Last Updated on October 27, 2024 by Rahul
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4. द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.1
प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:
(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)
हल-
प्रश्नानुसार
(x + 1)2 = 2(x – 3)
या x2 + 1 + 2x = 2x – 6
या x2 + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
या x2 + 7 = 0
या x2 + 0x + 7 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
हल-
प्रश्नानुसार
x2 – 2x = (-2) (3 – x)
या x2 – 2x = -6 + 2x
या x2 – 2x + 6 – 2x = 0
या x2 – 4x + 6 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
हल-
प्रश्नानुसार
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
या x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
या x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
या x2 – x – 2 – x2 – 2x + 3 = 0
या -3x + 1 = 0
जिसमें x2 का कोई पद नहीं है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
हल-
प्रश्नानुसार
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
या 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
या 2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
या x2 – 10x – 3 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
हल-
प्रश्नानुसार
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
या 2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
या 2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5
या 2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0
या x2 – 11x + 8 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
हल-
प्रश्नानुसार
x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
या x2 + 3x + 1 = x2 + 4 – 4x
या x2 + 3x + 1 – x2 – 4 + 4x = 0
या 7x – 3 = 0
जिसमें x2 का पद नहीं है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
हल-
प्रश्नानुसार
(x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
या x3 + (2)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 = 2x3 – 2x
या x3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x
या x3 + 8 + 6x2 + 12x – 2x3 + 2x = 0
या -x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0
यहाँ x की उच्चतम घात 3 है।
यह एक विघात समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
हल-
प्रश्नानुसार
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
या x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – (2)3 + 3(x)2 (-2) + 3(x) (-2)2
या x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x
या x3 – 4x2 – x + 1 – x + 8 + 6x2 – 12x = 0
या 2x2 – 13x + 9 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए-
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
हल-
माना कि
आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई = (2x + 1) m
आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = [x(2x + 1)] m2 = (2x2 + x) m2
प्रश्नानुसार 2x2 + x = 528
या 2x2 + x – 528 = 0
अतः द्विघात समीकरण 2x2 + x – 528 = 0
जहाँ x (मीटर में) भूखण्ड की चौड़ाई है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
हल-
माना कि x और x + 1 दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं।
पूर्णांकों का गुणनफल = x(x + 1) = x2 + x
प्रश्नानुसार x2 + x = 306
या x2 + x – 306 = 0
अतः दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है-
x2 + x – 306 = 0
जहाँ x लघूत्तर पूर्णांक है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
हल-
माना किरोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
रोहन की माँ की आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष पश्चात्,
रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
रोहन की माँ की आयु = (x + 26 + 3) वर्ष = (x + 29) वर्ष
∴ उनका गुणनफल = (x + 3) (x + 29)
= x2 + 29x + 3x + 87
= x2 + 32x + 87
प्रश्नानुसार x2 + 32x + 87 = 360
या x2 + 32x + 87 – 360 = 0
या x2 + 32x – 273 = 0
अतः दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है-
x2 + 32x – 273 = 0
जहाँ x (वर्षों में) रोहन की वर्तमान आयु है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल-
प्रश्नावली 4.2
Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
हल : x2 – 3x – 10 = 0
x2 – 5x + 3x – 10 = 0
x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x – 5 = 0 तथा x + 2 = 0x = 5 तथा x = – 2
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
हल : 2x2 + x – 6 = 0
2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
x(x + 2 ) – 3(x + 2) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x + 2= 0 तथा x – 3 = 0x = – 2 तथा x = 3
(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0
हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0
√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2x + 5) – √2(√2x + 5) = 0
(√2x + 5) (x – √2) = 0
√2 x + 5 = 0 तथा x – √2 = 0
√2x = – 5 तथा x = √2
x = – 5 /√2 तथा x = √2
(iv) 2x2 – x + 1/8 = 0
हल : 2x2 - x + 1/8 = 0
2x2 - x + 1/8 = 0
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल : 100x2 – 20x + 1 = 0
100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0
(x – 1)(10x – 1) = 0
10x – 1 = 0 तथा 10x – 1 = 010x = 1 तथा 10x = 1
x = 1/10तथा x = 1/10
Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|
1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।
हल : जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45
माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x
जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x
कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-
जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x – 5
जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x – 5
= 40 – x
शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124
(x – 5)(40 – x) = 306 124
40x – x2 – 200 + 5x = 124
– x2 + 40x + 5x – 200 – 124 = 0
– x2 + 45x – 324 = 0
x2 - 45x + 324 = 0
x2 - 36x – 9x + 324 = 0
x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0
(x – 36)(x – 9) = 0
x – 36 = 0 तथा x – 9 = 0
x = 36 तथा x = 9चूँकि x के दो मान है इसलिए
2. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निखमत करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ( रुपयों में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 – x रुपय
उस दिन कुल निर्माण लागत = 750
x(55 – x) = 750
55x – x2 = 750
– x2 + 55x – 750 = 0
x2 - 55x + 750 = 0
x2 - 30x – 25x + 750 = 0
x(x – 30 ) – 25(x – 30) = 0
(x – 30)(x – 25) = 0
x – 30 = 0 तथा x – 25 = 0
x = 30 तथा x = 25माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x = 25
उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 – x
= 55 – 25
= 30 रूपय
Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |
हल : संख्याओं का योग = 27
संख्याओं का गुणनफल = 182
माना पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = x + 1
दोनों संख्या का गुणनफल = 182
x(27 – x) = 182
27x – x2 = 182
– x2 + 27x – 182= 0
x2 - 27x + 182 = 0
x2 - 14x – 13x + 182 = 0
x(x – 14 ) – 13(x – 14) = 0
(x – 14)(x – 13) = 0
x – 14 = 0 तथा x – 13 = 0x = 14 तथा x =13
पहली संख्या = x
= 13
दूसरी संख्या = x + 1
= 13 + 1
= 14
Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |
हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग = 365
(x)2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x + 1 – 365 = 0
2x2 + 2x + 1 – 365 = 0
2x2 + 2x – 364 = 0
2(x2 + x – 182) = 0
x2 + x – 182 = 0/2
x2 + x – 182 = 0
x2 + 14x – 13x – 182 = 0
x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
(x + 14) (x – 13) = 0
x + 14 = 0 तथा x – 13 = 0x = – 14 तथा x = 13चूँकिपहला धनात्मक पूर्णाक = x
= 13
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 13 + 1
= 14
Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7cm
समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm
पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2
AC2 = AB2 + BC)2
(13)2 = (x – 7)2 + (x)2
169 = x2 – 14x + 49 + x2169 – 49= 2x2 – 14x
120 = 2(x2 – 7x)
x2 – 7x = 2/120
x2 – 7x – 60 = 0
x2 – 12x + 5x – 60 = 0
x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
(x – 12) (x + 5) = 0
x – 12 = 0 तथा x + 5 = 0x = 12 तथा x = – 5चूँकि
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
= 12 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7 cm
= 12 – 7
= 5 cm
Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |
हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x
प्रत्येक नाग की निर्माण लागत = 2x + 3
उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये
x(2x + 3) = 90
2x2 + 3x = 9
2x2 + 3x – 90 = 0
2x2 + 15x – 12x – 90 = 0
x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
(2x + 15)(x – 6) = 0
2x + 15 = 0 तथा x – 6 = 0x = – 15 तथा x = 6माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x = 6
उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3
= 2 x 6 + 3
= 12 + 3
= 15 रूपये
प्रश्नावली 4.3
प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2 – 3x + 5 = 0
हल-
प्रश्नानुसार
2x2 – 3x + 5 = 0
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 2, b = -3, c = 5
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-3)2 – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= -31 < 0
अतः दी गयी द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
(ii) 3x2 – 4√3x + 4 = 0
हल-
प्रश्नानुसार 3x2 – 4√3x + 4 = 0
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 3, b = -4√3, c = 4
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-4√3)2 – 4 × 3 × 4
= 48 – 48
= 0
अतः दी गई समीकरण के वास्तविक और बराबर मूल हैं।
अब,
(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
हल-
प्रश्नानुसार
2x2 – 6x + 3 = 0
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 2, b = -6, c = 3
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-6)2 – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12 > 0
∵ दी गई द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
अब,
प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
हल-
प्रश्नानुसार
2x2 + kx + 3 = 0
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 2, b = k, c = 3
∵ दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ विविक्तकर (D) = 0
b2 – 4ac = 0
या (k)2 – 4 × 2 × 3 = 0
या k2 – 24 = 0
या k2 = 24
या k = ±√24
या k = ±2√6
अतः मूल बराबर होने के लिये k = ±2√6 होना चाहिये।
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल-
प्रश्नानुसार kx(x – 2) + 6 = 0
या kx2 – 2kx + 6 = 0
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = k, b = -2k, c = 6
∵ दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं।
D = 0
या b2 – 4ac = 0
या (-2k)2 – 4 × k × 6 = 0
या 4k2 – 24k = 0
या 4k[k – 6] = 0
अर्थात् 4k = 0 या k – 6 = 0
k = 0 या k = 6
k = 0 द्विघात समीकरण में रखने पर 6 = 0 प्राप्त होता है जो कि असम्भव है।
अतः k का सही मान k = 6 ही है।
प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि आयताकार बगिया की लम्बाई = x m
और आयताकार बगिया की चौड़ाई = 2x m
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= [x × 2x] m2
= 2x2 m2
प्रश्नानुसार
2x2 = 800
x2 = 400
x = ±√400
x = ±20
∵ आयताकार की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए x = -20 को छोड़ने पर
∴ x = 20
यहाँ पर x का मान वास्तविक प्राप्त हुआ है।
इस कारण से ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है।
∴ आयताकार बगिया की चौड़ाई = 20 m
और आयताकार बगिया की लम्बाई = (2 × 20) m = 40 m
प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल-
माना कि पहले मित्र की आयु = x वर्ष
और दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
चार वर्ष पूर्व,
पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
और दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) वर्ष = (16 – x) वर्ष
∴ उनका गुणनफल = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x2 – 64 + 4x
= -x2 + 20x – 64
प्रश्नानुसार
-x2 + 20x – 64 = 48
या -x2 + 20x – 64 – 48 = 0
या -x2 + 20x – 112 = 0
या x2 – 20x + 112 = 0 ……(1)
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = -20, c = 112
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-20)2 – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= -48 < 0
∵ मूल वास्तविक नहीं है।
इसलिए, x का कोई मान द्विघात समीकरण (1) को सन्तुष्ट नहीं कर सकता।
अतः दी गई स्थिति सम्भव नहीं है।
प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m2 के |एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि
आयताकार पार्क की लम्बाई = x m
आयताकार पार्क की चौड़ाई = y m
∴ आयताकार पार्क का परिमाप = 2(x + y) m
और आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = xy m2
पहली शर्त के अनुसार,
2(x + y) = 80
x + y = 40
y = 40 – x …..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
xy = 400
x(40 – x) = 400 [∵ (1) का प्रयोग करने पर]
40x – x2 = 400
या 40x – x2 – 400 = 0
x2 – 40x + 400 = 0
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = -40, c = 400
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-40)2 – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600
= 0
अतः इस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।
= 20
जब x = 20, तो (1) से y = 40 – 20 = 20
∴ आयताकार पार्क की लम्बाई और चौड़ाई का माप 20 m के बराबर है।
अतः दी गई आयताकार पार्क का अस्तित्व सम्भव है और यह एक वर्ग है।
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