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NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 13 घातांक और घात

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NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 13 घातांक और घात

NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 13 घातांक और घात

घातांक और घात Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 26
(ii) 93
(iii) 112
(iv) 54
हल:
(i) 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(iii) 93 = 9 × 9 × 9 = 729
(iii) 112 = 11 × 11 = 121
(iv) 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) t × t
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल:
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 64
(ii) t × t = t2
(iii) b × b × b × b = b4
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 52 × 73
(v) 2 × 2 × a × a = 22 × a2
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d = a3 × c4 × d

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :
(i) 512
(ii) 343
(iii) 729
(iv) 3125
हल:


प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :
(i) 43 या 34
(ii) 53 या 35
(iii) 28 या 82
(iv) 1002 या 2100
(v) 210 या 102
हल:
(i) ∵ 43 = 4 × 4 × 4 = 64
और 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
∵ 81 > 64 ∴ 34 > 43
अतः 34 बड़ा है।

(ii) ∵ 53 = 5 × 5 × 5 = 125
और 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
∵ 243 > 125 ∴ 35 > 53
अतः 35 बड़ा है।

(iii) ∵ 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 256
और 82 = 8 × 8 = 64
∵ 256 > 64 ∴ 28 > 82
अतः 28 बड़ा है।

(iv) ∵ 1002 = 100 × 100 = 10000
और 2100 = (210)10
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)10
= (1024)10 = (1024)5×2
= (1024 × 1024)5
= (1048576)5
∵ 1048576 > 10000
∴ (1048576)5 > 1002
या (210)10 > 1002 या 2100 > 1002
अत: (210)10 बड़ा है।

(v) ∵ 210 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 1024
और 102 = 10 × 10 = 100
∵ 1024 > 100, ∴ 210 > 102
अतः 210 बड़ा है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल:
(i) 648

∴ 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 23 × 34

(ii)405

∴ 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= 34 × 5

(iii) 540

∴ 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 22 × 33 × 5

(iv) 3600

∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 24 × 32 × 52

प्रश्न 6.
सरल कीजिए:
(i) 2 × 103
(ii) 72 × 22
(iii) 23 × 5
(iv) 3 × 44
(v) 0 × 102
(vi) 52 × 33
(vii) 24 × 32
(viii) 32 × 104
हल:
(i) 2 × 103 = 2 × 1000 = 2000
(ii) 72 × 22 = 49 × 4 = 196
(iii) 23 × 5 = 8 × 5 = 40
(iv) 3 × 44 = 3 × 256 = 768
(v) 0 × 102 = 0 × 100 = 0
(vi) 52 × 33 = 25 × 27 = 675
(vii) 24 × 32 = 16 × 9 = 144
(viii) 32 × 104 = 9 × 10000 = 90000

प्रश्न 7.
सरल कीजिए:
(i) (-4)3
(ii) (-3) × (-2)3
(iii) (-3)2 × (-5)2
(iv) (-2)3 × (-10)3
हल:
(i) (-4)3 = (-4) × (-4) × (-4)
= -64

(ii) (-3) × (-2)3 = (-3) (-2) (-2) (-2)
= (-3) × (-8) = 24

(iii) (-3)2 × (-5)2 = (-3) (-3) (-5) (-5)
= 9 × 25 = 225

(iv) (-2)3 × (-10)3 = (-2)(-2)(-2) (-10) (-10) (- 10)
= (-8) × (-1000) = 8000

प्रश्न 8.
निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :
(i) 2.7 × 1012; 1.5 × 108
(ii) 4 × 1014;3 × 1017
हल:

(ii) ∵ 4 × 1014 में 15 अंक होंगे
और 3 × 1017 में 18 अंक होंगे।
∴ 4 × 1014 < 3 × 1017

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 270

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 25 × 23
(ii) p3 × p2
(iii) 43 × 42
(iv) a3 × a2 × a7
(v) 53 × 57 × 512
(vi) (-4)100 × (-4)20
हल:
(i) 25 × 23 = 25+3 = 28
(ii) p3 × p2 = p3+2 = p5
(iii) 43 × 42 = 43+2 = 45
(iv) a3 × a2 × a7 = a3+2+7 = a12
(v) 53 × 57 × 512 = 53+7+12 = 522
(vi) (-4)100 × (-4)20 = (-4)100+20 = (-4)120

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 271

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए : उदाहरण के लिए, 116 + 113 = 114
(i) 29 ÷ 23
(ii) 108 ÷ 104
(iii) 911 ÷ 97
(iv) 2015 ÷ 2013
(v) 713 ÷ 710
हल:
(i) 29 ÷ 23 = 29-3 = 26
(ii) 108 ÷ 104 = 108-4 = 104
(iii) 911 ÷ 97 = 911-7 = 94
(iv) 2015 ÷ 2013 = 2015-13 = 202
(v) 713 ÷ 710 = 713-10 = 73

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके, उत्तर को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) (62)4
(ii) (22)100
(iii) (750)2
(iv) (53)7
हल:
(i) (62)4 = 62×4 = 68
(ii) (22)100 = 22×100 = 2200
(iii) (750)2 = 750×2 = 7100
(iv) (53)7 = 53×7 = 521

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 273

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
am × bm = (ab)m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 43 × 23
(ii) 25 × b5
(iii) a2 × t2
(iv) 56 × (-2)6
(v) (-2)4 × (-3)4
हल:
(i) 43 × 23 = (4 × 2)3 = (8)3
(ii) 25 × b5 = (2 × b)5 = (2b)5
(iii) a2 × t2 = (a × t)2 = (at)2
(iv) 56 × (-2)2 = {5 × (-2)}2
= (-10)6 = (10)6
(v) (-2)4 × (-3)4 = {(-2) × (-3)}4 = (6)4

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
am + bm = ()m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 45 ÷ 35
(ii) 25 ÷ b5
(iii) (-2)3 ÷ b3
(iv) p4 ÷ q4
(v) 56 ÷ (-2)6
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 276

घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 32 × 34 × 38
(ii) 615 ÷ 610
(iii) a3 × a2
(iv) 7x × 72
(v) (52)3 ÷ 53
(vi) 25 × 55
(vii) a4 × b4
(viii) (34)3
(ix) (220 ÷ 215) × 23
(x) 8t ÷ 82
हल:
(i) 32 × 34 × 38 = 32+4+8 = 314
(∵ am × an × ar = am+n+r)

(ii) 615 ÷ 610 = 615-10
(∵ am ÷ an = am-n)
= 65

(iii) a3 × a2 = a3+2
(∵ am × an = am+n)
= a5

(iv) 7x × 72 = 7x+2
(∵ am × an = am+n)

(v) (52)3 ÷ 53 = 52×3 ÷ 53 = 56 ÷ 53
[∵ (am)n = amn, am ÷ an = am-n)]
= 56-3 = 53

(vi) 25 × 55 = (2 × 5)5 [∵ am × bm = (ab)m]
= 105

(vii) a4 × b4 = (a × b)4 [∵ am × bm = (ab)m]
= (ab)4

(viii) (34)3 = 34×3 [∵ (a) = (am)n = amn]
= 312

(ix) (220 ÷ 215) × 23 = (220-15) × 23
[∵ am ÷ an = am-n, am × an = am+n]
= 25 × 23 = 25+3 = 28

(x) 8t ÷ 82 = 8t-2 (∵ am + an = am-n)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:


हल:

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 1011 = 10011
(ii) 23 > 52
(iii) 23 × 32 = 65
(iv) 30 = (1000)0
हल:
(i) L.H.S. = 10 × 1011 = 1012
और R.H.S. = (100)11 = (102)11
= 102×11 = 1022
∴ 10 × 1011 ≠ 10011
अत: कथन असत्य है।
यहाँ L.H.S ≠ R. H. S.

(ii) L.H.S. = 23 = 2 × 2 × 2 = 8
और R.H.S. = 52 = 5 × 5 = 25
यहाँ L.H.S. < R. H. S.
8 < 25 अर्थात् 23 < 52
अत: कथन असत्य है।

(iii) ∵ L.H.S. = 23 × 32 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 72
R.H.S. = 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
= 7,776
यहाँ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ 72 ≠ 7,776 अर्थात् 23 × 32 ≠ 65
अत: कथन असत्य है।

(iv) 30 = (1000)0
∵ 30 = 1 और (1000)0 = 1
यहाँ L.H.S. = R.H.S.
∴ 30 = (1000)0
अत: कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 108 × 192
(ii) 270
(iii) 729 × 64
(iv) 768
हल:

∵ 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33
और 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 26 × 3
∴ 108 × 192 = 22 × 33 × 26 × 3
= 28 × 34


∴ 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 × 33 × 5


∵ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36
और 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26
∴ 729 × 64 = 36 × 26


∴ 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 28 × 31 = 28 × 3

प्रश्न 5.
सरल कीजिए :

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 277

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
10 की घातों का प्रयोग करते हुए घातांकीय रूप में प्रसारित कीजिए:
(i) 172
(ii) 5643
(iii) 56439
(iv) 176428
हल:
(i) 172 = 1 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1
= 1 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100

(ii) 5643 = 5 × 1000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1
= 5 × 103 + 6 × 102 + 4 × 101 + 3 × 100

(iii) 56439 = 5 × 10000 + 6 × 1000 + 4 × 100 +3 × 10 + 9 × 1
= 5 × 104 + 6 × 103 + 4 × 102 + 3 × 101 + 9 × 100

(iv) 176428 = 1 × 100000 + 7 × 10000 + 6 × 1000 +4 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1
= 1 × 105 + 7 × 104 + 6 × 103
+4 × 102 + 2 × 101 + 8 × 100

घातांक और घात Ex 13.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को प्रसारित रूप में लिखिए :
279404, 3006194, 2806196, 120719, 20068
हल:
(i) 279404
= 2 × 100000 + 7 × 10000 + 9 × 1000
+ 4 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1
= 2 × 105 + 7 × 104 + 9 × 103 + 4 × 102
+ 0 × 101 + 4 × 100

(ii) 3006194
= 3 × 1000000 + 0 × 100000 + 0 × 10000
+ 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 4 × 1
= 3 × 106 + 0 × 105 + 0 × 104 + 6 × 103
+ 1 × 102 + 9 × 101 + 4 × 100

(ii) 2806196
= 2 × 1000000 + 8 × 100000 + 0 × 10000
+ 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 6 × 1
= 2 × 106 + 8 × 105 + 0 × 104 + 6 × 103
+ 1 × 102 + 9 × 101 + 6 × 100

(iv) 120719
= 1 × 100000 + 2 × 10000 + 0 × 1000
+ 7 × 100 + 1 × 10 + 9 × 1
= 1 × 105 + 2 × 104 + 0 × 103 + 7 × 102
+ 1 × 101 + 9 × 100

(v) 20068
= 2 × 10000 + 0 × 1000 + 0 × 100
+ 6 × 10 + 8 × 1 = 2 × 104 + 0 × 103 + 0 × 102
+ 6 × 101 + 8 × 100

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारित रूपों में से प्रत्येक के लिए संख्या ज्ञात कीजिए:
(a) 8 × 104 + 6 × 103 + 0 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100
(b) 4 × 105 + 5 × 103 + 3 × 102 + 2 × 100
(c) 3 × 104 + 7 × 102 + 5 × 100
(d) 9 × 105 + 2 × 102 + 3 × 101
हल:
(a) 8 × 104 + 6 × 103 + 0 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100
= 8 × 10000 + 6 × 1000 + 0 × 100 +4 × 10 + 5 × 1
= 80000 + 6000 + 0 + 40 + 5
= 86045

(b) 4 × 105 + 5 × 103 + 3 × 102 + 2 × 100
= 4 × 100000 + 5 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 1
= 400000 + 5000 + 300 + 2
= 405302

(c) 3 × 104 + 7 × 102 + 5 × 100
= 3 × 10000 + 7 × 100 + 5 × 1
= 30000 + 700 + 5
= 30705

(d) 9 × 105 + 2 × 102 + 3 × 101
= 9 × 100000 + 2 × 100 + 3 × 10
= 900000 + 200 + 30
= 900230

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 5,00,00,000
(ii) 70,00,000
(iii) 3,18,65,00,000
(iv) 3,90,878
(v) 39087.8
(vi) 3908.78
हल:
(i) 5,00,00,000 = 5 × 10000000
= 5 × 107

(ii) 70,00,000 = 7 × 1000000
= 7 × 106

(iii) 3,18,65,00,000 = 3.186500000 × 109
= 3.1865 × 109

(iv) 3,90,878 = 3.90878 × 105

(v) 39087.8 = 3.90878 × 104

(vi) 3908.78 = 3.90878 × 103

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों में प्रकट होने वाली (आने वाली) संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी 3,84,000,000 m है।
(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल (या वेग) 3,00,000,000 m/sec है।
(c) पृथ्वी का व्यास 1,27,56,000 m है।
(d) सूर्य का व्यास 1,400,000,000 m है।
(e) एक आकाशगंगा में औसतन 100,000,000,000 तारे हैं।
(f) विश्व मण्डल (या सौर मण्डल) 12,000,000,000 वर्ष पुराना है।
(g) आकाशगंगा के मध्य से सूर्य की दूरी 300,000,000,000,000,000,000 m आंकलित की गई है।
(h) 1.8 g भार वाली पानी की एक बूंद में 60,230,000,000,000,000,000,000 अणु (molecules) होते हैं।
(i) पृथ्वी में 1,353,000,000 km3 समुद्र जल है।
(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या 1,027,000,000 थी।
हल:
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी
= 3,84,000,000 m
= 3.84000,000 × 108 = 3.84 m × 108 m

(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल
= 3.00,000,000 m/sec = 3 × 108 m/sec

(c) पृथ्वी का व्यास = 12756000 m
= 1.2756000 × 107 m = 1.2756 × 107 m

(d) सूर्य का व्यास = 1,400,000,000m
= 1.400,000,000 × 109 m
= 1.4 × 109 m

(e) एक आकाशगंगा में औसतन तारे
= 1,00.000.000,000 = 1 × 1011

(f) विश्वमण्डल पुराना है = 12,000,000,000
= 1.2 × 1010 वर्ष

(g) आकाश गंगा से सूर्य की दूरी
= 300,000,000,000,000,000,000 m
= 3 × 1020 m

(h) 1.8g भार वाली पानी की बँद में अण
= 60,230,000,000,000,000,000,000
= 6.023 × 1022

(i) पृथ्वी में समुद्र जल
= 1,353,000,000 km3
= 1.353 × 109 km3

(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या
= 1,027,000,000 = 1.027 × 109

NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 13 घातांक और घात, Study Learner


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