RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 209

भूमिका

प्रश्न 1.
मोहन स्वयं अपने और अपनी बहन के लिए चाय बनाता है। वह 300 mL पानी, 2 चम्मच चीनी, 1 चम्मच चाय पत्ती और 50 mL दूध का उपयोग करता है। यदि वह पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाए, तो उसे प्रत्येक वस्तु की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी?
हल:
यहाँ, दो व्यक्तियों के लिए पानी = 300 mL, चीनी = 2 चम्मच, चायपत्ती = 1 चम्मच, दूध = 50 mL.
∴ 2 व्यक्तियों के लिये पानी की मात्रा = 300 mL
∴ 5 व्यक्तियों के लिए पानी की मात्रा = 5 x
= 750 mL
∴ 2 व्यक्तियों के लिए चीनी की मात्रा = 2 चम्मच
∴ 5 व्यक्तियों के लिए चीनी की मात्रा = चम्मच
= 5 चम्मच
∴ 2 व्यक्तियों के लिए चायपत्ती = 1 चम्मच
∴ 5 व्यक्तियों के लिए चायपत्ती = x 5
= 2 चम्मच
∴ 2 व्यक्तियों के लिए दूध की मात्रा = 50 mL
∴ 5 व्यक्तियों के लिए दूध की मात्रा = x 5 mL
= 125 mL
अतः मोहन को 5 व्यक्तियों के लिए चाय बनाने के लिए 750 mL पानी, 5 चम्मच चीनी, 29 चम्मच चायपत्ती और 125 mL दूध की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 2.
यदि दो विद्यार्थी किसी सभा के लिए कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में 20 मिनट का समय लगाते हैं तो इसी कार्य को करने में 5 विद्यार्थी कितना समय लेंगे?
हल:
∴ 2 विद्यार्थियों को कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में लगा समय = 20 मिनट
∴ 5 विद्यार्थियों को कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में लगा समय = 2072 मिनट
= 8 मिनट
अत: 5 विद्यार्थियों को कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में 8 मिनट लगेंगे।

प्रश्न 3.
ऐसी पाँच और स्थितियाँ लिखिए, जहाँ एक राशि में परिवर्तन होने से दूसरी राशि में परिवर्तन होता है।
उत्तर:
इस प्रकार की पाँच स्थितियाँ निम्नलिखित हैं –

1. यदि हम बैंक से अधिक धन उधार लेंगे तो हमें अधिक ब्याज देना होगा।
2. किसी गैस पर दबाब बढ़ाने से गैस का आयतन कम हो जाएगा।
3. किसी कार्य को करने के लिए मजदूरों की संख्या बढ़ाने पर पहले की अपेक्षा कम दिन लगेंगे।
4. अधिक दूरी तय करने के लिए किसी वाहन को अधिक पेट्रोल/डीजल की आवश्यकता होगी।
5. किसी मैस में विद्यार्थियों की संख्या बढ़ जाने पर पहले की अपेक्षा अधिक भोजन की आवश्यकता होगी।

पाठ्यपुस्तक पृष्ठ संख्या # 210 सीधा समानुपात

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी का अध्ययन कीजिए –
हल:

प्रश्न 2.
अब निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए –
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 211-212

इन्हें कीजिए (क्रमांक 13.1)

प्रश्न 1.
एक घड़ी लीजिए और उसकी मिनट वाली (बड़ी) सुई को 12 पर स्थिर कीजिए।
मिनट की सुई द्वारा अपनी प्रारम्भिक स्थिति में घूमे गए कोणों एवं बीते हुए समय को निम्नलिखित सारणी के रूप में लिखिए –

आप T और A के बारे में क्या देखते हैं? क्या इनमें साथ-साथ वृद्धि होती है? क्या – प्रत्येक समय वही रहता है?
क्या मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण व्यतीत हुए समय के अनुक्रमानुपाती (directly proportional) है? हाँ! उपर्युक्त सारणी से, आप यह भी देख सकते हैं कि –
T₁ : T₂ = A₁ : A₂, क्योंकि
T₁ : T₂ = 15 : 30 = 1 : 2
A₁ : A₂ = 90 : 180 = 1 : 2
जाँच कीजिए कि क्या T₂ : T₃ = A₂ : A₃ तथा T₃ : T₄ = A₃ : A₄ है।
आपस्वयं अपने समय अन्तराल लेकर, इस क्रियाकलाप को दोहरा सकते हैं।
हल:
घूमा गया कोण –
A₂ → 180°
A₃ → 270°
A₄ → 360°

यहाँ, हम देखते हैं कि T में वृद्धि होने पर A में वृद्धि होती है।
हाँ, इनमें साथ-साथ वृद्धि होती है।
हाँ, प्रत्येक समय = रहता है।
“हाँ, मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण व्यतीत हुए समय के अनुक्रमानुपाती है।

यहाँ, सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
अपने मित्र से निम्नलिखित सारणी के भरने के लिए कहिए तथा उसकी आयु और उसकी माँ गत आयु का अनुपात ज्ञात करने के लिए भी कहिए –

आप क्या देखते हैं? क्या F और M में साथ-साथ वृद्धि (या कमी) होती है? क्या प्रत्येक बार वही रहता है? नहीं। आप इस क्रियाकलाप को अपने अन्य मित्रों के साथ दोहरा सकते हैं तथा अपने प्रेक्षणों को लिख सकते हैं।
हल:
सारणी को भरने पर,

यहाँ, हम देखते हैं कि F और M में साथ-साथ वृद्धि (या कमी) होती है।
नहीं, प्रत्येक बार वही नहीं है।
इस क्रियाकलाप को हम अपने अन्य मित्रों के साथ दोहरा सकते हैं। हम यही स्थिति पाएँगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 212

प्रयास कीजिए (क्रमांक 13.1)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणियों को देखिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या x और y अनुक्रमानुपाती हैं –
1.

2.

3.

हल:
1.

अतः x और ‘ के संगत मानों का अनुपात , ही रहता है। इसलिए, x और y अनुक्रमानुपाती हैं जिनका अनुपात अचर है।

2.
यहाँ,

यहाँ x और y का अनुपात अचर नहीं हैं। इसलिए, x और y अनुक्रमानुपाती नहीं हैं।

3.

यहाँ, हम देखते हैं कि x और y के संगत अनुपात अचर नहीं हैं।
अतः x और y अनुक्रमानुपाती नहीं हैं। उत्तर

प्रश्न 2.
मूलधन = ₹ 1,000 ब्याज दर = 8% वार्षिक निम्नलिखित सारणी को भरिए तथा ज्ञात कीजिए कि किस प्रकार ब्याज (साधारण या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता या परिवर्तित होता है।

हल:
यहाँ, मूलधन = ₹ 1,000, ब्याज दर = 8% वार्षिक
साधारण ब्याज =

= ₹ 1259.712 – ₹ 1000
= ₹ 259.712
अब, सारणी भरने पर

अतः साधारण ब्याज समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता है।
लेकिन चक्रवृद्धि ब्याज समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं बदलता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 13.1)

प्रश्न 1.
यदि हम समय अवधि और ब्याज की दर स्थिर रखें, तो साधारण ब्याज मूलधन के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में परिवर्तित होता है। क्या ऐसा ही सम्बन्ध चक्रवृद्धि ब्याज के लिए भी होगा? क्यों?
हल:
नहीं, ऐसा सम्बन्ध चक्रवृद्धि ब्याज के लिए नहीं होगा। क्योंकि चक्रवृद्धि ब्याज में मूलधन समय अवधि के साथ बदलता रहता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 215

इन्हें कीजिए (क्रमांक 13.2)

प्रश्न 1.
अपने राज्य का एक मानचित्र लीजिए। वहाँ पर प्रयुक्त पैमाने को लिख लीजिए। पैमाने (तनसमत) का प्रयोग करते हुए, मानचित्र पर किन्हीं दो नगरों की दूरी मापिए। इन दोनों नगरों के बीच की वास्तविक दूरी परिकलित कीजिए।
हल:
माना कि पैमाना 1 सेमी. = 200 किमी
माना कि दो नगरों के बीच की दूरी = 4 सेमी
तब, दो नगरों के बीच वास्तविक दूरी = 4 x 200 किमी
= 800 किमी

सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.1

प्रश्न 1.
एक रेलवे स्टेशन के निकट कार पार्किंग शुल्क इस प्रकार है –

• 4 घण्टों तक – ₹ 60
• 8 घण्टों तक – ₹ 100
• 12 घण्टों तक – ₹ 140
• 24 घण्टों तक – ₹180

जाँच कीजिए कि क्या कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है?
हल:
∴ ≠ ≠ ≠
∴ कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं है।

प्रश्न 2.
एक पेंट के मूल मिश्रण (base) के 8 भागों में लाल रंग के पदार्थ का 1 भाग मिलाकर मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित सारणी में, मूल मिश्रण के वे भाग ज्ञात कीजिए जिन्हें मिलाए जाने की आवश्यकता है –

हल:
यहाँ, माना कि लाल रंग के पदार्थ का भाग x, मूल मिश्रण के ” भाग में मिलाया जाता है, तथा x और y प्रत्यक्ष अनुपात में हैं।
अतः x और y का अनुपात अचर रहेगा।
तब =
अतः अभीष्ट अनुपात = , , ,
सारणी में रखने पर,

प्रश्न 3.
प्रश्न 2. में यदि लाल रंग पदार्थ के 1 भाग के लिए 75 mL मूल मिश्रण की आवश्यकता है, तो मूल मिश्रण के 1800 mL में हमें कितना लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए?
हल:
माना कि 1800 mL में x भाग लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए।
सारणी में रखने पर,

अतः मूल मिश्रण में हमें 24 भाग लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए।

प्रश्न 4.
किसी सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 840 बोतलें 6 घण्टे में भरती है। वह मशीन पाँच घण्टे में कितनी बोतलें भरेगी?
हल:
माना कि 5 घण्टे में x बोतलें भरी जा सकती हैं। तब सारणी के रूप में रखने पर,

अतः मशीन 5 घण्टे में 700 बोतलें भरेगी।

प्रश्न 5.
एक बैक्टीरिया या जीवाणु के फोटोग्राफ (चित्र) को 50,000 गुना आवर्धित करने पर उसकी लम्बाई 5 cm हो जाती है, जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है। इस बैक्टीरिया की वास्तविक लम्बाई क्या है ? यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना आवर्धित किया जाए, तो उसकी आवर्धित लम्बाई क्या होगी?

हल:
बैक्टीरिया की आवर्धित लम्बाई = 50,000 गुना
बैक्टीरिया की लम्बाई = 5 cm

अतः बैक्टीरिया की वास्तविक लम्बाई = 10_-4 cm
यहाँ, फोटोग्राफ की लम्बाई तथा आवर्धित लम्बाई अनुक्रमानुपाती हैं।
माना कि आवर्धित लम्बाई x cm है
सारणी के रूप में लिखने पर,

यहाँ आवर्धित लम्बाई तथा आवर्धित फोटोग्राफ परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।

अतः आवर्धित लम्बाई = 2 cm

प्रश्न 6.
एक जहाज के मॉडल में उसका मस्तूल (mast) 9 cm ऊँचा है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 m ऊँचा है। यदि जहाज की लम्बाई 28 m है तो उसके मॉडल की लम्बाई कितनी है?
हल:

स्पष्ट है, मॉडल की लम्बाई और वास्तविक लम्बाई परस्पर – अनुक्रमानुपाती हैं।
=
x = = 21
अतः जहाज के मॉडल की लम्बाई = 21 cm

प्रश्न 7.
मान लीजिए 2 kg चीनी में 9x 10 क्रिस्टल हैं। निम्नलिखित चीनी में कितने क्रिस्टल होंगे?

1. 5 kg
2. 1.2 kg.

हल:
माना कि 5 kg चीनी और 1.2 kg चीनी में क्रमशः x और y क्रिस्टल हैं। इन्हें सारणी रूप में लिखने पर,

स्पष्ट है कि यहाँ क्रिस्टल की संख्या और चीनी की मात्रा परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।
1.

अतः 5 kg चीनी में 2.25 x 10₇ क्रिस्टल होंगे।
2.

अतः 1.2 kg चीनी में 5.4 x 10₆ क्रिस्टल होंगे।

प्रश्न 8.
रश्मि के पास एक सड़क का मानचित्र है, जिसके पैमाने में 1 cm की दूरी 18 km निरूपित करती है। वह उस सड़क पर अपनी गाड़ी से 72 km की दूरी तय करती है। उसके द्वारा तय की गई दूरी मानचित्र में क्या होगी?
हल:
यहाँ, 1 cm की दूरी = 18 km.
माना कि रश्मि के द्वारा तय की गई दूरी मानचित्र में x cm है, तब दी हुई सूचना को सारणी के रूप में निरूपित करने पर,

यहाँ, मानचित्र में दूरी तथा वास्तविक दूरी परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।
=
या x = cm = 4 cm
अतः मानचित्र में दूरी = 4 cm

प्रश्न 9.
एक 5 m 60 cm ऊँचे ऊर्ध्वाधर खम्भे की छाया की लम्बाई 3 m 20 cm है। उसी समय पर ज्ञात कीजिए –

1. 10 m 50 cm ऊँचे एक अन्य खम्भे की छाया की लम्बाई।
2. उस खम्भे की ऊँचाई जिसकी छाया की लम्बाई 5 m है।

हल:
1. माना कि x m उस खम्भे की लम्बाई है जिसकी छाया की लम्बाई 10 m 50 cm है। y m उस खम्भे की ऊँचाई है जिसकी छाया 5 m है।
इन्हें सारणी के रूप निरूपित करने पर,

यहाँ, यह स्पष्ट है कि खम्भे की ऊँचाई और छाया परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।

अतः छाया की लम्बाई = 6 m
2.

अतः खम्भे की ऊँचाई = 8 m 75 cm

प्रश्न 10.
माल से लदा हुआ एक ट्रक 25 मिनट में 14 km चलता है। यदि चाल वही रहे, तो वह 5 घण्टे में कितनी दूरी तय कर पाएगा?
हल:
माना कि ट्रक 5 घण्टे में x km दूरी तय करता है। तब इन्हें सारणी के रूप में निरूपित करने पर,

यहाँ, दूरी तथा समय परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।
=
या x = = 168 km
अतः ट्रक द्वारा 5 घण्टे में तय की गई दूरी = 168 km

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 216-217

इन्हें कीजिए (क्रमांक 13.3)

प्रश्न 1.
एक वर्गांकित कागज पर भिन्न-भिन्न भुजाओं के पाँच वर्ग खींचिए। निम्नलिखित सूचना को एक सारणी के रूप में लिखिए –

ज्ञात कीजिए कि क्या भुजा की लम्बाई –

1. वर्ग के परिपाम के अनुक्रमानुपाती है।
2. वर्ग के क्षेत्रफल के अनुक्रमानुपाती है।

हल:

सूचना को सारणी के रूप में निरूपित करने पर,

यहाँ स्पष्ट है कि,

1. वर्ग की भुजा की लम्बाई वर्ग के परिमाप के अनुक्रमानुपाती है।
2. वर्ग की भुजा की लम्बाई वर्ग के क्षेत्रफल के अनुक्रमानुपाती नहीं है।

प्रश्न 2.
पाँच व्यक्तियों के लिए हलवा बनाने के लिए, निम्नलिखित सामग्री की आवश्यकता होती है: सूजी/रवा = 250 g, चीनी = 300 g, घी = 200 g, पानी = 200 g. समानुपात की अवधारणा का प्रयोग करते हुए, अपनी कक्षा के लिए हलवा बनाने के लिए इन सामग्रियों की मात्राओं में होने वाले परिवर्तनों का आकलन (estimate) कीजिए।
हल:
माना कि कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = 20 है।
स्पष्ट है कि यहाँ अनुक्रमानुपाती की स्थिति है।
अत: वांछित सामग्री = 4 गुना होगी –
अर्थात् सूजी/रवा = 250 x 4g = 1000 g = 1 kg
चीनी = 300 x 4g = 1200 g = 1.200kg
घी = 200 x 4g = 800 g
पानी = 200 x 4g = 800 g.

प्रश्न 3.
एक पैमाने का चुनाव करते हुए, अपनी कक्षा के कमरे का मानचित्र खींचिए, जिसमें खिड़कियाँ, दरवाजे, ब्लैकबोर्ड इत्यादि दर्शाए गए हों (एक उदाहरण यहाँ दिया है।

हल: माना की पैमाना 1 : 40 है, तब
मानचित्र इस प्रकार है –

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 13.2)

प्रश्न 1.
सीधा समानुपात (विचरण) की अब तक हल की गई समस्याओं में से कुछ को लीजिए। क्या आप सोचते हैं कि इन समस्याओं को इकाई की विधि या ऐकिक विधि (unitary method) से हल किया जा सकता है?
हल:
हाँ, इन समस्याओं को ऐकिक विधि से हल किया जा सकता है।
हम यहाँ प्रश्नावली 13.1 से प्रश्न 4 एवं प्रश्न 10 को हल करते हैं –
प्रश्न 4 का हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 219

इन्हें कीजिए (क्रमांक 13.4)

प्रश्न 1.
एक वर्गांकित कागज लीजिए और उस पर 48 काउंटरों (counters) को पंक्तियों की विभिन्न संख्याओं में नीचे दर्शाए अनुसार व्यवस्थित कीजिए –


आप क्या देखते हैं? जब R में वृद्धि होती है, तो C में कमी होती है।

1. क्या R₁ : R₂ = C₂ : C₁ है?
2. क्या R₃ : R₄ = C₄ : C₃
3. क्या R और C परस्पर व्युत्क्रमानुपाती है?

इस क्रियाकलाप को 36 काउंटरों के साथ प्रयास कीजिए।
हल:
C₁ → 24
C₂ → 16
C₅ → 6
हम यहाँ देखते हैं कि R में वृद्धि होती है तो C में कमी होती

1. R₁ : R₂ = 2 : 3 और
C₂ : C₁ = 16 : 24 = 2 : 3
R₁ : R₂ = C₂ : C₁

2. R₃ : R₄ = 4 : 6 = 2 : 3 और
C₄ : C₃ = 8 : 12 = 2 : 3
R₃ : R₄ = C₄ : C₃

3. हाँ, R और C परस्पर व्युत्क्रमानुपाती हैं। उत्तर अब, 36 काउण्टरों के साथ क्रियाकलाप।

सूचना को सारणी के रूप में लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं –

हम देखते हैं कि R में वृद्धि होती है, तो C में कमी होती हैं।

1. R₁ : R₂ = 2 : 3 और C₂ : C₁ = 12 : 18 = 2 : 3
R₁ : R₂ = C₂ : C₁

2. R₃ : R₄ = 4 : 6 = 2 : 3 और C₄ : C₃ = 6 : 9 = 2 : 3
R₃ : R₄ = C₄ : C₃

3. हाँ, R और C परस्पर व्युत्क्रमानुपाती हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 14.2)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणियों को देखिए तथा ज्ञात कीजिए कि कौन-कौन से चरों (यहाँ x और y) के युग्म परस्पर प्रतिलोम समानुपात में हैं –

हल:
(i) हम देखते हैं कि
x × y = 50 x 5 ≠ 40 x 6 ≠ 30 x 7 ≠ 20 x 8
अतः x और y परस्पर प्रतिलोम समानुपात में नहीं हैं।

(ii) हम देखते हैं कि
x × y = 100 x 6 = 200 x 30 = 300 x 20
= 400 x 15 = अचर
अतः x और y परस्पर प्रतिलोम समानुपात में हैं।

(iii) हम देखते हैं कि
x × y = 90 x 10 = 60 x 15 = 45 x 20 ≠ 30 x 25 ≠ 20 x 30 ≠ 5 x 35
अतःx और , परस्पर प्रतिलोम समानुपात में नहीं हैं।

सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन प्रतिलोम अनुपात में हैं?

1. किसी कार्य पर लगे व्यक्तियों की संख्या और उस कार्य को पूरा करने में लगा समय।
2. एक समान चाल से किसी यात्रा में लिया गया समय और दूरी।
3. खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल।
4. एक निश्चित यात्रा में लिया गया समय और वाहन की चाल।
5. किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।

उत्तर:

1. प्रतिलोम अनुपात
2. अनुक्रमानुपाती
3. अनुक्रमानुपाती
4. प्रतिलोम अनुपात
5. प्रतिलोम अनुपात।

प्रश्न 2.
एक टेलीविजन गेम शो (game show) में ₹ 1,00,000 की पुरस्कार राशि विजेताओं में समान रूप से वितरित की जाती है। निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार की धनराशि विजेताओं की संख्या के अनुक्रमानुपाती है या व्युत्क्रमानुपाती है?

हल:
स्पष्ट है कि विजेताओं की संख्या बढ़ने पर पुरस्कार की धनराशि कम हो जाएगी।
विजेताओं की संख्याओं के लिए धनराशि –

• 4 → ₹ 25,000
• 5 → ₹ 20,000
• 8 → ₹ 12,500
• 10 → ₹ 10,000
• 20 → ₹ 5,000

यहाँ, एक विजेता को दी गई धनराशि विजेताओं की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है।

प्रश्न 3.
रहमान तीलियों या डंडियों का प्रयोग करते हुए, एक पहिया बना रहा है। वह समान तीलियाँ इस प्रकार लगाना चाहता है कि किन्हीं भी क्रमागत तीलियों के युग्मों के बीच के कोण बराबर हैं।

निम्नलिखित सारणी को पूरा करके उसकी सहायता कीजिए –

1. क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में हैं?
2. 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण परिकलित कीजिए।
3. यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी?

हल:
यहाँ यह स्पष्ट है कि तीलियों की संख्या अधिक होगी तो क्रमागत तीलियों के युग्मों के बीच कोण का माप कम होगी।

1. हाँ, तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में हैं। उत्तर

2. माना कि 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण = x है।

प्रश्न 4.
यदि किसी डिब्बे की मिठाई को 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 5 मिठाइयाँ मिलती हैं। यदि बच्चों की संख्या में 4 की कमी हो जाए, तो प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?
हल:
क्योंकि बच्चों की संख्या में 4 की कमी हो जाती है, तो
बच्चों की संख्या = 24 – 4 = 20
माना कि अब प्रत्येक को x मिठाइयाँ मिलती हैं,
अब, सूचना को सारणी के रूप में रखने पर,

बच्चों की संख्या कम होने से बच्चों को अधिक मिठाइयाँ मिलेंगी।
अत: यह एक व्युत्क्रमानुपात की स्थिति हैं।
24 x 5 = 20 × x
x = = 6
इसलिए, प्रत्येक बच्चे को 6 मिठाइयाँ मिलेंगी।

प्रश्न 5.
एक किसान की पशुशाला में 20 पशुओं के लिए 6 दिन का पर्याप्त भोजन है। यदि इस पशुशाला में 10 पशु और आ जाएँ, तो यह भोजन कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?
हल:
अब,पशुओं की संख्या = 20 + 10 = 30
मानाकि भोजन 30 पशुओं के दिन तक पर्याप्त रहेगा। हम निम्न सारणी प्राप्त करते हैं –

जितने पशु अधिक होंगे उतने ही कम समय में भोजन समाप्त हो जाएगा।
अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 20 x 6 = 30 x y
या y = = 4 दिन
अतः भोजन 4 दिन तक पर्याप्त रहेगा।

प्रश्न 6.
एक ठेकेदार यह आकलन करता है कि जसमिंदर के घर में पुनः तार लगाने का कार्य 3 व्यक्ति 4 दिन में कर सकते हैं। यदि वह तीन के स्थान पर चार व्यक्तियों को इस काम पर लगाता है, तो यह कार्य कितने दिन में पूरा हो जाएगा?
हल:
व्यक्तियों की संख्या अधिक होने पर कार्य जल्दी समाप्त हो जाएगा।
माना कार्य x दिन में समाप्त हो जाएगा। अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
3 व्यक्ति : 4 व्यक्ति = x दिन : 4 दिन
x = = 3 दिन
अतः कार्य 3 दिन में समाप्त हो जाएगा।

प्रश्न 7.
बोतलों के एक बैच (Batch) को 25 बक्सों में रखा जाता है, जबकि प्रत्येक बक्स में 12 बोतलें हैं। यदि इसी बैच की बोतलों को इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक बक्स में 20 बोतलें हों, तो कितने बक्स भरे जाएँगे?
हल:
माना कि बक्स में 20 बोतलें रखने पर x बक्सों की आवश्यकता होती है, तब

प्रत्येक बक्स में बोतलों की संख्या अधिक रखने पर कम बक्सों की आवश्यकता होगी।
अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 25 x 12 =xx 20
x =
= 15 बक्से
अतः 15 बक्से भरे जायेंगे।

प्रश्न 8.
एक फैक्ट्री को कछ वस्तएँ 63 दिन में बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। उतनी ही वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए, कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?
हल:
मानाकि x मशीनों की आवश्यकता होती है। तब

दिनों की संख्या कम करने पर अधिक मशीनों की आवश्यकता होगी।
अतः यहाँ प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 42 x 63 = x x 54
या x = = 49
अतः आवश्यक मशीनों की संख्या = 49

प्रश्न 9.
एक कार एक स्थान तक पहुँचने में 60 km/h की चाल से चलकर 2 घण्टे का समय लेती है। 80 km/h की चाल से उस कार को कितना समय लगेगा?
हल:
मानाकि कार को 80 km/h की चाल से चलने पर x घण्टे लगते हैं, तब

कार की चाल अधिक हो जाने पर उसे कम समय लगेगा।
अतः यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 60 x 2 = 80 × x
या x =
x =
= 3 घण्टे
अत: कार को 11 घण्टा लगेगा।

प्रश्न 10.
दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ 3 दिन में लगा सकते हैं।

1. कार्य प्रारम्भ होने से पहले, एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। अब यह कार्य कितने दिन में पूरा हो पाएगा?
2. एक ही दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए, कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

हल:
1. माना कि खिड़कियाँ लगाने में x दिन लगते हैं, तब

व्यक्तियों की संख्या कम होने से खिड़कियाँ लगाने में अधिक दिन लगेंगे।
अतः यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 2 x 3 = 1 × x
x =
= 6 दिन
अतः 1 व्यक्ति 6 दिन में कार्य पूरा करेगा।

2. माना कि 1 दिन में खिड़कियाँ लगाने के लिएx व्यक्तियों की आवश्यकता होगी, तब

दिनों की संख्या कम हो जाने से अधिक व्यक्तियों की आवश्यकता होगी।
अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 2 x 3 = x × 1
x = = 6 व्यक्ति
अतः 1 दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए आवश्यक व्यक्तियों की संख्या =6

प्रश्न 11.
किसी स्कूल में, 45 मिनट अवधि के 8 कालांश होते हैं। यह कल्पना करते हुए कि स्कूल का कार्य समय उतना ही रहता है, यदि स्कूल में बराबर अवधि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश कितने समय का होगा?
हल:
माना कि कालांश का समय x मिनट है, तब

कालांश अधिक हो जाने पर समय अवधि कम हो जाएगी।
अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 8 x 45 = 9 × x
x = = 40 मिनट
अतः प्रत्येक कालांश का समय 40 मिनट होगा।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 223

इन्हें कीजिए (क्रमांक 13.5)

प्रश्न 1.
एक कागज की शीट लीजिए। उसे आकृति में दर्शाए अनुसार मोड़िए। प्रत्येक स्थिति में, भागों की संख्या तथा एक भाग का क्षेत्रफल लिखिए।

अपने प्रेक्षण की सारणी बनाइए और उसकी अपने मित्रों से चर्चा कीजिए। क्या यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है? क्यों?

हल:

अतः यहाँ एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
क्योंकि भागों की संख्या बढ़ने पर क्षेत्रफल में कमी हो जाती है।

प्रश्न 2.
वृत्तीय आधार वाले विभिन्न मापों के कुछ बर्तन लीजिए। प्रत्येक बर्तन में पानी की समान मात्रा भरिए। प्रत्येक बर्तन का व्यास और उस बर्तन में पानी किस ऊँचाई तक है उसे मापकर लिखिए। अपने प्रेक्षणों की एक सारणी बनाइए। क्या यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है?

हल:
सारणी

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात, Study Learner