Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

प्रश्न 1.
1.5 m लम्बा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए-
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 m शीट का मूल्य 20 रुपये है।
हल:
प्रश्नानुसार चित्रांकन करने पर

प्लास्टिक शीट की लम्बाई (l) = 1.5 m
चौड़ाई (b) = 1.25 m
तथा गहराई (h) = 65 cm
= 65/100 m = 0.65 m

(i) ऊपर से खुले हुए वांछित बॉक्स की (शीट का) क्षेत्रफल
= 2(bh + hl) + lb
= 2[1.25 × 65/100 + 65/100 × 1.5] + 1.5 × 1.25
= 2(0.8125 + 0.975) + 1.875
= 2(1.7875) + 1.875
= 3.575 + 1.875
= 5.45 m²

(ii) ∵ 1 m² शीट का मूल्य = 20 रु.
∴ 5.45 m’ शीट का मूल्य
= (20 × 5.45) रु.
= 109 रु.

प्रश्न 2.
एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 5m, 4m और 3 m है। 7.50 रुपये प्रति m2 की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। हल:
प्रश्नानुसार कमरे की लम्बाई (1) = 5 m
चौड़ाई (b) = 4 m
तथा ऊँचाई (h) = 3 m
∵ कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(bh + hl) = 2h(b + 1)
= 2(4 + 5) 3 = 2 × 9 × 3
= 54 m²
छत का क्षेत्रफल = l × b
= (5 × 4) m²
= 20 m²
अत: दीवारों तथा छत का कुल क्षेत्रफल
= 54 m² + 20 m²
= 74 m²
∵ 1 m² सफेदी कराने का व्यय = 7.50 रु.
∴ 74 m² सफेदी कराने का व्यय 
= (7.50 × 74) रु.
= 555 रु.

प्रश्न 3.
किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि 10 रुपये प्रति m- की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15,000 रुपये है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
[संकेत: चारों डिब्बों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]
हल:
माना कि आयताकार हॉल की लम्बाई = lm
तथा चौड़ाई = bm
∴ आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप
= 2(l + b)
= 250 m …….. (1)
हाल की चार दीवारों का क्षेत्रफल

= 15000/10
= 1500 m² …….(ii)
यह भी माना कि आयताकार हॉल की ऊँचाई = hm चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l + b)h
या 1500 = 250 × h
या h = 1500/250 = 6 m
अत: हॉल की ऊँचाई = 6 m

प्रश्न 4.
किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
हल:
प्रश्नानुसार ईंट की लम्बाई (1) = 22.5 cm
चौड़ाई (b) = 10 cm
तथा ऊँचाई (h) = 7.5 cm
अब ईंट का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 7.5 × 22.5) cm²
= 2(225 + 75 + 168.75) cm²
= 2(468.75) = 937.5 cm²
cm² को m² में बदलने पर

अतः पेन्ट की जाने वाली ईंटों की संख्या
9.375 m² क्षेत्रफल पेन्ट कराने के

प्रश्न 5.
एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm, 10 cm और 8 cm है।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
हल:
माना कि घनाकार डिब्बे का एक किनारा
= l = 10 cm

(i) घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= डिब्बे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल
= 4l²
= 4(10)l²
= 4 × (10 × 10) = 400 cm …..(i)
अब पुनः माना कि घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई
= l = 12.5 cm
चौड़ाई = 10 cm
तथा ऊँचाई = 8 cm

अब घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = इसकी चारों दीवारों का क्षेत्रफल
= 2(l + b) × h
= 2(12.5 + 10) × 8
= 2(22.5) × 8 = 360 cm …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाकार डिब्बे से 400 cm² – 360 cm² = 40 cm² अधिक है।
(ii) प्रश्नानुसार घनाकार डिब्बे का कुल क्षेत्रफल
= 6l²
= 6(10)²
= 6 × 100
= 600 cm² …..(iii)
तथा घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl)
= 2(10 × 12.5 + 12.5 × 8 + 8 × 10)
= 2(125 + 100 + 80)
= 2(305)
= 610 cm² …..(iv)
समीकरण (iii) व (iv) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे के पृष्ठीय क्षेत्रफल से 610 cm² – 600 cm² = 10 cm² कम है।

प्रश्न 6.
एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लम्बा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
हल:
(i) प्रश्नानुसार माना कि पौधा घर की लम्बाई
(l) = 30 cm
चौड़ाई (b) = 25 cm
तथा ऊँचाई (h) = 25 cm
पौधाघर में प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl)
= 2(30 × 25 + 25 × 25 + 25 × 30)
= 2(750 + 625 + 750)

= 2(2125)
= 4250 cm²
(ii) सभी 12 किनारों पर प्रयुक्त टेप की कुल लम्बाई
= 4(l + b + h)
= 4(30 + 25 + 25)
= 4(80) cm
= 320 cm

प्रश्न 7.
शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बों की माप 15 cm × 12 cm × 5 cm थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपये प्रति 1000 cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
हल:
माना कि बड़े डिब्बे की लम्बाई (1) = 25 cm
चौड़ाई (b) = 20 cm
तथा ऊँचाई (h) = 5 cm

अत: बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl)
= 2(25 × 20 + 20 × 5 + 5 × 25) cm²
= 2(500 + 100 + 125) cm²
= 2(725) cm²
= 1450 cm²
सभी प्रकार की अति व्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल
= 1450 का 5%
= 1450 × 5/100
= 72.5 cm²
इस प्रकार कुल क्षेत्रफल = (1450 + 72.5) cm²
= 1522.5 cm²
इसी क्षेत्रफल के 250 डिब्बों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल
= (1522.5 × 250) cm
= 380625 cm²
∵1000 cm² गत्ते की लागत = 4 रु.
∴ 1 cm² गत्ते की लागत = 4/1000 रु.
∴ 380625 cm- गत्ते की लागत
= 4/1000 × 380625
= 1522.50 रु.
अब पुनः माना कि छोटे डिब्बे की लम्बाई
(l) = 15 cm
चौड़ाई (b) = 12 cm
तथा ऊँचाई (h) = 5 cm

अतः छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 12 + 12 × 5 + 5 × 15) cm²
= 2(180 + 60 + 75) cm²
= 2(315) cm²
= 630 cm²
सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल
= 630 का 5%
= 630 × 5/100 cm²
= 31.5 cm²
इस प्रकार कुल क्षेत्रफल = (630 + 31.5) cm²
= 661.5 cm²
इसी क्षेत्रफल के 250 डिब्बों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल
= 661.50 × 250 cm²
= 165375 cm²
∵ 1000 cm² हेतु गत्ते की लागत = 4 रु.
∴ 1 cm² हेतु गत्ते की लागत = 4/1000 रु.
∴ 165375 cm² हेतु गत्ते की लागत
= 4/1000 × 165375 रु.
= 661.5 रु.
इस प्रकार प्रत्येक प्रकार के 250 गत्ते के डिब्बों की लागत
= 1522.5 रु. + 661.5 रु.
= 2184 रु.

प्रश्न 8.
परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
हल:
माना कि आधार की लम्बाई (I) = 4 m
चौड़ाई (b) = 3 m
तथा ऊँचाई (h) = 2.5 m
कार खड़ी करने के लिए आवश्यक तिरपाल
= चार दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 2(l + b) h + lb
= 2(4 + 3) × 2.5 + 4 × 3 m²
= 2 × 7 × 2.5 + 12 m²
= 35 + 12 m²
= 47 m² 

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

प्रश्न 1.
ऊँचाई 14 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या r cm है।
प्रश्नानुसार बेलन की ऊँचाई (h) = 14 cm
बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 cm
हम जानते हैं कि बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh
अर्थात् 2πrh = 88
या 2 × 22/7 × r × 14 = 88

या 2 × 22 × r × 2 = 88

अतः बेलन के आधार का व्यास = 2r
= 2 × 1 = 2 cm

प्रश्न 2.
धातु की एक चादर से 1 m ऊँची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
हल:
माना कि धातु की चद्दर से बनी बेलनाकार टंकी के आधार की त्रिज्या r cm है।

प्रश्न 3.
धातु का एक पाइप 77 cm लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है (देखिए आकृति)।
ज्ञात कीजिए-

(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) धातु के पाइप की लम्बाई = 77 cm
अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास = 4 cm
अतः आन्तरिक त्रिज्या (r) = 4/2 = 2 cm

बेलनाकार पाइप के आन्तरिक वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

(iii) चूँकि पाइप के दोनों अंत सिरों में से प्रत्येक सिरे पर 2 cm तथा 2.2 cm त्रिज्याओं के वृत्त हैं । अतः पाइप के दोनों सिरों का क्षेत्रफल

∴ धातु के पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्तीय सिरों का क्षेत्रफल
= 968 cm² + 1064.8 cm² + 5.28 cm²
= 2038.08 cm²

प्रश्न 4.
एक रोलर (roller) का व्यास 84 cm है और लम्बाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का m- में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार रोलर का व्यास = 84 cm
∴ त्रिज्या (r) = 84/2 = 42 cm
रोलर की लम्बाई (l) = 120 cm

बेलनाकार रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh [यहाँ बेलन की लम्बाई (l) = h]

अर्थात् एक चक्कर में रोलर द्वारा समतल किया जा सकने वाला क्षेत्रफल
= 3.1680 m²
अत: 500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल
= 500 × 3.1680 m²
= 1584.0000 m²
= 1584 m²
यहाँ खेल के मैदान का क्षेत्रफल वही होगा जो रोलर द्वारा 500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल है अर्थात् मैदान का क्षेत्रफल = 1584 m²

प्रश्न 5.
किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 cm है और ऊँचाई 3.5 m है। 12.50 रुपये प्रति m² की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार लम्ब वृत्तीय बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 4.4 m²
तथा बेलन की त्रिज्या (r) = 0.7 m
बेलन की ऊँचाई (h) = ?
माना कि बेलन की ऊँचाई = h

प्रश्न 7.
किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 . m है और यह 10 m गहरा है। ज्ञात कीजिए
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) 40 रु. प्रति m- की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
हल:

(ii) ∵ 1 m क्षेत्रफल पर प्लास्टर कराने का व्यय = 40रु.
∴ 110 m² पर प्लास्टर कराने का व्यय
= 40 × 110 रु.
= 4400 रु.

प्रश्न 8.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लम्बाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?

हल:

प्रश्न 9.
ज्ञात कीजिए
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊँचाई 4.5 m है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का 1 भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
हल:

प्रश्न 10.
दी गयी आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm है और ऊँचाई 30 cm है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?

हल:
फ्रेम की ऊँचाई (h) = 30 cm
ऊपर व नीचे मोड़े जाने वाले प्रत्येक कपड़े की ऊँचाई (h) = 2.5 cm
अब माना कि प्रत्येक भाग की त्रिज्या (r)
प्रश्नानुसार व्यास (2r) = 20 cm
या r = 20/2 cm = 10 cm
∵ लैंपशेड को सजाने. में दोनों ओर 2.5 सेमी. कपड़ा अतिरिक्त छोड़ा जाता है।
∴ अतिरिक्त कपड़े सहित कपड़े की ऊँचाई h
. = (30 + 2.5 + 2.5)
= 35 cm
आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल = 2πrh

= 2 × 22 × 10 × 5
= 2200 cm²
अतः आवश्यक कपड़ा = 2200 cm²

प्रश्न 11.
किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
हल:
प्रश्नानुसार माना कि बेलनाकार कलमदान की त्रिज्या r है जो कि r = 3 cm है।
बेलनाकार कलमदान की ऊँचाई = h = 10.5 cm
कलमदान के लिए वांछित गत्ता = कलमदान का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल
= 2πrh + πr²
= πr(2h + r)

= 226.28 cm²
अर्थात् प्रत्येक प्रतिभागी के लिए कलमदान बनाने के लिए वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल = 226.28 cm²
अतः 35 कलमदानों हेतु वांछित गत्ता
= (226.28 × 35) cm²
= 7919.8 cm²
= 7920 cm²

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।

प्रश्न 1.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि शंकु के वृत्ताकार आधार की त्रिज्या r cm है।

प्रश्न 2.
एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
हल:
प्रश्नानुसार शंकु की तिर्यक
ऊँचाई (l) = 21 m
शंकु का व्यास (2r) = 24 m
∴ r = 24/2 = 12 m

हम जानते हैं कि शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl + πr²
= πr(l + r)
= 22/7 × 12(21 + 12) m²
= 22/7 × 12 × 33 m²
= 1244.57 m². 

प्रश्न 3.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) प्रश्नानुसार शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 308 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 14 cm
माना कि शंकु के वृत्ताकार भाग के आधार की त्रिज्या r cm है।
हम जानते हैं कि शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrl

प्रश्न 4.
शंकु के आकार का एक तम्ब 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए
(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई।
(ii) तम्बू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 m केनवास की लागत 70 रुपये है।
हल:
(i) प्रश्नानुसार शंकु के आकार के तम्बू की ऊँचाई (1) = 10 m
तथा शंक्वाकार तम्बू के आधार की त्रिज्या
(r) = 24 m
हम जानते हैं कि तम्बू की तिर्यक ऊँचाई

(ii) तम्बू में लगे केनवास का क्षेत्रफल = तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मानकर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल:

प्रश्न 6.
शंकु के आकार की एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमश: 25 m और 14 m है। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपये प्रति 100 m- की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार शंकु के आकार की गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई
= l = 25 m
तथा आधार का व्यास (2r) = 14 m
∴ आधार की त्रिज्या (r) = 14/2 m = 7 m
अतः गुम्बज के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = πrl
= 22/7 × 7 × 25
= 550 m²
∵ 100 m² पर सफेदी कराने का व्यय = 210 रु.
∴ 1 m² पर सफेदी कराने का व्यय = 1
∴ 550 m² पर सफेदी कराने का व्यय
= 210/100 × 550 रु.
= 1155 रु.
अत: गुम्बज के वक्र पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय = 1155 रु. 

प्रश्न 7.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर 12 रुपये प्रति m² है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? (π = 3.14 और √1.04 = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)
हल:
माना कि वृत्ताकार आधार की त्रिज्या r cm है।
प्रश्नानुसार शंकु के आधार का व्यास (2r) = 40 cm

अब शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 0.2 × 1.02
= 0.64056 m²
∵ 1 m² क्षेत्रफल को पेन्ट कराने की लागत = 12 रु.
∴ 0.64056 m² क्षेत्रफल को पेन्ट कराने की लागत
· = 12 × 0.64056
= 7.68672 रु.
अतः ऐसे ही 50 शंकुओं को पेन्ट कराने की लागत
= 50 × 7.68672 रु.
= 384.34 रु. (लगभग)
अतः शंकुओं पर सफेदी कराने में लगभग 384.34 रुपये व्यय होंगे।

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।

प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्या वाले गोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i) 10.5 cm
(ii) 5.6 cm
(iii) 14 cm
हल:

प्रश्न 2.
निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i) 14 cm
(ii) 21 cm
(iii) 3.5 m
हल:

प्रश्न 3.
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्ध गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल:
माना कि अर्द्ध गोले की त्रिज्या r cm है।
तथा यह r = 10 cm है।

अर्द्ध गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
= 2πr² + πr² = 3πr²
= 3 × 3.14 × (10)² cm²
= 3 × 314/100 × 100 cm²
= 3 × 314 cm²
= 942 cm² 

प्रश्न 4.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। हल:
प्रथम स्थिति में जबकि गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r = 7 cm हो।
गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × 7 × 7 cm²
द्वितीय स्थिति में जबकि गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 14 cm हो।
∴ गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4 × 22/7 × 14 × 14
= 4π × 14 × 14 …..(ii)
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात


∴ वांछित अनुपात = 1 : 4 

प्रश्न 5.
पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 cm है। 16 रुपये प्रति 100 cm की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
कटोरे का आन्तरिक व्यास
(2r) = 10.5 cm
∴ कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या


अत: कटोरे का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm है।
हल:

प्रश्न 7.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:


अतः चन्द्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 16 

प्रश्न 8.
एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या
(r) = 5 cm
स्टील की मोटाई (t) = 0.25 cm
अतः कटोरे की बाह्य त्रिज्या (R) = r + t
= 5 + 0.25 = 5.25 cm
अतः कटोरे का बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR²
= 2 × 22/7 × 5.25 × 5.25 cm²

प्रश्न 9.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है ( देखिये आकृति)। ज्ञात कीजिए
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) ऊपर
(i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।
​​​​​​​
हल:
(i) गोले की त्रिज्या = r
∴ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
(ii). चूँकि गोला बेलन के अन्तर्गत है, अतः बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास तथा बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के समान होगी।
∴ बेलन की त्रिज्या = r
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 2r
∴ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × π × r × 2r  [∵ h = 2r]
= 4πr² .
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (aबेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

अतः अनुपात = 1 : 1

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
हल:
माना कि माचिस की डिब्बी की लम्बाई l चौड़ाई b तथा ऊँचाई h है। प्रश्नानुसार
l = 4 cm
b = 2.5 cm
तथा h = 1.5 cm

अतः माचिस की डिब्बी का आयतन
= l × b × h
= (4 × 2.5 × 1.5) cm³
= 15 cm³
ऐसी ही 12 माचिस की डिब्बियों का आयतन
= (12 × 15) cm³
= 180 cm³

प्रश्न 2.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लम्बी, 5m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 m³ = 1000l)
हल:
प्रश्नानुसार घनाभाकार टंकी में पानी का आयतन
= 6 m × 5 m × 4.5 m [∵ आयतन = l × b × h]

= 135 m³
= 135 × 1000 लीटर
[∵ 1 m³ = 1000 लीटर]
= 135000 लीटर

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लम्बा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
हल:
माना कि घनाभाकार बर्तन को h मीटर ऊँचा बनाया जाए।
घनाभाकार बर्तन में द्रव का आयतन = 380 घनमीटर
अर्थात् l × b × h = 380
घनमीटर 10 × 8 × h = 380
या h = 10×8 m
h = 4.75 m उत्तर

प्रश्न 4.
8 m लम्बा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपये प्रति m’ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार खोदे जाने वाले गड्ढे का आयतन
= l × b × h
= 8 m × 6 m × 3 m
= 144 m³
∴ गड्ढा खुदवाने का व्यय = (144 × 30) रु
= 4320 रु.

प्रश्न 5.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि घनाभाकार टंकी की चौड़ाई = b m है।
इस टंकी की धारिता = 50000 लीटर
अर्थात् l × b × h = 50000 लीटर
या 2.5 m × b × 10 m = 50000
या 2.5 m × b × 10 m = 1000 m
[∵ 1 m³ = 1000l]
या 25b = 50
या b = 50/25 = 2 m

प्रश्न 6.
एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m × 15 m × 6 m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
हल:
गाँव में बनी हुई घनाभाकार टंकी की धारिता
= l × b × h
= 20 m × 15 m × 6 m
= 1800 m³
= 1800 × 1000 लीटर
[∵ 1 m = 1000 लीटर]
= 1800000 लीटर प्रतिदिन प्रति व्यक्ति पानी की आवश्यकता
= 150 लीटर

अतः 4000 व्यक्तियों हेतु प्रतिदिन आवश्यक पानी
= 150 × 4000 लीटर
= 600000 लीटर

= 1800000/600000
= 3 दिन

प्रश्न 7.
किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 10 m हैं। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
हल:
प्रश्नानुसार घनाभाकार गोदाम का आयतन
= l × b × h
= 40 m × 25 m × 10 m
= 15000 m³

तथा लकड़ी के क्रेट का आयतन = l × b × h
= 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m
= 0.9375 m³

अतः गोदाम में रखे जा सकने वाले अधिकतम लकडी के क्रेटों की संख्या

= 15000/0.9375
= 16000

प्रश्न 8.
12 cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
ठोस घन का आयतन = (भुजा)³
= (12 cm)³
= 12 cm × 12 cm × 12 cm
= 1728 cm³

प्रश्नानुसार ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। अतः प्रत्येक बनने वाले नए घन का आयतन = 1/8 × (मूल घन का आयतन)
= 1/8 × 1728 cm³
= 216 cm³

अतः बनने वाले नए घन की भुजा

पुनः मूल ठोस घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6 (भुजा)²
= 6(12)²
= 6 × 12 × 12 cm²
= 864 cm²

तथा नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6 (6 cm)²
= 6 × 6 × 6 cm²
= 216 cm²

= 864/216=4/1
अतः मूल घन तथा नए घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 4 : 1

प्रश्न 9.
3m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घण्टा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
हल:
प्रश्नानुसार नदी का जल 2 km प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरता है अर्थात् समुद्र में 1 घण्टे में 2 km लम्बी नदी का पानी गिरता है। अतः एक घण्टे में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = घनाभ का आयतन
= l × b × h
= 2000 m × 40 m × 3 m [क्योंकि 1 km = 1000 m]
= 240000 m³

यह आयतन 1 घण्टे में या 60 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन है। अतः 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन
= 240000/60
= 4000 m³

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 cm = 1 लीटर)
हल:
प्रश्नानुसार बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm
माना कि आधार की । त्रिज्या है तो परिधि = 2πr
2πr = 132 cm
या 2 × 22/7 × r = 132
r = 132 ×
r = 21 cm
प्रश्नानुसार बर्तन की ऊँचाई (1) = 25 cm
∴ बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन
= πr²h
= 22/7 × 21 × 21 × 25 cm³
= 22 × 3 × 21 × 25 cm³
= 34650 cm³

हम जानते हैं कि 1000 cm³ = 1 लीटर अतः
= 34650/1000 लीटर
= 34.65 लीटर

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लम्बाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल:
बेलनाकार पाइप का
आन्तरिक व्यास = 24 cm

अतः पाइप की आन्तरिक त्रिज्या
(r) = 24/2 = 12 cm

बेलनाकार पाइप का बाहरी व्यास = 28 cm
∴ पाइप की बाह्य त्रिज्या r = 28/2 = 14 cm

प्रश्नानुसार पाइप की लम्बाई = 35 cm
लगी लकड़ी का आयतन = बेलन का बाह्य आयतन – बेलन का आन्तरिक आयतन
= πR²h – πr²h (∵ लम्बाई = ऊँचाई)
= πh(R² – r²)
= 22/7 × 35 [(14) – (12)]
= 22 × 5 [196 – 144]
= 110 × 52
= 5720 cm

∵ 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 gm
∴ 5720 cm लकड़ी का द्रव्यमान
= 0.6 × 5720 gm
= 3432 gm
= 3432/1000 kg [∵ 1000 gm = 1 kg]
= 3.432 kg

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है-
(i) लम्बाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और
(ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल:
(i) आयताकार स्थिति में
आयताकार आधार की लम्बाई = 5 cm
आयताकार आधार की चौड़ाई = 4 cm
टिन के डिब्बे की ऊँचाई = 15 cm

अतः आयताकार टिन के डिब्बे का आयतन
= l × b × h
= 5 cm × 4 cm × 15 cm
= 300 cm

(ii) बेलनाकार स्थिति मेंबेलन के आधार का व्यास = 7 cm
अत: बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 7 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm

अब बेलन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h

= 11 × 7 × 5 cm³
= 385 cm³ ………..(ii)
अब बिन्दु (i) व (ii) के आधार पर हम देख सकते हैं कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता 385 – 300 = 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
प्रश्नानुसार बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 94.2 cm²

बेलन की ऊँचाई (h) = 5 cm

अब माना कि आधार की त्रिज्या r है।
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
अर्थात् 2πrh = 94.2 cm
या 2 × 3.14 × r × 5 = 94.2 cm

या r = 3 cm

अत: बेलन का आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 cm
= 141. 3 cm

प्रश्न 5.
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपये है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपये प्रति m² है, तो ज्ञात कीजिए
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता।
हल:
प्रश्नानुसार बर्तन के आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेन्ट कराने का व्यय = 2200 रु.
तथा दर = 20 रु. प्रति m²
(i) अतः बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि 1 m³ = 1 किलोलीटर, अतः
= 96.25 किलोलीटर

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
हल:

अतः बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= 2πr (h + r)
= 2 × 22/7 × 0.07 (1 + 0.07)
= 44/7 × 0.07 × 1.07
= 44 × 0.01 × 1.07
= 0.4708 m³

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) cm
= 5.28 cm³

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
हल:
माना कि रोगी के बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या r है।
∴ व्यास (2r) = 7 cm
या तथा कटोरे की ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ बेलनाकार कटोरे का आयतन = πr²h

चूँकि कटोरा पूरी तरह से सूप से भरा हुआ है । अतः एक कटोरे में भरे गए सूप की मात्रा या आयतन = 154 cm³
अतः अस्पताल द्वारा तैयार किए गए 250 रोगियों हेतु सूप की कुल मात्रा
= (250 × 154) cm³
= 38500 cm³
= 38500/1000 लीटर
क्योंकि 1 लीटर = 1000 cm³
= 38.5 लीटर

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

प्रश्न 1.
उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है।
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल:

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।
हल:
(i) प्रश्नानुसार यहाँ r = 7 cm, 1 = 25 cm
l² = r² + h²
h² = l² – h²
= (25)² – (7)²
= 625 – 49
h² = 576

(ii) यहाँ h = 12 cm
तथा तिर्यक ऊँचाई (l) = 13 cm
∵ l² = r² + h²
या r² = h² – l²
= (13)² – (12)²
= 169 – 144
r² = 25
r = /25 = 5 cm

 प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
हल:
प्रश्नानुसार शंकु की ऊँचाई (h) = 15 cm
शंकु का आयतन = 1570 cm³
माना कि शंकु की त्रिज्या r है।

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 m cm है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार शंकु का आयतन
= 48 π cm ……(i)

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
हल:

प्रश्न 6.
एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) प्रश्नानुसार शंकु का आयतन
= 9856 cm शंकु के आधार का व्यास (2r) = 28 cm
आधार की त्रिज्या (r) = 28 = 14 cm

(ii) माना कि शंकु की तिर्यक ऊँचाई । है। अत:
l² = r² + h²
या l = (14)² + (48)²
= 196 + 2304
= 2500
l = 2500
= 50 cm

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 22/7 × 14 × 50
= 2200 cm

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब भुजाओं 5 cm, 12 cm तथा 13 cm वाले एक समकोण 13 cm त्रिभुज ABC को इसकी भुजा 12 cm वाली भजा के परित घुमाया जाता है तो एक ठोस शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है।

इस प्रश्न के अनुसार 12 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई तथा 5 cm भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या होगी।
यहाँ शंकु की त्रिज्या (r) = 5 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 cm

= 100 m cm

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार यदि समकोण त्रिभुज को 5 cm भुजा के परित घुमाया जाता है तो ठोस शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है।

अब यहाँ 5cm वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या तथा 5 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है। अब यहाँ R = 12 cm शंकु की त्रिज्या तथा H = 5 cm शंकु की ऊँचाई है।

= 240 π cm

अब प्रश्नानुसार


∴ वांछनीय अनुपात = 5 : 12

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि गेहूँ की शंक्वाकार ढेरी के आधार की त्रिज्या r है। अतः

तथा शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई (h) = 3 m
इस गेहूँ की ढेरी का आयतन = 1313πr²h

= 86.625 m³

अब माना कि शंकु के आकार की ढेरी की तिर्यक ऊँचाई | m है।
l² = r² + h²

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है
(i) 7 cm
(ii) 0.63 m
हल:

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m
हल:
(i) गोलाकार गेंद का व्यास (2r) = 28 cm
∴ गेंद की त्रिज्या (r) = 28/2 = 14 cm

गेंद द्वारा विस्थापित पानी का आयतन गेंद के आयतन बराबर होगा।
गेंद का आयतन = 4/3πr³

(ii) यहाँ गेंद का व्यास (2r) = 0.21 m
∴ गेंद की त्रिज्या (r) = 0.21/2 m

यहाँ भी गेंद द्वारा विस्थापित पानी का आयतन गेंद के आयतन के समान होगा। अतः
गेंद का आयतन = 4/3πr³

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:

∵ 1 cm³ धातु का द्रव्यमान = 8.9 gm
∴ 38.808 cm³ धातु का द्रव्यमान
= 8.9 × 38.808 gm = 345.3912 gm
= 345.39 gm (लगभग)

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौनसी भिन्न है?
हल:

इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का वाँ भाग है।

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल:
प्रश्नानुसार अर्द्धगोलाकार कटोरे का व्यास
(2r) = 10.5 cm
∴ कटोरे की त्रिज्या (r) = 10.5/2 cm = 5.25 cm
हम जानते हैं कि अर्द्धगोलाकार कटोरे में दूध का आयतन उतना ही होगा जितना कि उस कटोरे का आयतन होगा। अतः अर्द्धगोले का आयतन

प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार अर्द्धगोलाकार टंकी की आन्तरिक त्रिज्या (r) = 1 m
अर्थात् r = 100 cm
चादर की मोटाई = 1 cm

अतः इस कटोरे की बाह्य त्रिज्या
(R) = 100 + 1 = 101 cm

टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्द्धगोले का आयतन – आन्तरिक अर्द्धगोले का आयतन

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm है।
हल:
प्रश्नानुसार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 154 cm²

माना कि गोले की त्रिज्या r है। अतः

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से, इसमें सफेदी कराने में 498.96 रुपये व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल:
(i) प्रश्नानुसार सफेदी कराने का कुल व्यय
= 498.96 रु.

तथा सफेदी कराने की दर = 2.00 रु. प्रति m²
∴ सफेदी कराने योग्य कुल क्षेत्रफल

= 498.96/2
= 249.48 m²

∴ गुम्बद का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 249.48 m²

(ii) माना कि गुम्बद की आन्तरिक त्रिज्या = r
∴ 2πr² = 249.48
या 2 × 22/7 × 2 = 249.48

हम समझ सकते हैं कि गुम्बद के अन्दर हवा का आयतन वही होगा जितना कि उस गोलार्द्ध गुम्बद का आयतन होगा अथात् गुम्बद का आयतन

= 44 × 2.1 × 0.9 × 6.3 m³
= 523.9 m³

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात।
हल:
प्रश्नानुसार गोलों की संख्या = 27
तथा प्रत्येक गोले की त्रिज्या = r

= 36πr³ …..(i)

इन गोलों को पिघलाकर त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है। अत: नए गोले का आयतन
समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने पर

या r’ = 3r
अर्थात् नए गोले की त्रिज्या = 3r
दिए गए प्रश्नानुसार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S तथा त्रिज्या r है
∴ S = 4πr² ……(iii)

नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ तथा त्रिज्या r’ है
∴ S’ = 4πr’² = 4π(3r)² (∵ r’ = 3r)
∴ S’ = 4π × 3r × 3r
= 36πr² …..(iv)

समीकरण (iii) व (iv) से

अत: S और S’ का अनुपात = 1 : 9

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैप्सूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी?
हल:
माना कि दवाई के कैप्सूल की त्रिज्या । है।
प्रश्नानुसार व्यास (2r) = 3.5 mm

या r = 20 mm
r = 7 mm

कैप्सूल को भरते समय आवश्यक दवाई की मात्रा उसके आयतन के बराबर होगी अर्थात्

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशेल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं. ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm ( देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जानी है और आन्तरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
इस बुक-शैल्फ में प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है।
∴ AB = 85 – 5 – 5 = 75 cm
तथा AD = [110 – 5 – 5 – 5 – 5]
= [110 – 20] cm
= 1 × 90
= 30 cm

पालिश होने योग्य बाहरी फलक = घनाभाकार बुक – शैल्फ के छः फलकों का क्षेत्रफल – 3 (खुले भाग ABCD का क्षेत्रफल)
= 2(110 × 25 + 25 × 85 + 85 × 110) – 3[75 × 30] cm
= 2[2750 + 2125 + 9350] – 3[2250] cm
= 2(14225) – 6750 cm
= 28450 – 6750 cm
= 21700 cm

लकड़ी के बुक-शैल्फ के बाहरी फलकों पर पालिश कराने का व्यय = 20 पैसे प्रति cm² = 1/5 रु. प्रति cm²
= (1/5 × 21700) रु.
= 4340 रु.

क्योंकि यहाँ तीन बराबर भुजाओं वाले पाँच फलक हैं अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3[2(30 + 75) × 20 + 30 × 75] (∵ आन्तरिक गहराई = 25 – 5 = 20 cm)
= 3[2 × 105 × 20 + 2250]
= 3[4200 + 2250] = 3 × 6450
= 19350 रु.

अब आन्तरिक फलकों पर पेन्ट कराने का व्यय = 10 पैसे प्रति cm²
= 1 रु. प्रति cm = (10 × 19350) रु.
= 1935 रु. इस प्रकार पेन्ट कराने पर कुल व्यय
= 4340 रु. + 1935 रु.
= 6275 रु.

प्रश्न 2.
किसी घर के कम्पाउण्ड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक

बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm- है तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm- हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि लकड़ी के गोलों की त्रिज्या R है
अतः व्यास (2R) = 21 cm
या R = 21 cm
इसी प्रकार माना कि बेलन के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या r है। अत:
r = 1.5 cm

पेन्ट कराने योग्य गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलन के ऊपरी वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल जिन पर गोले टिके हैं।

= 1378.928 cm²

ऐसे ही आठ गोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8x 1378.928 cm²
= 11031.424 cm

इस क्षेत्रफल पर चाँदी वाले रंग का पेन्ट कराने का व्यय
= (1/4 × 11031.424) रु.
= 2757.85 रु.

अब बेलनाकार आधार का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh
= 2 × 22/7×15/10 × 7
= 66 cm

ऐसे ही 8 बेलनाकार आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 × 66 cm
= 528 cm

इन पर काला पेन्ट कराने का व्यय
= (1/20 × 528) रु.
= 26.4 रु.

इस प्रकार पेन्ट कराने का कुल व्यय
= 2757.85 रु. + 26.4 रु.
= 2784.25 रु.

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
हल:

∴ प्रतिशत परिवर्तन वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन, Study Learner