RBSE Maths Class 10 Chapter 6: Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

आरबीएसई कक्षा 10 गणित अध्याय 6 – Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात) महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान यहां दिए गए हैं। इन सभी सवालों के सटीक जवाब के साथ विस्तृत समाधान हैं। RBSE Maths Class 10 Chapter 6: Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

यदि आपको त्रिकोंमितीय तालिका याद नहीं है तो पहले आपको त्रिकोंमितीय तालिका याद करके ये प्रश्न उत्तर हल करने व Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात) समझना चाहिये त्रिकोंमितीय तालिका याद करने के लिए निचे दिए गये लिंक पर क्लिक करे :-

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Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

आरबीएसई कक्षा 10 के अध्याय 6 में केवल एक ही अभ्यास है Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात), जो तीक्ष्ण कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, सेकेंट, कोसकैंट और कॉटैंगेंट के तालिका मूल्यों के बारे में प्रश्नों को कवर करता है। यहाँ पर्याप्त प्रश्न दिए गए हैं ताकि छात्र इन सभी प्रश्नों का अभ्यास करने के बाद इस श्रेणी के अंतर्गत किसी भी प्रकार के प्रश्न को हल कर सकें। इसके अलावा, पहचान साबित करने पर कुछ सवाल मौजूद हैं, जिसमें त्रिकोणमिति के अनुपात शामिल हैं। Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

RBSE Maths Chapter 6: Exercise 6.1

Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

मान ज्ञात कीजिए – Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

प्रश्न 1: 2 sin 45° cos 45° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

2 sin 45° cos 45°

= 2 × (1/√2) × (1/√2)

= 2 × (1/2)

= 1

प्रश्न 2: cos 45° cos 60° – sin 45° sin 60° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

cos 45° cos 60° – sin 45° sin 60°

= (1/√2) × (1/2) – (1/√2) × (√3/2)

= (1/2√2) – (√3/2√2)

= (1 – √3)/2√2

प्रश्न 3: sin²30° + 2 cos²45° + 3 tan²60° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

sin²30° + 2 cos²45° + 3 tan²60°

= (1/2)² + 2(1/√2)² + 3(√3)²

= (1/4) + 2(1/2) + 3(3)

= (1/4) + 1 + 9

= 10 + 1/4

= (40 + 1)/4

= 41/4

प्रश्न 4: 3 sin 60° – 4 sin³60° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

3 sin 60° – 4 sin³60°

= 3(√3/2) – 4(√3/2)³

= (3√3)/2 – (4 × 3√3)/8

= (3√3)/2 – (3√3)/2

= 0

प्रश्न 5:  (5 cos²60° + 4 sin²30° + tan²45°)/ (sin²30° + cos²45°) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

 (5 cos²60° + 4 sin²30° + tan²45°)/ (sin²30° + cos²45°)

= [5(1/2)² + 4(1/2)² + (1)²] / [(1/2)² + (1/√2)²]

= [ 5(1/4) + 4(1/4) + 1] / [(1/4) + (1/2)]

= [(5/4) + 1 + 1]/ [(1 + 2)/4]

= [(5 + 4 + 4)/4]/(3/4)

= (13/4) × (4/3)

= 13/3

प्रश्न 6: 4 cot²45° – sec²60° + sin²60° + cos²90° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

4 cot²45° – sec²60° + sin²60° + cos²90°

= 4(1)² – (2)² + (√3/2)² + (0)²

= 4 – 4 + (3/4) + 0

= 3/4

प्रश्न 7: (4/cot²30°) + (1/sin²30°) – cos²45° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

(4/cot²30°) + (1/sin²30°) – cos²45°

= 4/(√3)² + 1/(1/2)² – (1/√2)²

= (4/3) + 4 – (1/2)

= (8 + 24 – 3)/6

= 29/6

प्रश्न 8: (tan²60° + 4sin²45° + sin²90°) / (3 sec²30° + cosec²60° – cot²30°) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

(tan²60° + 4sin²45° + sin²90°) / (3 sec²30° + cosec²60° – cot²30°)

= [(√3)² + 4(1/√2)² + (1)²] / [3(2/√3)² + (2/√3)² – (√3)²]

= [3 + 4(1/2) + 1] / [3(4/3) + (4/3) – 3]

= (4 + 2)/ (1 + 4/3)

= 6/ [(3 + 4)/3]

= (6 × 3)/7

= 18/7

प्रश्न 9: (sin 30° – sin 90° + 2 cos 0°)/(tan 30° tan 60°) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

(sin 30° – sin 90° + 2 cos 0°)/(tan 30° tan 60°)

= [(1/2) – 1 + 2(1)] / [(1/√3) × (√3)]

= [(1/2) + 1]/1

= (1 + 2)/2

= 3/2

प्रश्न 10: 2 tan 30°/ (1 – tan²30°) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

2 tan 30°/ (1 – tan²30°)

= [2 (1/√3)] / [1 – (1/√3)²]

= (2/√3) / (1 – 1/3)

= (2/√3)/ [(3 – 1)/3]

= (2/√3) × (3/2)

= 3/√3

= √3

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Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

प्रश्न 11: X का मान ज्ञात कीजिए, यदि

(i) cos x = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°

उत्तर

cos x = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°

⇒ cos x = (1/2) × (√3/2) + (√3/2) × (1/2)

⇒ cos x = √3/4 + √3/4

⇒ cos x = 2 × (√3/4)

⇒ cos x = √3/2

⇒ cos x = cos 30°

⇒ cos x = cos 30°

⇒ x = 30°

(ii) sin 2x = sin 60° cos 30° – cos 60° sin 30°

उत्तर

sin 2x = sin 60° cos 30° – cos 60° sin 30°

⇒ sin 2x = (√3/2) × (√3/2) – (1/2) × (1/2)

⇒ sin 2x= (3/4) – (1/4)

⇒ sin 2x = (3 – 1)/4

⇒ sin 2x = 2/4

⇒ sin 2x = 1/2

⇒ sin 2x = sin 30°

⇒ 2x = 30°

⇒ x = 30°/2

⇒ x = 15°

(iii) √3 tan 2x = sin 30° + sin 45° cos 45° + 2 sin 90°

उत्तर

√3 tan 2x = sin 30° + sin 45° cos 45° + 2 sin 90°

⇒ √3 tan 2x = 1/2 + (1/√2) × (1/√2) + 2 × 1

⇒ √3 tan 2x = 1/2 + 1/√4 + 2

⇒ √3 tan 2x = 1/2 + 1/2 + 2

⇒ √3 tan 2x = 1 + 2

⇒ tan 2x = 3/√3

⇒ tan 2x = (√3 × √3)/√3

⇒ tan 2x = √3

⇒ tan 2x = tan 60°

⇒ 2x = 60

⇒ x = 60/2

⇒ x = 30°

RBSE Maths Class 10 Chapter 6: Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

सिद्ध करो –

प्रश्न 12: सिद्ध करो 4 cot²45° – sec²60° – sin²30° = -1/4

उत्तर

LHS = 4 cot²45° – sec²60° – sin²30°

= 4(1)² – (2)² – (1/2)²

= 4 – 4 – 1/4

= -1/4

= RHS

इसलिये 4 cot²45° – sec²60° – sin²30° = -1/4

Hence proved.

प्रश्न 13: सिद्ध करो 4 sin 30° sin²60° + 3 cos 60° tan 45° = 2 sec²45° – cosec²90°

उत्तर

LHS = 4 sin 30° sin²60° + 3 cos 60° tan 45°

= 4 × (1/2) × (√3/2)² + 3 × (1/2) × (1)

= 2 × (3/4) + (3/2)

= (3/2) + (3/2)

= 2 × (3/2)

= 3

RHS = 2 sec²45° – cosec²90°

= 2(√2)² – (1)²

= 2(2) – 1

= 4 – 1

= 3

इसलिये LHS = RHS

4 sin 30° sin²60° + 3 cos 60° tan 45° = 2 sec²45° – cosec²90°

Hence proved.

प्रश्न 14: सिद्ध करो (sin 60° + sin 30°)/(sin 60° – sin 30°) = (tan 60° + tan 45°)/(tan 60° – tan 45°)

उत्तर

LHS = (sin 60° + sin 30°)/(sin 60° – sin 30°)

= [(√3/2) + (1/2)] / [(√3/2) – (1/2)]

= [(√3 + 1)/2] / [(√3 – 1)/2]

= (√3 + 1)/(√3 – 1)

RHS = (tan 60° + tan 45°)/(tan 60° – tan 45°)

= (√3 + 1)/(√3 – 1)

LHS = RHS

इसलिये, (sin 60° + sin 30°)/(sin 60° – sin 30°) = (tan 60° + tan 45°)/(tan 60° – tan 45°)

Hence proved.

प्रश्न 15: सिद्ध करो 2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6

उत्तर

LHS = 2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°)

= 2[(1/√2)² + (√3)²] – 6[(1/√2)² – (1/√3)²]

= 2[(1/2) + 3] – 6[(1/2) – (1/3)]

= 2[(1 + 6)/2] – 6[(3 – 2)/6]

= 7 – 1

= 6

= RHS

इसलिये, 2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6

Hence proved.

RBSE Maths Class 10 Chapter 6: Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

प्रश्न 16: सिद्ध करो (1 – sin 45° + sin 30°)(1 + cos 45° + cos 60°) = 7/4

उत्तर

LHS = (1 – sin 45° + sin 30°)(1 + cos 45° + cos 60°)

= [1 – (1/√2) + (1/2)] [1 +(1/√2) + (1/2)

= [(3/2) – (1/√2)] [(3/2) + (1/√2)]

= (3/2)² – (1/√2)²

= (9/4) – (1/2)

= (9 – 2)/4

= 7/4

= RHS

इसलिये, (1 – sin 45° + sin 30°)(1 + cos 45° + cos 60°) = 7/4

Hence proved.

प्रश्न 17: सिद्ध करो cos²0° – 2 cot²30° + 3 cosec²90° = 2(sec²45° – tan²60°)

उत्तर

LHS = cos²0° – 2 cot²30° + 3 cosec²90°

= (1)2 – 2(√3)2 + 3(1)2

= 1 – 2(3) + 3

= 4 – 6

= -2

RHS = 2(sec²45° – tan²60°)

= 2[(√2)2 – (√3)2]

= 2(2 – 3)

= 2(-1)

= -2

इसलिये, cos²0° – 2 cot²30° + 3 cosec²90° = 2(sec²45° – tan²60°)

Hence proved.

प्रश्न 18: यदि x = 30°, तब सिद्ध करो tan 2x = 2 tan x/(1 – tan²x)

उत्तर

दिया हुआ

x = 30°

LHS = tan 2x

= tan 2(30°)

= tan 60°

= √3

RHS = 2 tan x/(1 – tan²x)²

= 2 tan 30°/(1 – tan230°)

= 2(1/√3)/[1 – (1/√3)]

= (2/√3)/ (1 – 1/3)

= (2/√3)/[(3 – 1)/3]

= (2/√3) × (3/2)

= 3/√3

= √3

इसलिये, tan 2x = 2 tan x/(1 – tan²x)

Hence proved.

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Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

प्रश्न 19: यदि x = 30°, तब सिद्ध करो cos 3x = 4 cos³x – 3 cos x

उत्तर

दिया हुआ

x = 30°

LHS = cos 3x

= cos 3(30°)

= cos 90°

= 0

RHS = 4 cos³x – 3 cos x

= 4 cos³30° – 3 cos 30°

= 4(√3/2)³ – 3(√3/2)

= 4(3√3/8) – (3√3/2)

= (3√3/2) – (3√3/2)

= 0

इसलिये, cos 3x = 4 cos³x – 3 cos x

Hence proved.

प्रश्न 20: यदि A = 60° और B = 30°, तब सिद्ध करो cot(A – B) = (cot A cot B + 1)/(cot B – cot A)

उत्तर

दिया हुआ

A = 60° और B = 30°,

LHS = cot(A – B)

= cot(60° – 30°)

= cot 30°

= √3

RHS = (cot A cot B + 1)/(cot B – cot A)

= (cot 60° cot 30° + 1)/(cot 30° – cot 60°)

= [(1/√3) × (√3) + 1] / [√3 – (1/√3)]

= (1 + 1)/ [(3 – 1)/√3]

= 2 × (√3/2)

= √3

इसलिये, cot(A – B) = (cot A cot B + 1)/(cot B – cot A)

Hence proved.

Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)

Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात), जो तीक्ष्ण कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, सेकेंट, कोसकैंट और कॉटैंगेंट के तालिका मूल्यों के बारे में प्रश्नों को कवर करता है। यहाँ पर्याप्त प्रश्न दिए गए हैं ताकि छात्र इन सभी प्रश्नों का अभ्यास करने के बाद इस श्रेणी के अंतर्गत किसी भी प्रकार के प्रश्न को हल कर सकें। इसके अलावा, पहचान साबित करने पर कुछ सवाल मौजूद हैं, जिसमें त्रिकोणमिति के अनुपात शामिल हैं। Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितीय अनुपात)