Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं ? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समान्तर रेखाएँ लिखिए।

हल:

1. आकृति (i) में समलम्ब चतुर्भुज ABCD तथा त्रिभुज DPC एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। इसमें उभयनिष्ठ आधार = DC तथा दोनों समान्तर रेखाएँ क्रमश: DC और AB हैं।
2. आकृति (iii) में समान्तर चतुर्भुज PORS तथा त्रिभुज RTQ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। इसमें उभयनिष्ठ आधार QR तथा दोनों समान्तर रेखाएँ क्रमशः QR और SP हैं।
3. आकृति (v) में समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा दूसरा समान्तर चतुर्भुज APQD एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। इसमें उभयनिष्ठ आधार AD तथा दोनों समान्तर रेखाएँ क्रमश: AD और BQ हैं।

समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 1.
आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार दिए गए समान्तर चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं अतः
AB = DC = 16 cm
तथा AE ⊥ DC (दिया है)

समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= DC × AE
या ar (∥ gm) = आधार × संगत ऊँचाई
= 16 cm. × 8 cm.
= 128 cm²

अब आधार AD तथा ऊँचाई CF के अनुसार समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= AD × CF

या 128 cm = AD × 10 cm.
या AD × 10 cm² = 128 cm²
या AD = 1.28/10 cm.
AD = 12.8 cm.

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = \frac{1}{2}ar (ABCD) है।
हल:
दिया है-एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसमें भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य
बिन्दु क्रमशः E, F, G और H हैं।

समीकरण (i) व (ii) से
GH = EF तथा GH ∥ EF
अतः चतुर्भुज EFGH एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान एवं समान्तर हो तो यह समान्तर चतुर्भुज होता है। अब समान्तर चतुर्भुज ABCD में
AD = BC

प्रश्न 3.
P और Q क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
हल:
दिया है-एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है, जिसकी भुजाओं DC और AD पर दो बिन्दु P तथा Q स्थित हैं।

सिद्ध करना हैar (∆APB) = ar (∆BQC)
रचना – अब हमने P बिन्दु से BC के समान्तर PG तथा Q बिन्दु से DC के समान्तर QH रेखा खींची।
उपपत्ति – चित्रानुसार क्योंकि QC, समान्तर चतुर्भुज QHCD का विकर्ण है ।

प्रश्न 4.
आकृति में, P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = 1/2ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत : P से होकर AB से समान्तर एक रेखा खींचिए।]

हल:
(i) सबसे पहले P बिन्दु से होकर भुजा AB के समान्तर एक रेखा । खींची जो AD को Q बिन्दु पर तथा BC को R बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती है। अब चूँकि ∆APB और समान्तर चतुर्भुज ABRQ एक ही आधार तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB और QR के बीच स्थित हैं।
अतः ar (∆APB) = Tar (समान्तर चतुर्भुज ABRO) ….(i)
तथा चूँकि ∆PCD और समान्तर चतुर्भुज DCRQ एक ही आधार DC तथा एक ही समान्तर रेखाओं DC तथा OR के बीच स्थित हैं

अतः ar (∆PCD) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज DCRQ) …..(ii)

समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर ar (∆APB + ar (∆PCD) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज ABRQ) + 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज DCRQ) 
या ar (∆APB) + ar (∆PCD) = Tar (समान्तर चतुर्भुज ABCD)…..(iii) 

(ii) बिन्दु P से होकर भुजा AD के समान्तर एक रेखा m खींची जो AB को M पर तथा DC को N पर प्रतिच्छेदित करती है। अब चूँकि ∆APD और समान्तर चतुर्भुज ∆MND एक ही आधार AD तथा एक ही समान्तर रेखाओं AD तथा MN के बीच स्थित हैं अतः
ar (∆APD) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज AMND)…..(iv)

तथा चूँकि ∆PBC और समान्तर चतुर्भुज MNCB एक ही आधार BC तथा एक ही समान्तर रेखाओं BC और MN के बीच स्थित हैं।
अतः ar (∆PBC) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज MNCB) …..(v)

समीकरण (iv) व (v) को जोड़ने पर। ar (∆APD) + ar (∆PBC) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज AMND) + 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज MNCB)
या ar (∆APD) + ar (∆PBC) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD) …..(vi)

अब समीकरण (iii) व (vi) से ar (∆APB) + ar (∆PCD) = ar (∆APD) + ar (∆PBC)
या ar (∆APD) + ar (∆PBC) = ar (∆APB) + ar (∆PCD) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
आकृति में, PQRS और ABRS समान्तर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ।
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = 1/2ar (PQRS)

हल:
(i) प्रश्नानुसार समान्तर चतुर्भुज PORS और समान्तर चतुर्भुज ABRS एक ही आधार SR तथा एक ही समान्तर रेखाओं SR और PB के बीच स्थित हैं
अतः ar (समान्तर चतुभुज PQRS) = ar (समान्तर चतुर्भुज ABRS) …..(i)
क्योंकि हम जानते हैं कि एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफलं में आपस में समान होते हैं।

(ii) प्रश्नानुसार ∆AXS और समान्तर चतुर्भुज ABRS एक ही आधार तथा एक ही समान्तर रेखाओं AS और BR के बीच स्थित हैं।
अतः ar (∆AXS) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज ABRS) ……(ii)
समीकरण (i) व (ii) से ar (∆AXS) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज PQRS) (इति सिद्धम् )

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समान्तर चतर्भज PORS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है ? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे? ।
हल:
प्रश्नानुसार PQRS खेत जो कि समान्तर चतुर्भुज के आकार का है, एक किसान के पास था। SR भुजा पर एक A बिन्दु लिया तथा A को बिन्दु P तथा Q से मिला दिया। A बिन्दु को मिलाने पर यह खेत तीन

भागों क्रमश: ∆PAS, ∆APQ तथा ∆AQR में विभाजित हो गया। ये तीनों भाग त्रिभुजाकार हैं। अब हम जानते हैं कि ∆APQ और समान्तर चतुर्भुज PQRS एक ही आधार तथा एक ही समान्तर रेखाओं PQ और SR के बीच स्थित हैं। अतः
ar (∆APQ) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज PQRS)
अर्थात् त्रिभुजाकार भाग APQ, समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप के खेत का आधा भाग है। अतः वह किसान यदि त्रिभुजाकार खेत APQ में गेहूँ बोता है तो दूसरे दो त्रिभुजाकार खेतों क्रमश: PAS तथा AQR में उसे

दालें बोनी पड़ेंगी। या यदि वह त्रिभुजाकार खेत APQ में दालें बोता है तो दूसरे दो त्रिभुजाकार खेतों क्रमश: PAS तथा AQR में उसे निश्चित ही गेहूँ बोना पड़ेगा।

समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ∆ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACE) है।

हल:
प्रश्नानुसार ∆ABC में माध्यिका AD है।
अतः ar (∆ABD) = ar (∆ACD) …..(i)
क्योंकि हम जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

पुनः ∆EBC में ED एक माध्यिका है। 
अतः ar (∆EBD) = ar (∆ECD) …..(ii)

समीकरण ()i में से (ii) को घटाने पर ar (∆ABD) – ar (∆EBD) = ar (∆ACD) – ar (∆ECD)
या ar (∆ABE) = ar (∆ACE) ( इति सिद्धम् )

प्रश्न 2.
∆ABC में, E माध्यिका AD का मध्यबिन्दु है। दर्शाइए कि ar (BED) = 1/4ar (ABC) है।
हल:
दिया है-एक D ABC है जिसमें AD  एक माध्यिका है और E माध्यिका AD का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण | उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल:
माना कि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसके विकर्ण क्रमश: AC तथा BD एक-दूसरे को बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेदित करते हैं । बने हुए ∆ABC तथा ∆ADC में

AB = DC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
BC = AD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
AC = AC (उभयनिष्ठ भुजाएँ)

अतः ∆ABC ≅ ∆CDA (सर्वांगसमता के नियम SSS के अनुसार)
चूँकि हम जानते हैं कि समान्तर चतर्भज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं अतः चित्र में 0 समद्विभाजक बिन्दु होगा। अब A ADC में DO एक माध्यिका है। अतः
ar (∆AOD) = ar (∆COD) …..(i)
क्योंकि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसी प्रकार A ABC में OB एक माध्यिका है। अत:
ar (∆AOB) = ar (∆BOC) …..(ii)
∆AOB तथा ∆AOD में A एक माध्यिका है ।

अतः ar (∆AOB) = ar (∆AOD) …..(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) के आधार पर ar (∆AOB) = ar (∆AOD) = ar (∆BOC) = ar (∆COD)
अर्थात् समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।

प्रश्न 4.
आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB से बिन्दु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।

हल-चित्र में दिए बिन्दु C से CM ⊥ AB तथा D बिन्दु से DN ⊥ AB खींचिए।
अब ∆CMO और ∆CNO में
∠CMO = ∠DNO (प्रत्येक 90°)
∠COM = ∠DON (शीर्षाभिमुख कोण)

तथा OC = OD
(क्योंकि O, CD का मध्य बिन्दु है)

अतः ∆CMO = ∆CNO
(सर्वांगसमता के नियम AAS के अनुसार)

अतः CM = DN …..(i) (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
अब ar (∆ABC) = F × AB × CM …(ii)
ar (∆ADB) = 1 × AB × DN …(iii)

समीकरण (i) का मान (iii) में रखने पर ।
ar (∆ADB) = F × AB × CM….(iv)

अब समीकरण (ii) व (iv) से ar (∆ABC) = ar (∆ADB) (इति सिद्धम् )

प्रश्न 5.
D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = 1/4 ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = 1/2ar (ABC)
हल:
(i) प्रश्नानुसार बिन्दु F तथा E भुजा AB  तथा भुजा AC के मध्य बिन्दु हैं। अतः
FE ∥ BC तथा FE = 1/2BC

क्योंकि त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर तथा उसका आधी होती है।
या FE ∥ BD
[क्योंकि BD, भुजा BC का ही भाग है।] तथा FE = BD
प्रश्नानुसार दिया है कि बिन्दु D भुजा BC का । मध्य बिन्दु है।
∴ BD = 1/2BC
अतः FE = 1/2BC
⇒ FE = BD

अब पुनः बिन्दु D तथा E क्रमश: BC तथा AC भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं। अतः
DE ∥ AB तथा DE = 1/2AB
या DE ∥ BF
[क्योंकि BF भुजा AB का ही भाग है] और DE = BF
∴ बिन्दु F, भुजा AB का मध्य-बिन्दु है अतः
BF = 1/2AB
परन्तु DE = AB

अत: DE = BF
अब FE ∥ BD तथा DE ∥ BF
या FE = BD तथा DE = BF
अत: BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।

(ii) ∵ BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है, अतः ar (∆BDF) = ar (∆DEF). ……..(i)
[क्योंकि समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण इसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।]
DCEF भी एक समान्तर चतुर्भुज है,
अतः ar (∆DEF) = ar (∆DEC) …..(ii)
AEDF भी एक समान्तर चतुर्भुज है,
अतः ar (∆AFE) = ar (∆DEF) …..(iii)

समीकरण (i), (ii) व (iii) से ar (∆DEF) = ar (∆BDF) = ar (∆DEC) = ar (∆AFE)…..(iv)
अब ar (∆ABC) = ar (∆AFE) + ar (∆BDF) + ar (∆DEC) + ar (∆DEF) …..(v)

समीकरण (iv) का प्रयोग (v) में करने पर
या ar (∆ABC) = ar (∆DEF) + ar (∆DEF) + ar (∆DEF) + ar (∆DEF)
या ar (∆ABC) = 4 ar (∆DEF)
या 4 ar (∆DEF) = ar (∆ABC)
या ar (∆DEF) = 1/4ar (∆ABC)…(vi)

(iii) ar (समान्तर चतुर्भुज BDEF)
= ar (∆BDF) + ar (∆DEF) = ar (∆DEF) + ar (∆DEF) [समीकरण (iv) से]
= 2 ar (∆DEF) = 2 × 1/4ar (∆ABC)
[समीकरण (vi) से] अर्थात् ar (समान्तर चतुर्भुज BDEF = 1/2ar (∆ABC)

प्रश्न 6.
आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि

(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA ∥ CB या ABCD एक समान्तर
चतुर्भुज है। [संकेत : D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]
हल:
(i) दिए गए चित्र में बिन्दु B से लम्ब BM ⊥ AC तथा बिन्दु D से लम्ब DN ⊥ AC खींचिए।

अब ∆DON और ∆BOM में
OD = OB (प्रश्नानुसार)
∠DNO = ∠BMO (प्रत्येक 90°)
तथा ∠DON = ∠BON(शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆DON = ∆BOM
(सर्वांगसमता के नियम AAS के अनुसार)

अतः DN = BM (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
तथा ar (∆DON) = ar (∆BOM) …..(i) 
अब ∆DCN और ∆ABM में
∠DNC = ∠BMA (क्योंकि प्रत्येक कोण 90°)
CD = AB (प्रश्नानुसार)
तथा DN = BM (सिद्ध कर चुके हैं)
∆DCN ≅ ∆BAM
(सर्वांगसमता के नियम RHS के अनुसार)

अतः ar (∆DCN) = ar (∆BAM) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर ar (∆DON) + ar (∆DCN) = ar (∆BOM) + ar (∆BAM)
या ar (∆DOC) = ar (∆AOB) …..(iii)

(ii) समीकरण (iii) के अनुसार
ar (∆DOC) = ar (∆AOB)
दोनों पक्षों में ar (∆BOC) जोड़ने पर ar (∆DOC) + ar (∆BOC) = ar (∆AOB) + ar (∆BOC)
या ar (∆DCB) = ar (∆ ACB) …..(iv)

(iii) समीकरण (iv) के अनुसार
ar (∆DCB) = ar (∆ACB) अर्थात् इन दोनों त्रिभुजों का आधार एक ही CB है तथा दोनों एक ही समान्तर रेखाओं CB तथा DA के बीच स्थित हैं।
अत: DA ∥ CB
अब AB = CD तथा DA ∥ CB अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।।

प्रश्न 7.
बिन्दु D और E क्रमशः ∆ABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE ∥ BC है।
हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है कि
ar (∆DBC) = ar (∆EBC)

क्योंकि दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों का | आधार एक ही BC है।
अतः DE ∥ BC
क्योंकि कोई भी दो त्रिभुज जिनका आधार तथा क्षेत्रफल बराबर या समान होता है, एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।

प्रश्न 8.
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समान्तर एक रेखा है। यदि BE ∥ AC और CF ∥ AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि-ar (ABE) = ar (ACF)
हल:
चित्रानुसार क्योंकि ∆ABE तथा समान्तर चतुर्भुज BCYE एक ही आधार BE तथा एक ही समान्तर रेखाओं BE तथा AC के बीच स्थित हैं। अतः

ar (∆ABE) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज BCYE)…..(i)
इसी प्रकार ∆ACF और समान्तर चतुर्भुज BCFX एक ही आधार CF तथा एक ही समान्तर रेखाओं BX और CF के बीच स्थित हैं। अतः

ar (∆ACF) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज BCFX)…..(ii) 
लेकिन समान्तर चतुर्भुज BCYE और समान्तर चतुर्भुज BCFX एक ही आधार BC और एक ही समान्तर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित हैं। 

अतः ar (समान्तर चतुर्भुज BCYE) = ar (समान्तर चतुर्भुज) BCFX) …..(iii) 
समीकरण (i), (ii) व (iii) से 
ar (∆ABE) = ar (∆ACF)

प्रश्न 9.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है।A से होकर CP के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समान्तर चतुर्भुज PBOR को पूरा किया गया है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ar (ABCD) = ar (PBQR) है।

[संकेत : AC और PQ को मिलाइए। अब ar (ACQ) और ar (APQ) की तुलना कीजिए।]
हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है कि ABCD और PBQR समान्तर चतुर्भुज हैं तथा CP ∥ AQ।
अब क्योंकि ∆ACQ और ∆APQ एक ही आधार AQ तथा एक ही समान्तर रेखाओं AQ और CP के बीच स्थित हैं।

अतः ar (∆ACQ) = ar (∆APQ)
दोनों पक्षों में से ar (∆ABQ) घटाने पर ar (∆ACQ) – ar (∆ABQ) = ar (∆APQ) – ar (∆ABQ)

या ar (∆ACB) = ar (∆PBQ)
या 1212ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = 1/2ar (समान्तर चतुर्भुज PBQR)
क्योंकि हम जानते हैं कि विकर्ण चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। अर्थात् त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

अर्थात् ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = ar (समान्तर चतुर्भुज PBQR)

प्रश्न 10.
एक समलम्ब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।
हल:
प्रश्नानुसार एवं चित्रानुसार अवलोकन करने पर हम देखते हैं कि ∆ABD और ∆ABC एक ही आधार AB और एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा DC के बीच स्थित हैं।

अतः ar (∆ABD) = ar (∆ABC)
उपर्युक्त दोनों पक्षों में से ar (∆AOB) को घटाने पर ar (∆ABD) – ar (∆AOB) = ar (∆ABC) – ar (∆AOB)
या ar (∆AOD) = ar (∆BOC)

प्रश्न 11.
आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई। DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)

हल:
(i) प्रश्नानुसार दिया गया है कि BF ∥ AC तथा ∆ACB और ∆ACF एक ही आधार AC तथा एक ही समान्तर रेखाओं AC तथा BF के बीच स्थित हैं। अतः
ar (∆ACB) = ar (∆ACF) …..(1)

(ii) अब ar (ABCDE) = ar (समलम्ब चतुर्भुज AEDC) + ar (∆ABC) …..(2)
समीकरण (1) का प्रयोग (2) में करने पर
ar (ABCDE) = ar (समलम्ब चतुर्भुज AEDC) + ar (∆ACF) = ar (समलम्ब चतुर्भुज AEDC) + ar (∆ACF)
= ar (चतुर्भुज AEDF)
या ar (AEDF) = ar (ABCDE)

प्रश्न 12.
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि इसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल:
माना कि इतवारी के पास PQRS एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड था। भुजा PQ को T बिन्दु तक बढ़ाइए। QS को मिलाइए तथा RT ∥ QS खींची।

चित्रानुसार क्योंकि ∆QSR और ∆QST एक ही आधार QS तथा एक ही समान्तर रेखाओं QS तथा RT के बीच स्थित हैं
अतः ar (∆QSR) = ar (∆QST)

उपर्युक्त में दोनों ओर ar (∆PQS) जोड़ने पर ar (∆PQS) + ar (∆QSR) = ar (∆PQS) + ar (∆QST)
या ar (PQRS) = ar (∆PTS)

अतः स्वास्थ्य केन्द्र के लिए दिया गया भूखण्ड = ar (∆RSO)
उक्त भूखण्ड के बदले इतवारी को मिला भूखण्ड = ar (∆QTO)

प्रश्न 13.
ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB ∥ DC है। AC के समान्तर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
[संकेत : CX को मिलाइए।] 
हल:
प्रश्नानुसार एवं चित्रानुसार CX को मिलाया। अब ∆ADX और ∆ACX एक ही आधार XA पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित हैं। अतः
ar (∆ADX) = ar (∆ACX) …..(i)

साथ ही ∆ACX तथा ∆ACY एक ही आधार AC तथा एक ही समान्तर रेखाओं AC और XY के बीच स्थित है।

अतः ar (∆ACX) = ar (∆ACY) …..(ii)
समीकरण () व (ii) से ar (∆ADX) = ar (∆ACY) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 14.
आकृति में, AP ∥ BQ ∥ CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।

हल:
चित्रानुसार हम देख सकते हैं कि ∆ABQ और ∆BPQ एक ही आधार BQ तथा एक ही समान्तर रेखाओं AP तथा BQ के बीच स्थित हैं।
अतः ar (∆ABQ) = ar (∆BPQ) …..(i)
इसी प्रकार ∆BQC और ∆BQR एक ही आधार BQ तथा एक ही समान्तर रेखाओं BQ तथा CR के बीच स्थित हैं। अतः
ar (∆BQC) = ar (∆BQR) …..(ii)

समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर। ar (∆ABQ) + ar (∆BQC) = ar (∆BPQ) + ar (∆BQR)
या ar (∆AQC) = ar (∆PBR) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 15.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु 0 पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब है।
हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है कि
ar (D AOD) = ar (D BOC) …..(i)

समीकरण (i) के दोनों पक्षों में ar (∆AOB) जोड़ने पर ar (∆AOD) + ar (∆AOB) = ar (∆BOC) + ar (∆AOB)
या ar (∆ABD) = ar (∆ABC)
क्योंकि हम जानते हैं कि यदि कोई दो त्रिभुज समान क्षेत्रफल तथा एक ही आधार पर स्थित हों, तो वे एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
चित्रानुसार ∆ABD और ∆ABC एक ही आधार AB पर स्थित हैं और इनके क्षेत्रफल भी समान हैं अतः ये एक ही समान्तर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित हैं।

अर्थात् AB ∥ DC
अब चतुर्भुज ABCD में AB ∥ DC
अत: ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है क्योंकि | समलम्ब में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।

प्रश्न 16.
आकृति में ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलम्ब हैं।

हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है कि ∆DRC तथा ∆DPC एक ही आधार DC पर स्थित हैं
तथा ar (∆DRC) = ar (∆DPC) …..(i)

अतः DC ∥ RP क्योंकि हम जानते हैं कि समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
अब चतुर्भुज DCPR में DC ∥ RP
अत: DCRP एक समलम्ब चतुर्भुज है। साथ ही यह भी दिया गया है कि
ar (∆BDP) = ar (∆ARC) …..(ii)

समीकरण (i) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता
ar (∆DPC) = ar (∆DRC) …..(iii)

समीकरण (iii) को समीकरण (ii) में से घटाने पर ar (∆BDP) – ar (∆DPC) = ar (∆ARC) – ar (∆DRC)
या ar (∆BDC) = ar (∆ADC).
चूँकि हम जानते हैं कि यदि समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं ।

यहाँ इस प्रश्न में भी ∆BDC
तथा ∆ADC समान क्षेत्रफल के तथा एक ही आधार पर स्थित हैं DC पर अतः AB ∥ DC
अब चतुर्भुज ABCD में AB ∥ DC
अत: ABCD एक समलम्ब है।

समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
हल:
दिया है-एक समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा आयत ABEF एक ही आधार तथा एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
अतः ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = ar (आयत ABEF)

सिद्ध करना है-AB + BC + CD + AD > AB + BE + EF + AF
उपपत्ति – हम जानते हैं कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं अतः
AB = CD …..(i)
तथा AB = EF …..(ii)

समीकरण (i) व (ii) से
CD = EF …..(iii)

समीकरण (iii) के दोनों पक्षों में AB जोड़ने पर
AB + CD = AB + EF …..(iv)

हम जानते हैं कि किसी बिन्दु से जो दी हुई रेखा पर स्थित नहीं है, रेखा तक खींचे गए सभी रेखाखण्डों में से लाम्बिक रेखाखण्ड सबसे छोटा होता है।
BE < BC तथा AF < AD
या BC > BE
तथा AD > AF
BC + AD > BE + AF …..(v)
अब समीकरण (iv) व (v) से। AB + BC + CD + AD > AB + BE + EF + AF (इति सिद्धम्)

प्रश्न 2.
आकृति में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।

क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की ‘भूमिका’ में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है”?
हल:
प्रश्नानुसार एवं चित्रानुसार यह देखा जा सकता है कि दिए गए ∆ABC में बिन्दु D और E, भुजा BC को तीन बराबर भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि
BD = DE = EC

अब समीकरण (ii), (iii) व (iv) से ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆AEC)
(इति सिद्धम्) [टिप्पणी-ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से ∆ABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिन्दुओं को सम्मुख शीर्षA से मिलाकर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]

प्रश्न 3.
आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।

हल:
चूँकि हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। अतः समान्तर चतुर्भुज ABFE में
AE = BF और AB = EF इसी प्रकार समान्तर चतुर्भुज DCFE में ।
DE = CF और DC = EF तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD में
AD = BC और AB = DC अब AADE तथा A BCF में
AE = BF [क्योंकि ये समान्तर चतुर्भुज ABFE की सम्मुख भुजाएँ हैं।]
DE = CF [क्योंकि ये समान्तर चतुर्भुज DCFE की सम्मुख भुजाएँ हैं।]

तथा AD = BC [क्योंकि ये भी समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ हैं।]
अतः ∆ADE = ∆BCF [सर्वांगसमता के नियम SSS के अनुसार]
अतः ar (∆ADE) = ar (∆BCF)
क्योंकि दो सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव समान होता है।

प्रश्न 4.
आकृति में, ABCD. A एक समान्तर चतुर्भुज है और BC को एक बिन्दु तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ DA है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPQ) है।

[संकेत : AC को मिलाइए।]
हल:
दिए गए चित्र में बिन्दु A को C से मिलाया। अब चूँकि ∆APC तथा ∆BPC एक ही आधार PC तथा एक ही समान्तर रेखाओं PC तथा AB के बीच स्थित हैं। अतः
ar (∆APC) = ar (∆BPC) …..(i)
चित्रानुसार एवं प्रश्नानुसार ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

अतः AD = BC (क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।)
BC = CQ (दिया है)
AD = CQ

अब AD ∥ CQ (क्योंकि CQ, बढ़ाई गई BC है)
AD = CQ

∴ ADQC एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर हो, तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है।
पुनः क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एकदूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अतः AP = PQ और CP = DP 
अब ∆APC तथा ∆DPQ से
AP = PQ (सिद्ध कर चुके हैं)
∠APC = ∠DPQ (शीर्षाभिमुख कोण)
तथा PC = PD(सिद्ध कर चुके हैं)
∴ ∆APC ≅ ∆DPQ ……(ii)
अर्थात् ar (∆APC) = ar (∆DPQ) (क्योंकि सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव समान होता है।)

अब समीकरण (i) व (ii) से ar (∆BPC) = ar (∆DPQ) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
आकृति में, ABC और BDE दो समबाह – त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि


[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE ∥ AC और DE ∥ AB है, इत्यादि।]
हल:
चित्रानुसार EC और AD को मिलाया। चूँकि AABC एक समबाहु त्रिभुज है,
अतः ∠A = ∠B = ∠C = 60°

तथा A BDE भी एक समबाहु त्रिभुज है अतः
∠B = ∠D = ∠E = 60°

यदि हम यह मान लें कि AC तथा BE दो रेखाएँ हैं तथा BC एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है तो
∠B = ∠C = 60° (एकान्तर कोण)

अर्थात् BE ∥ AC
क्योंकि यदि एकान्तर कोण बराबर होते हैं तो रेखाएँ समान्तर होती हैं।

इसी प्रकार यदि AB तथा DE दो रेखाएँ हैं
तथा BF एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है तो
∠B = ∠D = 60° (एकान्तर कोण)

क्योंकि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
BE ∥ AC

अतः ∆BEC और ∆BAE एक ही आधार BE तथा एक ही समान्तर रेखाओं BE तथा AC के बीच स्थित हैं।
∴ ar (∆BEC) = ar (∆BAE) …..(iv) 

(iv) ∴ ∠BDE = ∠ABD = 60° (दिया है) परन्तु ये एकान्तर कोणों का युग्म है।
AB ∥ DE
अब ∆BDE और ∆ADE एक ही आधार DE तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं

अतः ar (∆BDE) = ar (∆ADE)
दोनों पक्षों में से ar (∆FED) घटाने पर ar (∆BDE) – ar (∆FED) = ar (∆ADE) – ar (∆FED)
या ar (∆BFE) = ar (∆AFD)

(v) ∆BDE तथा ∆AED एक ही आधार DE तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा ED के बीच स्थित हैं

अतः ar (∆BDE) = ar (∆AED) दोनों पक्षों में से ar (∆FED) को घटाने पर ar (∆BDE) – ar (∆FED) = ar (∆AED) – ar (∆FED)
या ar (∆BFE) = ar (∆AFD) …..(v)
एक समबाहु त्रिभुज में खींची गई माध्यिका भुजा पर लम्ब होती है।

अत: AD ⊥ BC
क्योंकि AD भुजा ∆ABC की माध्यिका है।

अत: ar (∆AFD) = 1/2 × FD × AD …..(vi)
अब BC भुजा पर E बिन्दु से एक लम्ब रेखा EG खींची

अर्थात् EG ⊥ BC
∴ ar (∆FED) = 1/2 × FD × EG …..(vii)

समीकरण (vi) में समीकरण (vii) का भाग देने पर

(क्योंकि भुजा BC का मध्य-बिन्दु D है)

या ar (∆AED) = 2 ar (∆FED) …..(viii)

अब समीकरण (v) व (viii) से
ar (∆BFE) = 2 ar (∆FED) (इति सिद्धम्) (vi)
ar (∆AFC) = ar (∆AFD) + ar (∆ADC) = 2 ar (∆FED) + 1/2ar (∆ABC) [समीकरण (viii) का प्रयोग करने पर
हम यह भी जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

अतः ar (∆AFC) = 2 ar (∆FED) + [4 ar (A BDE)] [भाग (i) के परिणाम से]
= 2 ar (∆FED) + 2 ar (∆BDE) = 2 ar (∆FED) + 2 ar (∆AED)
क्योंकि ∆BDE तथा ∆AED एक ही आधार ED तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा DE के बीच स्थित हैं।]
= 2 ar (∆FED) + 2 [ar (∆AFD) + ar (∆FED)]
= 2 ar (∆FED) + 2 ar (∆AFD) + 2 ar (∆FED)
= 4 ar (∆FED) + 2 [2 ar (∆FED)] [समीकरण (viii) से]
= 4 ar (∆ FED) + 4 ar (∆FED)

या ar (∆AFC) = 8 ar (A FED)
या 8 ar (∆FED) = ar (∆AFC)
या ar (∆FED) = 1/8ar (∆AFC) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
[संकेत : A और C से BD पर लम्ब खींचिए।]
हल:
दिया है-एक चतुर्भुज ABCD है जिसमें विकर्ण क्रमश: AC तथा BD परस्पर P बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है-ar (∆APB) × ar (∆CPD) = ar (∆APD) × ar (BPC)

रचना-चित्रानुसार बिन्दु A से AM ⊥ BD
तथा बिन्दु C से CN ⊥ BD खींची। उपपत्ति

समीकरण (ii) में (i) से भाग देने पर

या ar (∆APD) × ar (∆BPC) = ar (∆ABP) × ar (∆CDP) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 7.
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि

(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
हल:
(i) प्रश्नानुसार ∆ABC में बिन्दु P तथा Q क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं। AQ तथा FC को मिलाइए। A ABQ की माध्यिका QR है।

अब समीकरण (ix) व (x) के अनुसार
ar (∆PBQ) = ar (∆ARC) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 8.
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि
(i) ∆MBC ≅ ∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ∆FCB ≅ ∆ACE

(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
हल:
(i) प्रश्नानुसार दिए गए चित्र में ∆MBC और ∆ABD में 
BC = BD [वर्ग BCED की भुजाएँ]
∠MBC = ∠ABD (क्योंकि प्रत्येक 90° + ∠ABC)
तथा MB = AB [वर्ग ABMN की भुजाएँ]

अतः ∆MBC ≅ ∆ABD (सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार) (इति सिद्धम् )

(ii) अब AABD और आयत BYXD एक ही आधार BD और एक ही समान्तर रेखाओं BD और AX _के बीच स्थित हैं। अतः

(iii) अब A MBC और वर्ग ABMN एक ही आधार MB और एक ही समान्तर रेखाओं MB तथा NC के बीच स्थित हैं। अतः .

समीकरण (i) व (ii) से
ar (BYXD) = ar (ABMN) (इति सिद्धम् )

(iv) अब ∆FCB तथा ∆ACE में
CB = CE [वर्ग BCED की भुजाएँ]
∠FCB = ∠ACE (क्योंकि प्रत्येक कोण 90° + ∠BCA)

तथा FC = AC [वर्ग ACFG की भुजाएँ]
अतः ∆FCB = ∆ACE (सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार) (इति सिद्धम् )

(v) चित्रानुसार ∆ACE और वर्ग CYXE एक ही आधार CE और एक ही समान्तर रेखाओं CE तथा AX के बीच स्थित हैं अतः

या ar (CYXE) = 2 ar (A FCB) (इति सिद्धम्)

(vi) वर्ग ∆CFG और ∆BCF एक ही आधार CF और एक ही समान्तर रेखाओं CF और BG के बीच स्थित हैं

(vii) भाग (iii) और (iv) से
ar (BYXD) = ar (AMBN) और ar (CYXE) = ar (ACFG) जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (BYXD) + ar (CYXE) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
या ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG) (इति सिद्धम् )

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल, Study Learner