RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 95-96

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं और उनके वर्गों के बारे में विचार कीजिए –
क्या आप इसे पूरा कर सकते हैं?

उपर्युक्त सारणी से क्या आप 1 से 100 के बीच की वर्ग संख्याओं को लिख सकते हैं? क्या 100 तक कोई प्राकृत वर्ग संख्या छूट गई है?
हल:
सारणी को पूरा करना –

1 से 100 के बीच वर्ग संख्याएँ 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81 हैं।
हाँ, 100 तक दो प्राकृत वर्ग संख्याएँ छूट गई हैं। ये प्राकृत वर्ग संख्याएँ 1 और 100 हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 96

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.1)

प्रश्न 1.
दी गई संख्याओं के बीच की पूर्ण वर्ग संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

1. 30 और 40
2. 50 और 60

हल:
1. ∴ 5 x 5 = 25; 6 x 6 = 36; 7×7 = 49.
∴ 30 और 40 के बीच अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या 36 है।

2. ∴ 7 x 7 = 49; 8 x 8 = 64
∴ 50 और 60 के बीच कोई भी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं

वर्ग संख्याओं के गुणधर्म

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में 1 से 20 तक की वर्ग संख्याओं को दिखाया गया है।

उपर्युक्त सारणी में वर्ग संख्याओं का अध्ययन कीजिए। वर्ग संख्याओं का अन्तिम अंक (यानी वर्ग संख्याओं के इकाई स्थान का अंक) क्या है?
क्या हम कह सकते हैं कि यदि एक संख्या 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती है, तो वह एक वर्ग संख्या होगी? इस बारे में सोचिए।
हल:
वर्ग संख्याओं का अन्तिम अंक या तो 0, 1, 4, 5, 6 है या 9 है। और इनमें से किसी भी संख्या के वर्ग का अन्तिम अंक 2, 3, 7 या 8 नहीं है।

हम यह नहीं कह सकते हैं कि यदि एक संख्या 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती है, तो वह एक वर्ग संख्या ही होगी। वास्तव में जिन संख्याओं के अन्तिम अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हैं वे संख्याएँ वर्ग हो भी सकती है और वर्ग नहीं भी हो सकती हैं। जैसे-10, 11, 14, 15, 19, 21, 24, 29 इत्यादि वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 97

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.2)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि निम्न संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं? हम कैसे जानते हैं?

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222
5. 1069
6. 2061.

पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप बता सकें कि ये संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।
हल:
संख्याओं –

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222 अन्तिम अंक अर्थात् इकाई स्थान के अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 नहीं हैं। अतः ये पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं।
5. चूँकि संख्या 1069 का अन्तिम अंक 9 है। अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग हो भी सकती है और पूर्ण वर्ग नहीं भी हो सकती है।
   ∴ 32² = 32 x 32 = 1024 और 33² = 33 x 33 = 1089
   ∴ 1069 पूर्ण वर्ग नहीं है।
6. चूँकि संख्या 2061 का अन्तिम अंक 1 है, अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग हो भी सकती है। और नहीं भी हो सकती है।
   ∴ 45² = 45 x 45 = 2025 और 46² = 46 x 46 = 2116
   ∴ 2061 पूर्ण वर्ग नहीं है।

22, 33, 57, 268 और 193 ऐसी संख्याएँ हैं जिनके इकाई स्थान को देखकर हम बता सकते हैं कि ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

प्रश्न 2.
पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप नहीं बता सकते कि वे वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं।
हल:
संख्याएँ 1331, 2744, 3375, 17576 एवं 24389 ऐसी संख्याएँ हैं जिनके इकाई स्थान को देखकर यह नहीं कहा जा सकता है कि ये वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित वर्ग संख्याएँ अंक 1 पर समाप्त होती है –

इनके अलावा अगली दो वर्ग संख्याएँ लिखिए जो 1 पर उनकी संगत संख्याओं पर समाप्त होती हैं।
हल:
अगली दो वर्ग संख्याएँ 841 और 961 हैं जो 1 पर समाप्त होती हैं। इनकी संगत संख्याएँ क्रमशः 29 और 31 हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.3)

प्रश्न 1.
123², 77², 82², 161², 109² में से कौन-सी संख्या अंक 1 पर समाप्त होगी?
हल:
∴ जिन संख्याओं के इकाई स्थान पर 1 या 9 अंक होते हैं, उन संख्याओं के वर्ग 1 पर समाप्त होते हैं।
अतः 161² और 109² अंक 1 पर समाप्त होंगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 98

प्रश्न 1.
क्या आप इस प्रकार के कुछ और नियम, सारणी में लिखी गई संख्याओं एवं उनके वर्गों के अवलोकन से ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
हाँ, जो संख्याएँ 0 और 5 पर समाप्त होती हैं, उन संख्याओं के वर्ग क्रमशः 0 और 5 पर ही समाप्त होंगे।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याओं के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा –

1. 19²
2. 24²
3. 26²
4. 36²
5. 34².

हल:
वे संख्याएँ जिनके इकाई स्थान पर 4 या 6 अंक होता है, उन संख्याओं के वर्गों के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा।

1. (i) चूँकि संख्या 19 के इकाई स्थान पर 4 या 6 नहीं है, अतः 19² के इकाई स्थान पर 6 अंक नहीं होगा।
2. अब चूँकि संख्याएँ (ii) 24 और (v) 34, अंक 4 पर समाप्त होती हैं, अतः इनके वर्गों के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा।
3. इसी प्रकार संख्याएँ (iii) 26 और (iv) 36, अंक 6 पर समाप्त होती हैं, अतः इनके वर्गों के इकाई स्थान पर, अंक 6 होगा।
4. इस प्रकार, (ii) 24², (ii) 26², (iv) 36², (v) 34² के इकाई स्थान पर अंक 6 होगा।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.4)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग करने पर उनके इकाई स्थान पर क्या होगा?

1. 1234
2. 26387
3. 52698
4. 99880
5. 21222
6. 9106

हल:

1. संख्या 1234 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 6 होगा।
2. संख्या 26387 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 9 होगा।
3. संख्या 52698 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 4 होगा।
4. संख्या 99880 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 0 होगा।
5. संख्या 21222 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 4 होगा।
6. संख्या 9106 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 6 होगा।

प्रश्न 1.
यदि एक संख्या के अन्त में तीन शून्य हों, तो उसके वर्ग में कितने शून्य होंगे? क्या आपने, संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या और उसके वर्ग के अन्त में शून्यों की संख्या पर ध्यान दिया?
हल:
उस संख्या के वर्ग में छह शून्य होंगे। हाँ, हमने वर्ग के अन्त में शून्यों की संख्या पर ध्यान दिया है। जिस संख्या के अन्त में जितने शून्य होते हैं, उस संख्या के वर्ग के अन्त में उससे दुगुने शून्य होते हैं।

प्रश्न 2.
क्या आप कह सकते हैं कि वर्ग संख्याओं के अन्त में शून्यों की संख्या केवल सम संख्या होती है।
हल:
हाँ, हम यह कह सकते हैं कि वर्ग संख्याओं के अन्त में शून्यों की संख्या केवल सम संख्या होती है।

प्रश्न 3.
संख्या और उनके वर्गों के लिए सारणी 1(वर्ग संख्याओं के गुणधर्म) देखिए। सम संख्याओं के वर्गों एवं विषम संख्याओं के वर्गों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
हल:
सारणी 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि –

1. सम संख्याओं के वर्ग सदैव सम होते हैं।
2. विषम संख्याओं के वर्ग सदैव विषम होते हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.5)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किन संख्याओं के वर्ग विषम संख्या/सम संख्या होंगे? क्यों?

1. 727
2. 158
3. 269
4. 1980

हल:

1. ∴ संख्या 727 एक विषम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगी।
2. ∴ संख्या 158 एक सम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग सम संख्या होगी।
3. ∴ संख्या 269 एक विषम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगी।
4. ∴ संख्या 1980 एक सम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग सम संख्या होगी।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग में शून्यों की संख्या क्या होगी?

1. 60
2. 400

हल:

1. संख्या 602 में दो शून्य होंगे।
2. संख्या 4002 में चार शून्य होंगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 100

प्रश्न 1.
क्या तुम कह सकते हो कि 6² और 7² के बीच कितनी संख्याएँ हैं?
हल:
हाँ, 6² और 7² के बीच में 2 x 6 = 12 संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.6)

प्रश्न 1.
9² और 10² के बीच कितनी प्राकृत संख्याएँ हैं? 11² और 12² के बीच भी प्राकृत संख्याओं की संख्या बताइए।
हल:
9² और 10² के बीच प्राकृत संख्या = 2 x 9 = 18
अतः 9² और 10² के बीच 18 प्राकृत संख्याएँ हैं।
11² और 12² के बीच 2 x 11 = 22 प्राकृत संख्याएँ हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के युग्मों के बीच की संख्या बताइए जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं –

1. 100² और 101²
2. 90² और 91²
3. 1000 ² और 1001².

हल:

1. 100² और 101² के बीच में 2 x 100 = 200 संख्याएँ हैं, जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
2. 90² और 91² के बीच में 2 x 90 = 180 संख्याएँ हैं, जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
3. 1000² और 1001² के बीच में 2 x 1000 = 2000 संख्याएँ हैं, जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 101

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.7)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक पूर्ण वर्ग । संख्याएँ हैं या नहीं?

1. 121
2. 55
3. 81
4. 49
5. 69.

हल:
1. दी हुई संख्या 121 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 व 21 घटाने पर,

• 121 – 1 = 120
• 120 – 3 = 117
• 117 – 5 = 112
• 112 – 7 = 105
• 105 – 9 = 96
• 96 – 11 = 85
• 85 – 13 = 72
• 72 – 15 = 57
• 57 – 17 = 40
• 40 – 19 = 21
• 21 – 21 = 0.

अर्थात् यहाँ 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21; 121 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं।
∴ 121 पूर्ण वर्ग संख्या है।

2. दी हुई संख्या 55 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, __11, 13 व 15 घटाने पर,

• 55 – 1 = 54
• 54 – 3 = 51
• 51 – 5 = 46
• 46 – 7 = 39
• 39 – 9 = 30
• 30 – 11 = 19
• 19 – 13 = 6
• 6 – 15 = – 9.

यह दर्शाता है कि हम 55 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिख सकते हैं।
∴ 55 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

2. दी हुई संख्या 81 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 घटाने पर,

• 81 – 1 = 80
• 80 – 3 = 77
• 77 – 5 = 72
• 72 – 7 = 65
• 65 – 9 = 56
• 56 – 11 = 45
• 45 – 13 = 32
• 32 – 15 = 17
• 17 – 17 = 0

अर्थात् यहाँ 81 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
∴ 81 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं। अतः 81 पूर्ण वर्ग संख्या है।

4. यहाँ दी हुई संख्या 49 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7,9, 11, 13 घटाने पर,

• 49 – 1 = 48
• 48 – 3 = 45
• 45 – 5 = 40
• 40 – 7 = 33
• 33 – 9 = 24
• 24 – 11 = 13
• 13 – 13 = 0

अर्थात् 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
49 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं।
∴ 49 पूर्ण वर्ग संख्या है।

5. यहाँ, दी हुई संख्या = 69 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 घटाने पर,

• 69 – 1 = 68
• 68 – 3 = 65
• 65 – 5 = 60
• 60 – 7 = 53
• 53 – 9 = 44
• 44 – 11 = 33
• 33 – 13 = 20
• 20 – 15 = 5
• 5 – 17 = -12

यह दर्शाता है कि हम 69 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिख सकते हैं।
∴ 69 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.8)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को दो क्रमागत पूर्णांकों के योग के रूप में लिखिए –

1. 21²
2. 13²
3. 11²
4. 19².

हल:
हम किसी भी विषम संख्या के वर्ग को दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

प्रश्न 2.
क्या आप सोचते हैं कि इसका विलोम सत्य है अर्थात् क्या दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग एक पूर्ण वर्ग होता है? अपने उत्तर के पक्ष में अपने एक उदाहरण दीजिए।
हल:
इसका विलोम सत्य नहीं हैं। दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्ण वर्ग नहीं होता है।
उदाहरणार्थ – 11 + 12 = 23.

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 102

वर्ग संख्याओं के कुछ और प्रतिरूप प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.9)

प्रश्न 1.
उपरोक्त प्रतिरूप का उपयोग करते हुए वर्ग संख्याएँ लिखिए –

1. 111111²
2. 1111111².

हल:
दिए हुए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए –

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.10)

प्रश्न 1.
उपर्युक्त प्रतिरूप का उपयोग करते हुए क्या आप निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कर सकते हैं?

1. 6666667²
2. 66666667²

हल:
प्रतिरूप

वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?

1. 81
2. 272
3. 799
4. 3853
5. 1234
6. 26387
7. 52698
8. 99880
9. 12796
10. 55555

उत्तर:
संख्याओं के वर्गों के इकाई अंक –

1. 1
2. 4
3. 1
4. 9
5. 6
6. 9
7. 4
8. 0
9. 6
10. 5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए –

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222
5. 64000
6. 89722
7. 222000
8. 505050.

हल:
(a) ऐसी संख्या जो 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त होती है, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती।
(b) ऐसी संख्या जिनके अन्त में विषम शून्य हों, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती।

1. दी हुई संख्या 1057, 7 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
2. दी हुई संख्या 23453, 3 पर समाप्त होती है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
3. दी हुई संख्या 7928, 8 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
4. दी हुई संख्या 222222, 2 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
5. दी हुई संख्या 64000 के अन्त में विषम संख्या में शून्य हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
6. दी हुई संख्या 89722, 2 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
7. दी हुई संख्या 222000 में विषम संख्या में शून्य हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
8. दी हुई संख्या 505050 के अन्त में विषम संख्या में शून्य है। अत: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?

1. 431
2. 2826
3. 7779
4. 82004.

हल:
संख्याओं (1) 431 एवं (3) 7779 का वर्ग विषम संख्या होगा।

प्रश्न 4.
निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए –

हल:

प्रश्न 5.
निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए –

हल:

प्रश्न 6.
दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए –

• 1² + 2² + 2² = 3²
• 2² + 3² + 6² =7²
• 3² + 4² + 12² = 13²
• 4² + 5² + …..² = 21²
• 5² + …² + 30² = 31²
• 6² + 7² + …..² = ……²

हल:
लुप्त संख्याएँ निम्नलिखित हैं –

• 4² + 5² + 20² = 21²
• 5² + 6² + 30² = 31²
• 6² + 7² + 42² = 43³

प्रतिरूप प्राप्त कीजिए –

तीसरी संख्या पहली और दूसरी से सम्बन्धित है। कैसे? चौथी संख्या तीसरी संख्या से सम्बन्धित है। कैसे?

• (1 x 2)² = 2² – (2 + 1)² = 3²
• (2 x 3)² = 6² – (6 + 1)² = 7²
• (3 x 4)² = 12² – (12 + 1)² = 13²
• (4 x 5)² = 20² – (20 + 1)² = 21²
• (5 x 6)² = 30² – (30 + 1)² = 31²
• (6 x 7)² = 42² – (42 + 1)² = 43²

प्रश्न 7.
योगसंक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए –

1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9
2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23.

हल:
1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = प्रथम पाँच विषम संख्याओं का योग
= 5² = 25

2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग
= 10² = 100

3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = प्रथम 12 विषम संख्याओं का योग
= 122 = 144

प्रश्न 8.

1. 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
2. 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।

हल:

1. 49 = 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
2. 121 = 11² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?

1. 12 और 13
2. 25 और 26
3. 99 और 100

हल:

1. 12² और 13² के बीच में संख्याएँ = 2 x 12 = 24
2. 25² और 26² के बीच में संख्याएँ = 2 x 25 = 50
3. 99² और 100² के बीच में संख्याएँ = 2 x 99 = 198

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 104

प्रश्न 1.
अब क्या आप 95 का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं?
हल:
हाँ, 95² = (9 x 10) सैकड़े + 25
= 9000 + 25 = 9025

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.11)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए जिनके इकाई अंक 5 हैं –

1. 15
2. 95
3. 105
4. 205

हल:
1. 15² = (1 x 2) सैकड़े + 25
= 200 + 25 = 225

2. 95² = (9 x 10) सैकड़े + 25
= 9000 + 25 = 9025

3. 105² = (10 x 11) सैकड़े + 25
= 11000 + 25 = 11025

4. 205² = (20 x 21) सैकड़े + 25
= 42000 + 25 = 42025

पाइथागोरस त्रिक

प्रश्न 1.
आप इस प्रकार के कुछ और त्रिक प्राप्त कर सकते हैं?
किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए हम पाते हैं (2m)² + (m² – 1²) = (m² + 1²)
अत: 2m, m² – 1 और m + 1 पाइथागोरस त्रिक के रूप में हैं।
इस रूप का उपयोग करते हुए कुछ और पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए।
हल:
हाँ, इस नियम का उपयोग करते हुए कुछ और त्रिक प्राप्त कर सकते हैं।
किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, हम 2m, m² – 1 और m² + 1 पाइथागोरस त्रिक प्राप्त करते हैं।
कुछ पाइथागोरस त्रिक निम्न हैं –

1. 8, 15, 17
2. 18, 80, 82
3. 14,48, 50 इत्यादि।

वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए –

1. 32
2. 35
3. 86
4. 93
5. 71
6. 46.

हल:
1. 32² = (30 + 2)² = (30 + 2) (30 + 2)
= 30 (30 + 2) + 2 (30 + 2)
= 30² + 30 x 2 + 2 x 30 + 2²
= 900 + 60 + 60 +4
अतः 32² = 1024

2. 35² = (30 + 5)² + (30 + 5) (30 + 5)
= 30 (30 + 5) + 5 (30+ 5)
= 30² + 30 x 5 + 5 x 30 + 5²
= 900 + 150 + 150 + 25
अतः 35² = 1225

3. 86² = (80 + 6)² = (80 + 6) (80 + 6)
= 80 (80 + 6) + 6 (80 + 6)
= 80² + 80 x 6 + 6 x 80 + 6²
= 6400 + 480 + 480 + 36
अतः 86² = 9396

4. 93² = (90 + 3)² = (90 + 3) (90 + 3)
= 90 (90 + 3)+ 3 (90 +3)
= 90² + 90 x 3 + 3 x 90 + 3²
= 8100 + 270 + 270 + 9
अतः 93² = 8649

5. 71² = (70 + 1)² = (70 + 1) (70 + 1)
= 70 (70 + 1) + 1 (70 + 1)
= 70² + 70 x 1 + 1 x 70 + 12
= 4900 + 70 + 70 + 1
अतः 71² = 5041

6. 46² = (40 + 6) = (40 + 6) (40 + 6)
= 40 (40 + 6) + 6 (40 + 6)
= 40² + 40 x 6 + 6 x 40 + 62
= 1600 + 240 + 240 + 36
अतः 46² = 2116

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य

1. 6
2. 14
3. 16
4. 18

हल:
1. m = 3 रखने पर,
2m = 6, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8
और m² + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10
अतः पाइथागोरस त्रिक = 6, 8 और 10 हैं।

2. m = 7 रखने पर,
2m = 14, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
और m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
अतः पाइथागोरस त्रिक = 14, 48 और 50 हैं।

3. m = 8 रखने पर,
2m = 16, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
और m² + 1 = 82 + 1 = 64 + 1 = 65
अंतः पाइथागोरस त्रिक = 16, 63 और 65 हैं।

5. m = 9 रखने पर,
2m = 18, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
और m² + 1 = 92 + 1 = 81 + 1 = 82
अतः पाइथागोरस त्रिक = 18, 80 और 82 हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 106

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.12)

प्रश्न 1.

1. 11² = 121, 121 का वर्गमूल क्या है?
2. 14² = 196, 196 का वर्गमूल क्या है?

हल:

1. क्योंकि 11² = 121, अतः 121 का वर्गमूल 11
2. क्योंकि 14² = 196, अतः 196 का वर्गमूल 14 है।

सोचिए चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.1)

प्रश्न 1.
(-1)² = 1, क्या 1 का वर्गमूल है-1?
हल:
हाँ, 1 का वर्गमूल – 1 है।

प्रश्न 2.
(-2)² = 4, क्या 4 का वर्गमूल है -2?
हल:
हाँ, 4 का वर्गमूल – 2 है।

प्रश्न 3.
(-9)² = 81, क्या 81 का वर्गमूल है -9?
हल:
हाँ, 81 का वर्गमूल -9 है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 107

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.13)

प्रश्न 1.
1 से प्रारम्भ होनेवाली विषम संख्याओंको बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग हैं तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

1. 121
2. 55
3. 36
4. 49
5. 90

हल:
121 से हम 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाते हैं –
1.

• 121 – 1 = 120,
• 120 – 3 = 117
• 117 – 5 = 112
• 112 – 7 = 105
• 105 – 9 = 96
• 96 – 11 = 85
• 85 – 13 = 72
• 72 – 15 = 57
• 57 – 17 = 40
• 40 – 19 = 21
• 21 – 21 = 0.

संख्या 121 में से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 11 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः संख्या 121 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 11 है।
= 11

2. संख्या 55 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 55 – 1 = 54
• 54 – 3 = 51
• 51 – 5 = 46
• 46 – 7 = 39
• 39 – 9 = 30
• 30 – 11 = 19
• 19 – 13 = 6
• 6 – 15 = – 9.

यह दर्शाता है कि संख्या 55 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता हैं। अतः 55 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

3. संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 36 – 1 = 35
• 35 – 3 = 32
• 32 – 5 = 27
• 27 – 7 = 20
• 20 – 9 = 11
• 11 – 11 = 0

संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर, 6 वाँ पद शून्य प्राप्त होता है। अतः संख्या 36 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 6 है। = 6

4. संख्या 49 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 49 – 1 = 48
• 48 – 3 = 45
• 45 – 5 = 40
• 40 – 7 = 33
• 33 – 9 = 24
• 24 – 11 = 13
• 13 – 13 = 0.

संख्या 49 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 7 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 7 है। = 7

5. संख्या 90 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

• 90 – 1 = 89
• 89 – 33 = 86
• 86 – 5 = 81
• 81 – 73 = 74
• 74 – 9 = 65
• 65 – 11 = 54
• 54 – 13 = 41
• 41 – 15 = 26
• 26 – 17 = 9
• 9 – 19 = – 10

यह दर्शाता है कि संख्या 90 को 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः 90 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में इकाई अंक की क्या सम्भावना है –

1. 9801
2. 99856
3. 998001
4. 657666025

हल:

संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की सम्भावना –

1. 9801 में 1 या 9
2. 99856 में 4 या 6
3. 998001 में 1 या 9
4. 657666025 में 5

प्रश्न 2.
बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है –

1. 153
2. 257
3. 408
4. 441.

हल:
संख्या (i) 153, (ii) 257, तथा (iii) 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।

प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:
1. 100 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

• 100 – 1 = 99
• 99 – 3 = 96
• 96 – 5 = 91
• 91 – 7 = 84
• 84 – 9 = 75
• 75 – 11 = 64
• 64 – 13 = 51
• 51 – 15 = 36
• 36 – 17 = 19
• 19 – 19 = 0

संख्या 100 से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 10वाँ पद शून्य (0) प्राप्त होता है।
अतः = 10

2. 169 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 169 – 1 = 168
• 168 – 3 = 165
• 165 – 5 = 160
• – 160 – 7 = 153
• 153 – 9 = 144
• 144 – 11 = 133
• 133 – 13 = 120
• 120 – 15 = 105
• 105 – 17 = 88
• 88 – 19 = 69
• 69 – 21 = 48
• 48 – 23 = 25
• 25 – 25 = 0.

संख्या 169 से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 13वाँ पद शून्य (0) प्राप्त होता है। अतः = 13

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

1. 729
2. 400
3. 1764
4. 4096
5. 7744
6. 9604
7. 5929
8. 9216
9. 529
10. 8100

हल:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 252
2. 180
3. 1008
4. 2028
5. 1458
6. 768

हल:
1.

हम जानते हैं कि पूर्ण वर्ग संख्या में प्रत्येक पद के जोड़े बनते हैं।
परन्तु यहाँ 7 का जोड़ा नहीं है। अतः यदि 252 में 7 का गुणा कर दें तो संख्या पूर्ण वर्ग बन जाएगी।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 252 x 7 = 1764

2.

अतः दी गई संख्या में 5 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 5 का गुणा करना आवश्यक है।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 180 x 5 = 900

3.

अतः दी गई संख्या में 7 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 7 का गुणा करना चाहिए।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 1008 x 7 = 7056

4.

अतः दी गई संख्या में 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 3 का गुणा करेंगे।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 2028 x 3 = 6084

5.

अतः दी गई संख्या में 2 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 2 का गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 2 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या= 1458 x 2 = 2916

6.

अतः दी हुई संख्या में 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 3 का गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 होगी। गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 768 x 3

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

1. 252
2. 2925
3. 396
4. 2645
5. 2800
6. 1620

हल:
1.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 7 का भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या 7 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 36

2.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 13 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 13 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 225

3.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 11 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 11 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 36

4.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 5 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 529

5.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 7 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 400

6.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 5 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 324

प्रश्न 7.
एक विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमन्त्री राहत कोष में ₹ 2,401 दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपये दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = x है।
अतः विद्यार्थियों द्वारा दान में दी गई कुल धनराशि = ₹ x × x = ₹ x² परन्तु राहत कोष में दिए गए रुपये = ₹ 2,401

अतः कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = 49 है।

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पंक्तियों की संख्या = x है।
और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = x
∴ कुल पौधों की संख्या =x × x = x²
लेकिन पौधों की संख्या = 2025
अब, प्रश्नानुसार,

अतः पंक्तियों की अभीष्ट संख्या = 45 तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = 45

प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए, 4, 9 और 10 का ल. स. होगी।

इस संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 5 से गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी अभीष्ट वर्ग संख्या = 180 x 5 = 900

प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाए।
हल:
8, 15 और 20 से विभाजित होने वाली पूर्ण वर्ग संख्या 8, 15 और 20 का ल. स. होगी।

इसे पूर्ण बर्ग बनाने के लिए 2 x 3 x 5 = 30 से गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी अभीष्ट वर्ग संख्या = 120 x 30
= 3600

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 110

प्रश्न 1.
क्या आप हमें 5 या 6 अंकों वाली संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या बता सकते हैं?
हल:
हाँ, 5 या 6 अंकों वाली संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या 3 होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 111

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.2)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में यदि n अंक हैं तो उसके वर्गमूल में अंक होंगे। यदि n सम है या () होंगे यदि n विषम है?
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि यदि n अंकों की कोई पूर्ण वर्ग संख्या है, तो उसके वर्गमूल में –

1. अंक होंगे यदि n सम है तथा
2. अंक होंगे यदि () विषम है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 112

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.14)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में अंकों की संख्या को गणना के बिना ज्ञात कीजिए –

1. 25600
2. 100000000
3. 36864

हल:

1. क्योंकि संख्या 25600 में 5 अंक हैं, अतः इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या अर्थात् 3 अंक होगी।
2. क्योंकि संख्या 100000000 में अंकों की संख्या = 9, अतः इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या अर्थात् 5 अंक होगी।
3. क्योंकि संख्या 36864 में अंकों की संख्या = 5, अत: इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या = , अर्थात् 3 अंक होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 115

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.15)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के निकटतम पूर्ण संख्याओं का अनुमान लगाइए –

हल:
1. हम जानते हैं कि –
64 < 80 < 81
8 < < 9
∵ 81, 80 से अधिक निकटतम है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 9

2. हम जानते हैं कि –
31² और 32² = 1024
31² < 32
∵ 1000, 1024 के अधिक निकटतम है
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 32

3. हम जानते हैं कि –
18² = 324 और 19² = 361
18 < < 19
क्योंकि 350, 324 की अपेक्षा 361 के अधिक नजदीक है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 19

4. हम जानते हैं कि –
22² = 484 और 23² = 529
22 < < 23
∴ 500, 529 की अपेक्षा 484 के अधिक निकट है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 22

वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए –

(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(xi) 576
(x) 1024
(xi)3136
(xii) 900.

हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल के अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए (बिना गणना के) –

1. 64
2. 144
3. 4489
4. 27225
5. 390625

हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

(i) 2.56
(ii) 7.29
(iii) 51.84
(iv) 42.25
(v) 31.36

हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 402
2. 1989
3. 3250
4. 825
5. 4000.

हल:
1.

स्पष्ट है कि 202, 402 से 2 कम है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए दी हुई संख्या में से 2 घटाना चाहिए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 402 – 2 = 400
पुनः = 20

2.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 53 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 53 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1989 – 53
= 1936
पुनः = 44

3.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 1 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 1 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 3250 – 1 = 3249
पुनः = 57

4.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 41 शेष बचता है।
अत: संख्या में से 41 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 825 – 41 = 784
पुनः = 28

5.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 31 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 31 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 4000 – 31 = 3969
पुनः = 63

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए ? इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 525
2. 1750
3. 252
4. 1825
5. 6412

हल:
1.

स्पष्ट है कि 22² < 525 < 23²
अतः अभीष्ट संख्या = 23² – 525
= 529 – 525
= 4 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 525 + 4 = 529
स्पष्टतः = 23

2.

स्पष्ट है कि 41² < 1750 < 42²
अतः अभीष्ट संख्या = 422 – 1750
= 1764 – 1750
= 14 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1750 + 14 = 1764
स्पष्टतः = 42

3.

स्पष्ट है कि 15² < 252 < 16²
अतः अभीष्ट संख्या = 162 – 252
= 256 – 252 = 4 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 252 + 4 = 256
स्पष्टतः = 16

4.

स्पष्ट है कि 42² < 1825 < 43²
अतः अभीष्ट संख्या = 432 – 1825
= 1849 – 1825
= 24 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1825 + 24 = 1849
स्पष्टतः = 43

5.

स्पष्ट है कि 802 <6412 <812 अतः अभीष्ट संख्या = 812 – 6412
= 6561 – 6412
=149 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 6412 + 149 = 6561
स्पष्टतः = 81

प्रश्न 6.
किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 441 मी है।
हल:
वर्ग का क्षेत्रफल = (वर्ग की भुजा)²
441 = (वर्ग की भुजा)²
∴ वर्ग की भुजा = मीटर
= 21 मीटर

प्रश्न 7.
किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°

(a) यदि AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी है, तो AC ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AC = 13 सेमी, BC = 5 सेमी, तो AB ज्ञात कीजिए।

हल:
(a) समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8²
= 36 + 64 = 100
∴ AC = = 10 सेमी

(b) समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

AC² = AB² + BC²
13² = AB² + 5²
169 = AB² + 25
AB² = 169 – 25 = 144
AB = = 12 सेमी.

प्रश्न 8.
एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।
हल:
1000 का वर्गमूल लेने पर,

यह दर्शाता है कि 312, 1000 से 39 कम हैं और 32² = 1024
अतः माली को अभीष्ट पौधों की आवश्यकता होगी = 1024 – 1000 – 24 पौधे

प्रश्न 9.
एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं। पी. टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?
हल:
500 का वर्गमूल लेने पर,

यह दर्शाता है कि 222 = 484 जो कि 500 से 16 कम है
अतः इस व्यवस्था को बनाने में 16 विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा।

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल, Study Learner