हीरोन के अनुसार ∆PQR का क्षेत्रफल

प्रश्नानुसार समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 180 सेमी.
या a + a + a = 180 सेमी.
या 3a = 180 सेमी.
या a = 180 सेमी.
या a = 60 सेमी.

= √3. 900 सेमी².
= 900√3 सेमी².
अतः बोर्ड का क्षेत्रफल = 900√3 सेमी.²

प्रश्न 2.
किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं ( देखिए आकृति)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु. प्रति m2 की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

हल:
माना कि फ्लाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ क्रमशः a, b तथा c हैं।
प्रश्नानुसार a = 122 m, b = 22 m तथा c = 120 m
त्रिभुज का परिमाप = (122 + 22 + 120) m
= 264 m
∴ अर्द्ध-परिमाप (s) = 264/2 = 132 m
हीरोन के सूत्र से इस त्रिभुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पाश्र्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है ( देखिए आकृति)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार रंग से पेंट की हुई त्रिभुजाकार दीवार की तीनों भुजाएँ क्रमश: 15 m, 11 m और 6 m हैं । अतः इस त्रिभुजाकार दीवार का परिमाप
= 15 + 11 + 6 = 32 m
त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप = 32/2 = 16 m
हीरोन के क्षेत्रफल के सूत्रानुसार

अतः पेन्ट किये हुये भाग का क्षेत्रफल
= 20√2 m²

प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुज की दो भुजाएँ = 18 cm तथा 10 cm और परिमाप = 42 cm

अर्थात् 18 cm + 10 cm + x = 42 cm
या 28 cm + x = 42 cm
या = 42 cm – 28 cm
यो x = 14 cm
∴ इस त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप

हीरोन के सूत्र से इस त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः ∆ का क्षेत्रफल = 21√11 cm²

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात = 12 : 17 : 25
माना कि अनुपात के आधार पर त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमश: 12x, 17x तथा 25x हैं।
त्रिभुज का परिमाप = 540 cm (दिया है)
या 12x + 17x + 25x = 540
या 54x = 540

अतः त्रिभुज की भुजाएँ होंगी
12x = 12 × 10 = 120 cm
17x = 17 × 10 = 170 cm
तथा 25x = 25 × 10 = 250 cm

अब हीरोन के त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से

= 2 × 3 × 5 × 10 × 30 cm²
= 9000 cm²

प्रश्न 6.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुज का परिमाप = 30 cm
अर्थात् 12 cm + 12 cm + x = 30 cm
या 24 cm + x = 30 cm
या x = 30 cm – 24 cm
या x = 6 cm
i 

हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?
हल:
प्रश्नानुसार दी गई मापों के आधार पर चतुर्भुजाकार पार्क का चित्र बनाया तथा बिन्दु B को D से मिलाने पर यह आकृति दो त्रिभुजाकार आकृतियों ∆BCD तथा ∆ABD में विभाजित हो गई।

अब ∆BCD का क्षेत्रफल

= 30 m² ……. (i)
समकोण ∆BCD में
BD² = CD² + BC²
= (5)² + (12)²
= 25 + 144 = 169
∴ BD = √169 = 13 m
अर्थात् भुजा BD = 13 m
अब ∆ABD में AB = 9 m, BD = 13 m तथा AD = 8 m

हीरोन के सूत्रानुसार ∆ ABD का क्षेत्रफल

अब पूरे चतुर्भुजाकार पार्क का क्षेत्रफल
= ar(∆BCD) + ar(∆ABD)
= 30 m² + 35.5 m²
= 65.5 m²

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm; CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC 35 cm है।
हल:
प्रश्नानुसार चतुर्भुजाकार आकृति का चित्र बनाने पर हम देखते हैं कि ये आकृति दो त्रिभुजों क्रमशः ∆ABC तथा ∆ACD में विभक्त है।

∆ABC के क्षेत्रफल के लिए अर्द्ध-परिमाप (s)


∴ सम्पूर्ण चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= ar (∆ABC) + ar(∆ACD)
= 6 cm² + 9.2 cm²
= 15.2 cm²

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
चित्रानुसार दी गई आकृति पाँच भागों में विभाजित है। अतः सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग भागों का क्षेत्रफल ज्ञात करके योग करना होगा।
भाग I का क्षेत्रफल-यह एक समद्विबाहु त्रिभुज के आकार की आकृति है जिसकी भुजाएँ 5 cm, 5 cm तथा 1 cm हैं । अतः

भाग II का क्षेत्रफल-यह आकृति आयताकार है जिसकी लम्बाई 6.5 cm तथा चौड़ाई 1 cm है। अतः
क्षेत्रफल = 6.5 × 1 = 6.5 cm² …. (ii)
भाग III का क्षेत्रफल-इसमें समान्तर भुजाएँ 2 cm व I cm हैं और बराबर भुजाओं में से प्रत्येक 1 cm है।

2 cm की भुजा के मध्य बिन्दु से ऊपर की समान्तर भुजाओं को जोड़कर आकृति को 1 cm भुजा वाले 3 समबाहु त्रिभुजों में विभक्त किया गया है, तब आकृति III का क्षेत्रफल

∴ राधा द्वारा प्रयुक्त किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल = भाग I का क्षेत्रफल + भाग II का क्षेत्रफल + भाग III का क्षेत्रफल + भाग IV व भाग V का क्षेत्रफल
= (2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5) cm
= 19.3 cm²
अत: पूरी आकृति का क्षेत्रफल = 19.3 cm²

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समान्तर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है कि त्रिभुज तथा समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल समान है। अब ∆ ABE का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।


अब हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × संगत ऊँचाई
अतः संगत ऊँचाई

संगत चौड़ाई = 12 cm
अतः समान्तर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई = 12 सेमी.

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
हल:
माना कि समचतुर्भुजाकार खेत ABCD है। इसकी प्रश्नानुसार प्रत्येक भुजा AB = BC = CD = DA = 30 m तथा विकर्ण AC = 48 m है। विकर्ण AC इस आकृति को दो सर्वांगसम त्रिभुजों क्रमश: ∆ABC तथा ∆ADC में बाँटता है। हम यह भी जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में समान होते हैं।

अब ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
अर्द्ध-परिमाप = 30+30+48230+30+482 = 10821082 = 54 m
हीरोन के सूत्रानुसार क्षेत्रफल

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 m²
= 16 × 27 m²
= 432 m²
अतः समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ar(∆ABC) + ar(∆ADC)
= 432 + 432
= 864 m²
∵ 18 गायों के लिए चरने का कुल क्षेत्रफल
= 864 m²
∴1 गाय के लिए चरने का क्षेत्रफल
= 864
= 48 m²

प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है ( देखिए आकृति)। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?

हल:
प्रश्नानुसार दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों में से प्रत्येक टुकड़े की माप क्रमशः 20 cm, 50 cm तथा 50 cm है। अर्थात् ये टुकड़े समद्विभुजाकार त्रिभुज के हैं। अतः
एक टुकड़े का अर्द्ध-परिमाप

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के हीरोन के सूत्रानुसार क्षेत्रफल

यदि यह मान लिया जाए कि छाते में लगे दो रंग लाल एवं पीला हैं तो एक छाते में प्रत्येक रंग के 5-5 टुकड़े होंगे। अर्थात् लाल रंग के कपड़े का कुल क्षेत्रफल
= 5 × 200√6 cm
= 1000√6 cm²
तथा पीले रंग के कपड़े का कुल क्षेत्रफल .
= 5 × 200√6 cm²
= 1000√6 cm²

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का 6 cmx6 cm एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात 8 cm कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

हल:
प्रश्न एवं आकृति के अनुसार शेड I + शेड II का क्षेत्रफल समान होगा। अतः शेड I का क्षेत्रफल अर्थात् समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1/2 × 32 × 16 cm²
= 256 cm ²
अतः शेड I का क्षेत्रफल = शेड II का क्षेत्रफल
= 256 cm²

शेड III के क्षेत्रफल के लिए

प्रश्न 8.
फर्श पर फूलों का एक डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं ( देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुजाकार टाइलों की भुजाएँ क्रमशः 9 cm, 28 cm तथा 35 cm हैं । अतः

अब त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्रानुसार

∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16 × 36√6
= 576√6
∵ 1 cm को पॉलिश कराने का खर्चा
= 50 पैसे = 1/2 रु.
∴ 575√6 cm² को पॉलिश कराने का खर्चा
= 1/2 × 576√6
= 288√6
= 288 × 2.45
= 705.60 रु.
अत: टाइलों पर पॉलिश कराने का व्यय
= 705.60 रु.

प्रश्न 9.
एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समान्तर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमान्तर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार माना कि PQRS एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें PQ || SR तथा SR = 10 m, PQ = 25 m, SP = 13 m, RQ = 14 m

अब RT || SP खींची और SR || PQ दिया है।
∴ RT = SP = 13 m
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
तथा TQ = 25 m – 10 m = 15 m
अब RU ⊥ TQ खींचा।
∆ RTQ की भुजाएँ क्रमश: 15 m, 14 m तथा 13 m हैं।
अर्द्ध-परिमाप (s) = 15 +14+13 = 42 = 21 m
हीरोन के सूत्र के अनुसार क्षेत्रफल

अब RU = 2×84152×8415 m = 565565 m

अतः समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल
= समान्तर चतुर्भुज SRPT का क्षेत्रफल + ∆RTQ का क्षेत्रफल
= [10 × 565565 + 84]m²
= (112 + 84) m²
= 196 m²  

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 12 हीरोन का सूत्र, Study Learner