RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 14 गुणनखंडन

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 227

प्रयास कीजिए (क्रमांक 14.1)

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड कीजिए –

1. 12x + 36
2. 22y – 33z
3. 14pq + 35 pqr

हल:
1. 12x + 36 = (12 × x) + (12 x 3)
= 12 (x + 3)

2. 22y – 33z = (11 × 2xy) – (11 x 3 x z)
= 11 x (2xy – 3 × z)
= 11 (2y – 33)

3. 14pq + 35pqr = (7 x 2 x p x q) + (7 x 5 x p x q x r)
= 7 x p x q x (2 + 5 x r)
= 7pq (2 + 5r)

गुणनखंडन Ex 14.1

प्रश्न 1.
दिए हुए पदों में सार्वगुणनखण्ड ज्ञात कीजिए –

1. 12x, 36
2. 2y, 22xy
3. 14pq, 28p²q²
4. 2x, 3x², 4
5. 6abc, 24ab², 12ab
6. 16x³, – 4x², 32x
7. 10pq, 20qr, 30rp
8. 3x²y³, 10x³y², 6x²y²z.

हल:
1. 12x = 12 × x
36 = 12 x 3
∴ सार्व गुणनखण्ड = 12

2. 2y = 2 x y
22xy = 2 x 11 × x × y
∴ सार्व गुणनखण्ड = 2 x y = 2y

3. 14pq = 2 x 7 x p x q
28 p²q² = 2 x 2 x 7 x p x p x q x q
∴ सार्व गुणनखण्ड = 2 x 7 x p x q = 14pq

4. 2x = 2 × x × 1
3x² = 3 × x × x × 1
4 = 2 x 2 x 1
∴ सार्व गुणनखण्ड = 1

5. 6abc = 2 x 3 x 4 x 6 x c
24ab² =2 x 2 x 2 x 3 x a x b x b
12a²b = 2 x 2 x 3 x a x a x b
∴ सार्व गुणनखण्ड = 2 x 3 x a x b = 6ab

6. 16x³ = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x
4x² = (-1) × 2 × 2 × x × x
32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x
∴ सार्व गुणनखण्ड = 2 × 2 × x = 4x

7. 10pq = 2 x 5 x p x q
20qr = 2 x 2 x 5 x q x r
30pr = 2 x 3 x 5 x p x r
∴ सार्व गुणनखण्ड = 2 x 5 = 10

8. 3x²y³ = 3 × x × x × y × y × y
10x³y² = 2 × 5 × x × x × x × y × y
6x²y²z = 2 × 3 × x × x × y × y × z
∴ सार्व गुणनखण्ड = x × x × y × y = xy²

प्रश्न 2.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए –

1. 7x – 42
2. 6p – 12q
3. 7a² + 14a
4. -16z + 20z³
5. 20l²m + 30alm
6. 5x²y – 15xy²
7. 10a² – 15b² + 20c²
8. -4a + 4ab – 4ac
9. x²y + z + xy²z + xyz² (तीनों पदों को मिलाने पर)
10. ax²y + bxy² + cxyz

हल:
1. 7x – 42 = 7 × x – 2 × 3 × 7
= 7(x – 2 x 3)
= 7 (x – 6)

2. 6p – 12q = 2 x 3 x p – 2 x 2 x 3 x q
= 2 x 3 (p – 2 x q)
= 6 (p – 24)

3. 7a² + 14a = 7 x a x a + 2 x 7 x a
= 7 x a x (a + 2)
= 7a (a + 2)

4. – 16z + 20z³
= -2 x 2 x 2 x 2 x z + 2 x 2 x 5 x z x z x z
= 2 x 2 x z x (- 2 x 2 + 5 x z x z)
= 4z (- 4 + 57²)

5. 20l²m + 30alm
= 2 x 2 x 5 x 1 x 1 x m + 2 x 3 x 5 x a x l x m
= 2 x 5 x 1 x m (2 x 1 + 3 x a)
= 10lm (21+ 3a)

6. 5x²y – 15xy²
= 5 × x × x × y – 3 × 5 × x × y × y
= 5 × x × y × (x – 3 × y)
= 5xy (x – 3y)

7. 10a² – 15b² + 20c²
= 2 x 5 x a x a – 3 x 5 x b x b + 2 x 2 x 5 x c x c
= 5 (2 x a x a – 3 x b x b + 2 x 2 x c x c)²
=5 (2a² – 3b² – 4c)

8. -4a² + 4ab – 4ac
= – 2 x 2 x a x a + 2 x 2 x a x b – 2 x 2 x a x c
= 2 x 2 x a x (- a + b – c)
= 4a (- a + b – c)

9. xyz + xyz + xyz²
= x × x × y × z + x × y × y × z + x × y × z × z
= x × y × z (x + y + z)
=xyz (x + y + z)

10. ax²y + bxy² + cxyz
= a × x × x × y + b × x × y × y + c × x × y × z
= x × y × (a × x + b × y + c × z)
= xy (ax + by + cz)

प्रश्न 3.
गुणनखण्ड कीजिए –

1. x + xy + 8x + 8y
2. 15xy – 6x + 5y – 2
3. ax + bx – ay – by
4. 15pq + 15 + 9q + 25p
5. z – 7 + 7xy – xyz

हल:
1. x² + xy + 8x + 8y = (x² + xy) + (8x + 8y)
= x (x + y) + 8 (x + y)
= (x + y) (x + 8)

2. 15xy – 6x + 5y – 2 = (15xy – 6x) + (5y – 2)
= 3x (5y – 2) + 1 (5y – 2)
= (5y – 2) (3x + 1)

3. ax + bx – ay – by = (ax + bx) – (ay + by)
= x (a + b) – y (a + b)
= (a + b) (x – y)

4. 15pq + 15 + 9q + 25p = (15pq + 9q) + (25p + 15)
(पुनः समूहन करने पर)
= 3q (5p + 3) + 5 (5p + 3)
= (5p + 3) (3q + 5)

5. z – 7 + 7xy – xyz = z – 7 – xyz + 7xy
(पुनः समूहन करने पर)
= 1 (z – 7) – xy (z – 7)
= (z – 7) (1 – xy)

गुणनखंडन Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए –

1. a² + 8a + 16
2. p² – 10p + 25
3. 25m² + 30m + 9
4. 49y² + 84yz + 36z²
5. 4x² – 8x + 4
6. 121b² – 88bc + 16c²
7. (l + m)² – 4lm
8. a⁴ + 2a²b² + b⁴

हल:
1. a² + 8a + 16 = (a)² + 2 x a x 4 + (4)²
[∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²]
= (a + 4)²

2. p² – 10p + 25 = (p)² – 2 x p x 5 + (5)²
[∴ a² – 2ab + b² = (a – b)]
= (p – 5)²

3. 25m² + 30m + 9 = (5m)² + 2 x 5m x 3 + (3)²
= (5m + 3)²

4. 49y² + 84yz + 36z²
= (7y)² + 2 x 7y x 6z + (6z)²
= (7y + 6z)²

5. 4x² – 8x + 4 = (2x)² – 2 x 4x × 2 + (2)²
= (2x – 2)²

6. 121b² – 88bc + 16c²
= (11b)² – 2 x 11b x 4c + (4c)²
= (11b – 4c)

7. (l + m)² – 4lm = l² + 2lm + m² – 4lm
= l² – 2lm + m²
= (l)² – 2 x 1 x m + (m)² = (1 – m)

8. a⁴ + 2a²b² + b⁴ = (a²)² + 2 x a² x b² + (a)²
= (a + b)²

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड कीजिए –

1. 4p² – 9q²
2. 63a² – 112b²
3. 49x² – 36
4. 16x⁵ – 144x³
5. (l + m)² – (l – m)
6. 9x²y² – 16
7. (x² – 2xy +y²) – z²
8. 25a² – 4b² + 28bc – 49c²

हल:
1. 4p² – 9q²
a² – b² = (a – b) (a + b)
4p² – 9q² = (2p)² – (3q)²
= (2p – 3q) (2p + 3q)

2. 63a² – 112b² = 7 (9a² – 16b²)
= 7 {(3a)² – (4b)²}
= 7 (3a – 4b) (3a + 4b)

3. 49x² – 36 = (7x)² – (6)²
= (7x – 6) (7x + 6)

4. 16x⁵ – 144x³ = 16x³ (x² – 9)
= 16x³ (x² – 3²)
= 16x³ (x – 3) (x + 3)

5. (l + m)² – (l – m) = [(l + m) – (l – m)][(l + m) – (l – m)]
= (l + m – 1 + m) (l + m + l – m)
= 2m x 2l = 4lm

6. 9x²y² – 16 = (3xy)² – (4)²
= (3xy – 4) (3xy + 4)

7. x² – 2xy + y² – z² = (x – y)² – z²
= [(x – y) – z] [(x – y) + z]
= (x – y – z) (x – y + z)

8. 25a² – 4b² + 28bc – 49c²
= 25a² – (4b² – 28bc + 49c²)
= 25a² – [(2b)² – 2 x 26 x 7c + (7c)²]
= (5a)² – (2b – 7c)²
= [5a – (2b – 7c)] [5a + (2b – 7c)]
= (5a – 25 + 7c) (5a + 2b – 7c)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए –

1. ax² + bx
2. 7p² + 21q²
3. 2x² + 2xy² + 2xz²
4. am² + bm² + bn² + an²
5. (lm + 1) + m + 1
6. y (y + z) + 9 (y + z)
7. 5y² – 20y – 8z + 2yz
8. 10ab + 4a + 5b + 2
9. 6xy – 4y + 6 – 9x.

हल:
1. ax² + bx = x (ax + b)

2. 7p² + 21q² = 7 (p² + 3q²)

3. 2x² + 2xy² + 2xz² = 2x (x² + y² + z²)

4. amv + bm² + bn² + an²
= (am² + bm²) + (bn² + an²)
= m² (a + b) + n² (b+ a)
= (a + b) (m² + n²)

5. (lm + 1) + m + 1 = 1(m + 1) + 1 (m + 1)
= (m + 1) (1 + 1)

6. y (y + z) + 9 (y + z) = (y + z) (y + 9)

7. 5y² – 20y – 8z + 2yz
= (5y² – 20y) + (2yz – 8z)
= 5y (y – 4) + 2z (y – 4).
= (y – 4) (5y + 2z)

8. 10ab + 4a + 56+2
= (10ab + 5b) + (4a + 2)
= 5b (2a + 1) + 2 (2a + 1)
= (2a + 1) (5b + 2)

9. 6xy – 4y + 6 – 9x
= (6xy – 4y) – (9x – 6)
= 2y (3x – 2) – 3 (3x – 2)
= (3x – 2) (2y – 3)

प्रश्न 4.
गुणनखण्ड कीजिए –

1. a⁴ – b⁴
2. p⁴ – 81
3. x⁴ (y + z)⁴
4. x⁴ – (x – z)⁴
5. a² – 2a²b² + b⁴

हल:
1. a⁴ – b⁴ = (a²)² – (b²)²
= (a² + b²) (a² – b²)
= (a² + b²) (a + b) (a – b)

2. p⁴ – 81 = (p²)² – (9)²
= (p² + 9) (p² – 9)
= (p² + 9) (p + 3) (p – 3)

3. x⁴ – (y + z)⁴ = (x²)² – [(y + 2)²]²
= [x² – (y + z)²] [x² + (y + z)²]
= [x – (y + z)] [x + (y + z)] [x² + (y + z)²]
= (x – y – z) (x + y + z) [x² + (y + z)²]

4. x⁴ – (x – z)⁴ = (x²)² – [(x – z)²]²
= [x² – (x – z)²] [x² + (x – z)]
= [x – (x – z)] [x + (x – z)] [x² + (x² – 2x² + z²)] = (x – x + z) (x + x – z)(2x² – 2xz + z²)
= z(2x – z) (2x² – 2xz + z²)

5. a⁴ – 2a²b² + b² = (a²)² – 2 x a² x b² + (b²)²
= [a² – b²]²
= [(a – b) (a + b)]²
= (a – b)² (a + b)²

प्रश्न 5.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए –

1. p² + 6p + 8
2. q² – 10q + 21
3. p² + 6p – 16

हल:
1. P² + 6p + 8 = p² + (4 + 2) p + 8
(∴8 = 4 x 2)
= p² + 4p + 2p +8
= p (p + 4) + 2 (p + 4)
= (p + 4) (p + 2)

2. q² – 10q + 21 = q² – (7 + 3) q + 21
(∴ 21 = 3 x 7)
=q² – 7q – 3q + 21
= q(q – 7) – 3 (q – 7)
= q (q – 7) (q – 3)
= (q – 3) (q – 7)

3. p² + 6p – 16 = p² + (8 – 2)p – 16
(∴ 16 = 8 x 2)
= p² + 8p – 2p – 16
= p (p + 8) – 2 (p + 8)
= (p + 8) (p – 2)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 234

प्रयास कीजिए (क्रमांक 14.2)

प्रश्न 1.
भाग दीजिए –

1. 24xy²3z³ को 6yz² से
2. 63a²b⁴c⁶ को 7a²b²c³ से।

हल:
1. 24xy²z³ + 6yz²

= 4xyz

2. 63a²b⁴c⁶ ÷ 7a²b²c³

= 9b²c³

गुणनखंडन Ex 14.3

प्रश्न 1.

(i) 28x⁴ ÷ 56x
(ii) – 36y³ ÷ 9y²
(iii) 66pq²r³ ÷ 11qr²
(iv) 34x³y³z³ ÷ 51xy²z³
(v) 12a⁸b⁸ ÷ (- 6a⁶b⁴)

हल:

प्रश्न 2.
दिए हुए बहुपद को दिए हुए एकपदी से भाग दीजिए –

(i) (5x² – 6x) ÷ 3x
(ii) (3y² – 4y⁶ + 5y⁴) ÷ y⁴
(ii) 8 (x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²
(iv) (x³ + 2x² + 3x) ÷ 2x
(v) (p³q⁶ – p⁶q³) ÷ p³q³

हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित विभाजन कीजिए –

(i) (10x – 25) ÷ 5
(ii) (10x – 25) ÷ (2x – 5)
(iii) 10y (6y + 21) ÷ 5 (2y + 7)
(iv) 9x²y² (3z – 24) ÷ 27xy (z – 8)
(v) 96abc (3a – 12) (5b – 30) ÷ 144(a – 4) (b – 6)

हल:

प्रश्न 4.
निर्देशानुसार भाग दीजिए –

(i) 5 (2x + 1) (3x+5) ÷ (2x + 1)
(ii) 26xy (x + 5) (y – 4) ÷ 13x (y – 4)
(iii) 52pqr (p + q) (q + r) (r + p) ÷ 104 pq (q + r) (r + p)
(iv) 20 (y + 4) (y² + 5y + 3) ÷ 5 (y + 4)
(v) x (x + 1) (x + 2) (x + 3) ÷ x (x + 1)

हल:

प्रश्न 5.
व्यंजक के गुणनखण्ड कीजिए और निर्देशानुसार भाग दीजिए –

1. (y² + 7y + 10) ÷ (y + 5)
2. (m² – 14m – 32) ÷ (m + 2)
3. (5p² – 25p + 20) ÷ (p – 1)
4. 4yz (z² + 6z – 16) ÷ 2y (z + 8)
5. 5pq (p² – q²) ÷ 2p (p + q)
6. 12xy (9x² – 16y²) ÷ 4xy (3x + 4y)
7. 39y³ (50y² – 98) ÷ 26y² (5y + 7)

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 236-237

क्या आप त्रुटि ज्ञात कर सकते हैं?

कार्य (Task) 1.
एक समीकरण को हल करते समय, . सरिता निम्न प्रकार से हल करती हैं –
3x + x + 5x = 72
अतः x = 72
और इसलिए x = = 9.
उसने कहाँ त्रुटि की है ? सही उत्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, सरिता ने दूसरे पद x के गुणांक 1 को योग में सम्मिलित नहीं किया है।
3x + x + 5x = 72
अतः 9x = 72
और इसलिए x = = 8

कार्य (Task) 2.
अप्पू ने यह किया x = – 3, 5x = 5 – 3 = 2
क्या उसकी प्रक्रिया सही है? यदि नहीं तो इसे सही कीजिए।
हल:
अप्पू की यह प्रक्रिया सही नहीं है।
x = – 3, 5x = 5 x (- 3) = – 15

कार्य (Task) 3.
नम्रता और सलमा ने बीजीय व्यंजकों का गुणा निम्नलिखित प्रकार से किया –

क्या नम्रता और सलमा द्वारा किए गए गुणन सही हैं? कारण सहित अपने उत्तर दीजिए।
हल:
नम्रता द्वारा किए गुणन सही नहीं हैं। लेकिन सलमा द्वारा किए गए गुणन सही हैं।

(a) नम्रता ने कोष्ठक में बन्द व्यंजकों में उसके बाहर लिखे अचर 3 से प्रत्येक पद में गुणा नहीं किया है जबकि सलमा ने कोष्ठक में बन्द दोनों पदों को 3 से गुणा किया है।
(b) नम्रता ने 2x का वर्ग सही नहीं किया है।
(c) नम्रता ने गुणा करते समय मध्य पद को छोड़ दिया है।
(d) व (e) में नम्रता ने सूत्रों का प्रयोग सही नहीं किया है।

कार्य (Task) 4.
जोसफ ने एक विभाजन इस प्रकार किया: = a + 1
उसके मित्र गिरीश ने यह विभाजन इस प्रकार किया:
उसके अन्य मित्र सुमन ने इसे इस प्रकार किया:
किसने विभाजन सही किया? किसने विभाजन गलत विधि से किया? और क्यों?
हल:
सुमन ने विभाजन सही किया। जोसफ और गिरीश ने विभाजन गलत विधि से किया। जोसफ और गिरीश ने द्विपदी को एकपदी से भाग देते समय अंश के प्रत्येक पद a और 5 को हर 5 से सही प्रकार से भाग नहीं दिया।

गुणनखंडन Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित गणितीय कथनों में त्रुटि ज्ञात करके उसे सही कीजिए –
1. 4 (x – 5) = 4x – 5
2. x (3x + 2) = 3x² + 2
3. 2x + 3y = 5xy
4. x + 2x + 3 = 5x
5. 5y + 2y + y – 7y = 0
6. 3x + 2x = 5x²
7. (2x)² + 4 (2x) + 7 = 2x² + 8x + 7
8. (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
9. (3x + 2) = 3x² + 6x + 4
10. x = – 3 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है –

(a) x² + 5x + 4 से (-3)² + 5 (- 3) + 4 = 9 + 2 + 4 = 15 प्राप्त होता है।
(b) x² – 5x + 4 से (-3)² – 5 (- 3) + 4 = 9 – 15 + 4 = – 2 प्राप्त होता है।
(c) x² + 5x से (- 3)² + 5 (- 3) = – 9 – 15 = – 24 प्राप्त होता है।

11. (y – 3)² = y² – 9
12. (z + 5)² = z² + 25
13. (2a + 3b) (a – b) = 2a² – 3b²
14. (a + 4) (a + 2) = a² + 8
15. (a – 4) (a – 2) = a² – 8

हल:
1. L.H.S. = 4 (x – 5) = 4x – 20
अतः सही कथन, 4 (x – 5) = 4x – 20

2. L.H.S. = x (3x + 2)= 3x² + 2x
∴ अभीष्ट R.H.S. = 3x² + 2x
अतः सही कथन, x (3x + 2) = 3x² + 2x

3. 2x + 3y = 5xy गलत कथन
∴ सही कथन, 2x + 3y = 2x + 3y

4. x + 2x + 3x = 5x गलत कथन
L.H.S. = x + 2x + 3x = 6x
अतः x + 2x + 3x ≠ 5x
अतः सही कथन, x + 2x + 3x = 6x

5. 5y + 2y + y – 7y = 0 गलत कथन
∴ L.H.S. = 5y + 2y + y – 7y = y
अतः 5y + 2y + y – 7y ≠ 0
अतः सही कथन, 5y + 2y + y – 7y = y

6. 3x + 2x = 5x² गलत कथन
L.H.S. = 3x + 2x = 5x
अतः 3x + 2x + 5x²
अतः सही कथन, 3x + 2x ≠ 5x²

7. (2x)² + 4 (2x) + 7 = 2x² + 8x + 7 गलत कथन
∴ L.H.S. = (2x) + 4 (2x) + 7
= 4x² + 8x + 7
अतः (2x)² + 4 (2x) + 7 ≠ 2x² + 8x + 7
अतः सही कथन, (2x)² + 4 (2x) + 7
= 4x² + 8x + 7

8. (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x गलत कथन
∴ L.H.S. (2x)² + 5x = 4x² + 5x
अतः (2x)² + 5x ≠ 4x + 5 ≠ 9
अतः सही कथन, (2x)² + 5x = 4x² + 5x

9. (3x + 2)² = 3x² + 6x + 4 गलत कथन
∴ L.H.S. = (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
अतः सही कथन, (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4

10. (a) x² + 5x + 4 में x = – 3 प्रतिस्थापित करने पर,
∴ (- 3)² + 5 (- 3) + 4 = 9 + 15 + 4 = -2

(b) x² – 5x + 4 में x = – 3 प्रतिस्थापित करने पर,
∴ (-3)² – 5 (- 3) + 4 = 9 + 15 + 4 = – 28

(c) x² + 5x में x = – 3 प्रतिस्थापित करने पर,
∴ (- 3)² + 5 x (-3) = 9 – 15 = – 6

11. (y – 3)² = y² – 9
∴ L.H.S. = (y – 3)² = y² 6y + 9
अतः सही कथन, (y – 3)² = y² – 6y + 9

12. (z + 5)² = z² + 25
∴ L.H.S. = (z + 5)² = z² + 10z + 25
अत: सही कथन, (z + 5)² = z² + 10z + 25

13. (2a + 3b) (a – b) = 2a² – 3b²
∴ L.H.S. = (2a + 3b) (a – b)
= 2a (a – b) + 3b (a – b)
= 2a² – 2ab + 3ab – 3b²
= 2a² + ab – 3b²
अतः सही कथन, (2a + 3b) (a – b)
= 2a² + ab – 3b²

14. (a + 4) (a + 2) = a + 8
∴ L.H.S. = (a + 4) (a + 2)
= a² + (4 + 2) a + 4 x 2
= a² + 6a + 8
अतः सही कथन, (a + 4) (a + 2)
= a² + 6a + 8

15. (a – 4) (a – 2) = a² – 8
∴ L.H.S. = (a – 4) (a – 2)
= a² – (4 + 2)a + (- 4) (- 2)
= a² – 6a + 8
अतः सही कथन, (a – 4) (a – 2)
= a – 6a + 8

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RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 14 गुणनखंडन, Study Learner