RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना

RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना

प्रारंभिक आकारों को समझना

प्रारंभिक आकारों को समझना

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 96

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
अन्य कौन-सी त्रुटियाँ और कठिनाइयाँ हमारे सम्मुख आ सकती हैं ?
उत्तर-

• प्रेक्षण लेने में त्रुटियाँ हो सकती हैं। हमारे प्रेक्षण सदैव सही नहीं होते।
• रेखाओं को ट्रेस करने में, तुलना करने में कठिनाई हो सकती है।
• पैमाने की मोटाई अधिक होने से लम्बाई नापने में त्रुटि हो सकती है। पैमाने को उचित चिह्न पर न रखने पर अथवा दूसरे कोने पर चिह्न को पढ़ने में त्रुटि हो सकती है।

इन त्रुटियों से बचने के लिए डिवाइडर का प्रयोग कर सकते हैं।

प्रश्न 2.
यदि रूलर पर अंकित चिन्हों को ठीक प्रकार से न पढ़ा जाए, तो किस प्रकार की त्रुटि हो सकती है ? इससे कैसे बचा जा सकता है ?
उत्तर-
रूलर से सही माप लेने के लिए आँख सही स्थान पर स्थित होनी चाहिए। आँख को चिह्न के ठीक ऊपर रखना चाहिए। आँख से तिरछा देखने पर चिह्न को पढ़ने में त्रुटि हो सकती है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 97

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक पोस्टकार्ड लीजिए। उपर्युक्त तकनीक का प्रयोग करके, उसकी दो आसन्न भुजाओं को मापिए।
हल :
पोस्टकार्ड की दो आसन्न भुजाओं की लम्बाई क्रमशः 14 सेमी व 9 सेमी है।

प्रश्न 2.
कोई तीन वस्तुएँ चुनिए जिनके ऊपरी सिरे सपाट हों। डिवाइडर और रूलर का प्रयोग करते हुए, इन ऊपरी सिरों की सभी भुजाओं को मापिए।।
हल :
तीन वस्तुएँ-

• गणित की कक्षा 6 की पुस्तक,
• अभ्यास पुस्तिका,
• फोटो फ्रेम।

इनकी माप निम्नांकित है

• गणित की कक्षा 6 की पुस्तक : 27.5 सेमी, 21 सेमी, 27-5 सेमी, और 21 सेमी।
• अभ्यास पुस्तिका : 20 सेमी, 16 सेमी, 20 सेमी और 16 सेमी।
• फोटोफ्रेम : 25 सेमी, 20 सेमी, 25 सेमी और 20 सेमी।

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.1

प्रश्न 1.
रेखाखण्ड की तुलना केवल देखकर करने से क्या हानि है ?
हल :
रेखाखण्ड की तुलना केवल देखकर करने पर अधिक त्रुटियाँ होने की सम्भावना है।

प्रश्न 2.
एक रेखाखण्ड की लम्बाई मापने के लिए रूलर की अपेक्षा डिवाइडर का प्रयोग करना क्यों अधिक अच्छा है ?
हल :
रूलर की अपेक्षा डिवाइडर का उपयोग करने से रेखाखण्ड की सही माप सम्भव है।

प्रश्न 3.

(टिप्पणी: यदि किसी रेखा पर बिन्दु A, B, C इस प्रकार स्थित हों कि AC + CB = AB है, तो निश्चित रूप से बिन्दु C बिन्दु A और B के बीच स्थित होता है।)
हल :
रेखाखण्डों AB, BC और AC की लम्बाइयाँ निम्नलिखित हैं

AC = 3.2 सेमी,
BC = 1.4 सेमी,

∵AC + BC = 3.2 सेमी + 1.4 सेमी
= 4.6 सेमी = AB
AB = AC + BC है।

प्रश्न 4.
एक रेखाखण्ड पर बिन्दु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि AB = 5 सेमी, BC = 3 सेमी और AC = 8 सेमी है। इनमें से कौन-सा बिन्दु अन्य दोनों बिन्दुओं के बीच स्थित है ?
हल :
∵AB = 5 सेमी, BC = 3 सेमी
लेकिन AC = 8 सेमी
∴AB + BC = 5 सेमी + 3 सेमी
= 8 सेमी = AC

∴बिन्दु B, A और C के बीच में है।

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि संलग्न आकृति में D रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है।

हल :
∴AD = AB + BC + CD = 3 इकाई
और DG = DE + EF + FG = 3 इकाई
∴AD = DG (प्रत्येक = 3 इकाई)

प्रश्न 6.

हल :
∵ B, AC मध्य का मध्य-बिन्दु है,
∴AB = BC
इसी प्रकार C, BD का मध्य-बिन्दु है,
∴BC = CD
अतः AB = BC = CD
अर्थात् AB = CD

प्रश्न 7.
पाँच त्रिभुज खींचिए और इनकी भुजाओं को मापिए। प्रत्येक स्थिति में जाँच कीजिए कि किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से सदैव बड़ा है।
हल :
(1) ABC में,
AB = 1.7 सेमी, BC = 3 सेमी
और
AC = 2.3 सेमी

∴AB + BC = 1.7 सेमी + 3 सेमी = 4.7 सेमी
और BC + CA = 3 सेमी + 2.3 = 5.3 सेमी;
AC + AB = 2.3 सेमी + 1.7 सेमी = 4.0 सेमी
∵4.7 सेमी > 2.3 सेमी
∴ AB + BC > AC इसी प्रकार (BC + AC) > AB ; (AB + AC) > BC

(2) ∆PQR में,
PQ = 3 सेमी, QR = 3 सेमी और PR = 3 सेमी

∴PQ + QR= 3 सेमी + 3 सेमी = 6 सेमी
∵6 सेमी > 3 सेमी
∴(PQ + QR) > RP
इसी प्रकार, (QR + RP) > PQ
(RP + PQ) > QR

(3) ∆XYZ में,
XY = 3 सेमी, YZ = 4 सेमी और ZX = 5 सेमी

अब ∵ XY + YZ = 3 सेमी + 4 सेमी = 7 सेमी
YZ + ZX= 4 सेमी + 5 सेमी = 9 सेमी
ZX + XY = 5 सेमी + 3 सेमी = 8 सेमी
∴(XY + YZ) > ZX ,
(YZ + ZX) > XY
और (ZX + XY) > YZ

(4) ∆KLM में,
∵KL = 1.5 सेमी, LM = 2.5 सेमी, और MK = 2 सेमी
अब, ∵LK + LM = 1.5 सेमी + 2.5 सेमी = 4 सेमी

LM + MK = 2.5 सेमी + 2 सेमी = 4.5 सेमी
MK + KL = 2 सेमी + 1.5 सेमी = 3.5 सेमी
∴(KL + LM) > MK
(LM + MK) > KL
और (MK + KL) > LM

(5) ∆ABC में,
∵AB = 2.5 सेमी, BC = 2.8 सेमी और CA = 4.8 सेमी

अब, ∵AB + BC = 2.5 सेमी + 2.8 सेमी = 5.3 सेमी
BC + CA = 2.8 सेमी + 4.8 सेमी = 7.6 सेमी
CA + AB = 4.8 सेमी + 2.5 सेमी = 7.3 सेमी
∴(AB + BC) > CA
(BC + CA) > AB
और (CA + AB) > BC
उपर्युक्त सभी स्थितियों में त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से बड़ा है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 99

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
आधे घूर्णन के लिए कोण का नाम क्या है?
उत्तर-
आधे घूर्णन के लिए कोण का नाम सरल कोण (दो समकोण) है। .

प्रश्न 2.
एक-चौथाई घूर्णन के लिए कोण का नाम क्या है?
उत्तर-
एक-चौथाई धूर्णन के लिए कोण का नाम एक समकोण है।

प्रश्न 3.
एक घड़ी पर आधे घूर्णन, एक-चौथाई घूर्णन और तीन-चौथाई घूर्णन के लिए पाँच अन्य स्थितियाँ दीजिए।
हल :
(1) आधे घूर्णन के लिए स्थितियाँ :
(i) 12 से 6
(ii) 3 से 9
(iii) 1 से 7
(iv) 2 से 8
(v) 4 से 10

(2) एक-चौथाई घूर्णन के लिए स्थितियाँ :
(i) 12 से 3
(ii) 1 से 4
(iii) 2 से 5
(iv) 9 से 12
(v) 7 से 10

(3) तीन-चौथाई घूर्णन के लिए स्थितियाँ :
(i) 2 से 11
(ii) 3 से 12
(iii) 4 से 1
(iv) 5 से 2
(v) 6 से 3

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 100-101

प्रश्न 1.
घड़ी की घण्टे वाली सुई एक घूर्णन में कितना घूम सकती है, जब वह :
(a) 3 से 9 तक पहुँचती है ?
(b) 4 से 7 तक पहुँचती है ?
(c) 7 से 10 तक पहुँचती है ?
(d) 12 से 9 तक पहुँचती है ?
(e) 1 से 10 तक पहुँचती है ?
(f) 6 से 3 तक पहुँचती है ?
हल :

प्रश्न 2.
एक घड़ी की सुई कहाँ तक जाएगी, यदि वह :
(a) 12 से प्रारम्भ करे और घड़ी की दिशा में घूर्णन करे?
(b) 2 से प्रारम्भ करे और घड़ी की दिशा में घूर्णन करे?
(c) 5 से प्रारम्भ करे और घड़ी की दिशा में घूर्णन करे?
(d) 5 से प्रारम्भ करे और घड़ी की दिशा में घूर्णन करे ?
हल :

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.
आप एक घूर्णन का कितना भाग घूम जाएँगे, यदि आप:
(a) पूर्व की ओर मुख किए खड़े हों और घड़ी की दिशा में घूमकर उत्तर की ओर मुख कर लें ?
(b) दक्षिण की ओर मुख किए खड़े हों और घड़ी की दिशा में घूमकर पूर्व की ओर मुख कर लें।
(c) पश्चिम की ओर मुख किए खड़े हों और घड़ी की दिशा में घूमकर पूर्व की ओर मुख कर लें ?
हल :

प्रश्न 5.
घड़ी की घण्टे की सुई द्वारा घूमे गए समकोणों की संख्या ज्ञात कीजिए, जब वह :
(a) 3 से 6 तक पहुँचती है।
(b) 2 से 8 तक पहुँचती है।
(c) 5 से 11 तक पहुँचती है।
(d) 10 से 1 तक पहुँचती है।
(e) 12 से 9 तक पहुँचती है।
(f) 12 से 6 तक पहुँचती है।
हल :
(a) 1 समकोण
(b) 2 समकोण
(c) 2 समकोण
(d) 1 समकोण
(e) 3 समकोण
(f) 2 समकोण।

प्रश्न 6.
आप कितने समकोण घूम जाएँगे, यदि आप प्रारम्भ में :
(a) दक्षिण की ओर देख रहे हों और घड़ी की दिशा में पश्चिम की ओर घूम जाएँ?
(b) उत्तर की ओर देख रहे हों और घड़ी की विपरीत (वामावत) दिशा में पूर्व की ओर घूम जाएँ?
(c) पश्चिम की ओर देख रहे हों और पश्चिम की ओर घूम जाएँ?
(d) दक्षिण की ओर देख रहे हों और उत्तर की ओर घूम जाएँ?
हल :
(a) दक्षिण की ओर देख रहे हों और घड़ी की दिशा में पश्चिम की ओर घूम जाएँ, तो अभीष्ट समकोण = 1 समकोण

(b) उत्तर की ओर देश रहे हों और घड़ी की विपरीत दिशा में पूर्व की ओर घूम जाएँ, तो अभीष्ट समकोण = 3 समकोण
(c) पश्चिम की ओर देख रहे हों और पश्चिम की ओर घूम जाएँ, तो अभीष्ट समकोण = 4 समकोण
(d) दक्षिण की ओर देख रहे हों और उत्तर की ओर घूम जाएँ, तो अभीष्ट समकोण = 2 समकोण

प्रश्न 7.
घड़ी की घण्टे वाली सुई कहाँ रुकेगी, यदि वह प्रारम्भ करे:
(a) 6 से और 1 समकोण घूम जाए ?
(b) 8 से और 2 समकोण घूम जाए ?
(c) 10 से और 3 समकोण घूम जाए ?
(d) 7 से और 2 ऋजु कोण घूम जाए ?
हल :
(a) 6 से प्रारम्भ करके सुई 1 समकोण घूम जाए
∴ 6 + 1 समकोण = 6 + 3 = 9
अत: घड़ी की सुई 9 पर रुकेगी।

(b) 8 से प्रारम्भ करके सुई 2 समकोण घूम जाए,
∴ 8 + 2 समकोण = 8 + 2 x 3 = 14 = 12 + 2
अत: घड़ी की सुई 2 पर रुकेगी।

(c) 10 से प्रारम्भ करके सुई 3 समकोण घूम जाए,
∴ 10 + 3 समकोण = 10 + 3 x 3 = 19 = 12 + 7
अतः घड़ी की सुई 7 पर रुकेगी।

(d) 7 से प्रारम्भ करके सुई 2 समकोण घूम जाए,
∴ 7 + 4 समकोण = 7 + 4 x 3 = 19 = 12 + 7
अतः घड़ी की सुई 7 पर रुकेगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 101

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
क्या कुछ ऐसे कोण हैं जो समकोण से छोटे हैं ?
हल :
हाँ, ऐसे कोण हैं जो समकोण से छोटे हैं। ये कोण न्यून कोण कहलाते हैं।

प्रश्न 2.
क्या कुछ ऐसे कोण हैं जो समकोण से बड़े हैं ?
हल :
हाँ, ऐसे कोण हैं जो समकोण से बड़े हैं। ये कोण अधिक कोण कहलाते हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 102

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
घड़ी की घण्टे वाली सुई 12 से 5 तक चलती है। क्या इसका घूर्णन 1 समकोण से अधिक है ?

हल :
हाँ, घण्टे वाली सुई का घूर्णन 1 समकोण से अधिक है।

प्रश्न 2.
घड़ी पर यह कोण कैसा दिखता है ? घड़ी की घण्टे वाली सुई 5 से 7 तक चलती है। क्या इस सुई द्वारा घूमा गया कोण 1 समकोण से अधिक है ?

हल :
नहीं, इस सुई द्वारा घूमा गया कोण 1 समकोण से कम है।

प्रश्न 3.
घड़ी पर सुइयों की स्थिति निम्न प्रकार बनाकर कोणों की जाँच RA टेस्टर द्वारा कीजिए :
(a) 12 से 2 तक जाना
(b) 6 से 7 तक जाना
(c) 4 से 8 तक जाना
(d) 2 से 5 तक जाना।
हल :
(a) 12 से 2 तक जाना – 1 समकोण से कम।
(b) 6 से 7 तक जाना – 1 समकोण से कम।
(c) 4 से 8 तक जाना – 1 समकोण से अधिक
(d) 2 से 5 तक जाना – 1 समकोण

प्रश्न 4.
कोने वाले पाँच भिन्न-भिन्न आकार लीजिए। कोनों के नाम लिखिए। अपने टेस्टर द्वारा इन कोणों की जाँच कीजिए और प्रत्येक स्थिति के परिणाम को एक सारणी के रूप में निम्न प्रकार लिखिए :
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 104

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
आप अपने आस-पास देखिए और कोनों पर मिलने वाले किनारों को पहचानिए, जो कोण बना रहे हों। ऐसी दस स्थितियाँ लिखिए।
उत्तर-

• कमरे की दो दीवारों के कोने,
• परकार की दोनों भुजाओं का मिलान बिन्दु,
• घड़ी की दो सुइयों के बीच का भाग,
• फोटोफ्रेम के आसन्न किनारों के कोने,
• खुली हुई कैंची के फलक,
• दीवार के सहारे फर्श पर रखी सीढ़ी,
• राज मिस्त्री का वर्ग,
• चतुष्फलक के किनारे,
• प्रिज्म के फलक,
• श्यामपट के किनारे।

प्रश्न 2.
ऐसी दस स्थितियाँ लिखिए, जहाँ न्यूनकोन बन रहे हों।
उत्तर-

• परकार की भुजाओं से बना कोण,
• स्टेपलर;
• बतख की खुली चोंच,
• पीसा की झुकी हुई मीनार द्वारा बना कोण,
• मगरमच्छ का खुला हुआ जबड़ा,
• चिमटी के सिरे पर बना कोण,
• लेपटॉप की फलकों के बीच बना कोण,
• घड़ी की सुइयों द्वारा दो अंकों के बीच बना कोण,
• सीढ़ी द्वारा फर्श या दीवार के साथ बनाया गया कोण,
• दो उँगलियों के बीच बना हुआ कोण।

प्रश्न 3.
ऐसी दस स्थितियाँ लिखिए जहाँ समकोण बन रहे हों।
उत्तर-

• बन्द किताब के किनारे,
• दरवाजे के मिलने वाले किनारे,
• अलमारी के किनारे,
• दरवाजे पर लगी चौखट के किनारे,
• बक्से के किनारे,
• कमरे के फर्श तथा दीवार के बीच बना कोण,
• बढ़ई का वर्ग,
• अंग्रेजी का अक्षर T,
• डस्टर के किनारे,
• चॉक के डिब्बे के दो फलकों के बीच बना कोण।

प्रश्न 4.
ऐसी पाँच स्थितियाँ लिखिए, जहाँ अधिक कोण बन रहे हों।
उत्तर-

• मकड़ी का जाल,
• पंखे की दो पंखुड़ियों के बीच बना हुआ कोण,
• खुले हुए लेपटॉप के स्क्रीन और आधार के बीच बना हुआ कोण,
• खुली हुई पुस्तक,
• पुस्तक पढ़ने की डेस्क।

प्रश्न 5.
ऐसी पाँच स्थितियाँ लिखिए, जहाँ प्रतिवर्ती कोण बन रहे हों।
उत्तर-

• अंग्रेजी अक्षर V के बाहरी ओर कोण,
• झुकी हुई छत के बाहरी ओर कोण,
• घड़ी की सुइयों द्वारा आधे से अधिक घूर्णन,
• शंकु के शीर्ष पर बाह्य ओर बना कोण,
• बढ़ई के वर्ग के बाह्य ओर बना कोण।

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 104

प्रश्न 1.
निम्न को सुमेलित (match) कीजिए :

उत्तर-
(i) → (c),
(ii) → (d),
(iii) → (a),
(iv) → (e),
(v) → (b).

प्रश्न 2.
निम्न में से प्रत्येक कोण को समकोण, ऋजुकोण, न्यूनकोण, अधिक कोण और प्रतिवर्ती कोण के रूप में वर्गीकृत कीजिए:

उत्तर-
(a) न्यूनकोण
(b) अधिककोण
(c) समकोण
(d) प्रतिवर्ती कोण
(e) ऋजुकोण
(f) न्यून कोण।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 105

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.

प्रश्न 2.
1 ऋजुकोण में कितनी डिगरी (अंश) हैं ? कितने समकोणों से 180° बनते हैं ? कितने समकोणों से 360° बनते हैं ?
हल :

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.4

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 107-109

प्रश्न 1.
निम्न के क्या माप हैं :
(i) एक समकोण?
(ii) एक ऋजुकोण ?
हल :
(i) एक समकोण = 90°
(ii) एक ऋजुकोण = 180°

प्रश्न 2.
बताइए सत्य (T) या असत्य (F):
(a) एक न्यून कोण का माप < 90° है।
(b) एक अधिक कोण का माप < 90° है।
(c) एक प्रतिवर्ती कोण का माप < 180° है।
(d) एक सम्पूर्ण घूर्णन का माप = 360° है।
(e) यदि m∠A = 53° और m∠B = 35° है तो m∠A > M∠B है।
उत्तर-
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) असत्य
(d) सत्य,
(e) सत्य

प्रश्न 3.
निम्न के माप लिखिए :
(a) कुछ न्यून कोण
(b) कुछ अधिक कोण। (प्रत्येक के दो उदाहरण दीजिए।)
हल :
(a) न्यूनकोण : 60° और 72°
(b) अधिक कोण : 100° और 162°

प्रश्न 4.
निम्न कोणों को चाँदे से मापिए और उनके माप लिखिए :

हल :
(a) → 45°,
(b) → 120°,
(c) → 90°,
(d) x = 60°, y = 135°, z = 90°

प्रश्न 5.
किस कोण का माप बड़ा है ? पहले आकलन (estimate) कीजिए और फिर मापिए।
कोण A का माप
कोण B का माप

हल :
आकलन से ∠B का माप बड़ा है
मापने पर : ∠A = 40° ; ∠B = 65°
∴ ∠B > ∠A

प्रश्न 6.
निम्न दो कोणों में से किस कोण का माप बड़ा है ? पहले आकलन कीजिए और फिर मापन द्वारा पुष्टि कीजिए।

हल :
आकलन से ∠B का माप बड़ा है।
मापने पर : ∠A = 40° ; ∠B = 60°
∴ ∠B > ∠A

प्रश्न 7.
न्यूनकोण, अधिक कोण, समकोण या ऋजुकोण से रिक्त स्थानों को भरिए :
(a) वह कोण, जिसका माप एक समकोण के माप से कम है, ………. होता है।
(b) वह कोण, जिसका माप एक समकोण के माप से अधिक हो, ……….. होता है।
(c) वह कोण जिसका माप दो समकोण के योग के बराबर है,………. होता है।
(d) यदि दो कोणों के मापों का योग समकोण के माप के बराबर है, तो प्रत्येक कोण …….. होता है।
(e) यदि दो कोणों के मापों का योग एक ऋजुकोण के माप के बराबर है, और इनमें से एक कोण न्यून कोण है, तो दूसरा कोण ……… होना चाहिए।
उत्तर-
(a) न्यून कोण
(b) अधिक कोण (यदि 180° से कम है)
(c) ऋजुकोण
(d) न्यूनकोण
(e) अधिक कोण।

प्रश्न 8.
नीचे दी आकृति में दिए प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कीजिए (पहले देखकर आकलन कीजिए और फिर चाँदे से मापिए):

हल :
(a) आकलन से 350° (a) कोण का माप = 40°
(b) आकलन से 120° (b) कोण का माप = 130°
(c) आकलन से 60° (c) कोण का माप = 65°
(d) आकलन से 130° (d) कोण का माप = 135°

प्रश्न 9.
नीचे दी प्रत्येक आकृति में घड़ी की सुइयों के बीच के कोण का माप ज्ञात कीजिए :

हल :
कोणों की माप
(i) प्रात: 9 : 00 बजे = 90° ;
(ii) दोपहर 1 : 00 बजे = 30° ;
(iii) सायं 6 : 00 बजे = 180°

प्रश्न 10.
खोज कीजिए : दी हुई आकृति में चाँदा 30° दर्शा रहा है। इसी आकृति को एक आवर्धन शीशे (magnifying glass) द्वारा देखिए, क्या यह कोण बड़ा हो जाता है ?

क्या कोण का माप बड़ा हो जाता है ?
उत्तर-
आवर्धन शीशे द्वारा देखने पर कोण के माप में कोई अन्तर नहीं आता है। न तो यह कोण बड़ा होता है और न कोण का माप बड़ा हो जाता है।

प्रश्न 11.
मापिए और प्रत्येक कोण को वर्गीकृत कीजिए :

उत्तर-

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 109-110

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
यदि AB ⊥ CD है, तो हमें क्या यह भी कहना चाहिए कि CD ⊥ AB है?
हल :
यदि CD ⊥ AB हो, तो ∠COB = 90° जो कि सत्य है। क्योंकि
AB ⊥ CD
अतः AB ⊥ CD = CD ⊥ AB
अतः हम यह कह सकते हैं कि CD ⊥ AB

प्रश्न 2.
क्या कोई और अक्षर (T अतिरिक्त) भी है, जो लम्बों का उदाहरण है ?
हल :
हाँ, है; अंग्रेजी अक्षर L अन्य अक्षर है जो लम्ब का उदाहरण है।

प्रश्न 3.
एक पोस्टकार्ड को लीजिए। क्या इसके किनारे परस्पर लम्ब हैं ?
उत्तर-
हाँ, पोस्टकार्ड के किनारे परस्पर लम्ब हैं।

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.5

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 110

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन लम्ब रेखाओं के उदाहरण हैं ?
(a) मेज के ऊपरी सिरे की आसन्न भुजाएँ
(b) रेलपथ की पटरियाँ
(c) अक्षर L बनाने वाले रेखाखण्ड
(d) अक्षर V बनाने वाले रेखाखण्ड
उत्तर-
(a) हाँ,
(b) नहीं,
(c) हाँ,
(d) नहीं।

प्रश्न 2.
मान लीजिए रेखाखण्ड PQ रेखाखण्ड XY पर लम्ब है। मान लीजिए ये परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠PAY की माप क्या है?
हल :

∴उनके बीच कोण = 90°
अतः ∠PAY = 90°

प्रश्न 3.
आपके पास ज्यामिति बक्स में दो सेट स्क्वेयर हैं। इनके कोनों पर बने कोणों की माप क्या है ? क्या इनमें से कोई ऐसी माप है, जो दोनों में उभयनिष्ठ है ?
हल :
एक सेट स्क्वे यर पर बने कोणों की माप 30°, 60° और 90° है तथा दूसरे पर बने कोणों की माप 45°, 45° और 90° है।
दोनों में उभयनिष्ठ कोण 90° है।

प्रश्न 4.
इस आकृति को ध्यान से देखिए। रेखा l रेखा m पर लम्ब है।
(a) क्या CE = EG है ?
(b) क्या रेखा PE रेखाखण्ड CG को समद्विभाजित करती है ?

(c) कोई दो रेखाखण्डों के नाम लिखिए जिनके लिए PE लम्ब समद्विमाजक है।
(d) क्या निम्नलिखित सत्य हैं?
(i) AC > FG
(ii) CD = GH
(iii) BC < EH
हल :
(a) CE = 2 इकाई, EG = 2 इकाई
∴ हाँ, CE = EG
(b) हाँ, रेखा PE रेखाखण्ड CG को समद्विभाजित करती है।

(d) (i) सत्य, (ii) सत्य, (iii) सत्य।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 111

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
नीचे दिए हुए त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं को क्रमशः चाँदे और रूलर से मापें। दी हुई सारणी में इनकी मापों को भरिए :
हल :

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 112

उपर्युक्त कोण, त्रिभुज और उनकी भुजाओं की मापों को ध्यानपूर्वक देखिए। क्या इनके बारे में कोई बात कही जा सकती है?
उत्तर-
हाँ, त्रिभुज में समान कोणों की भुजाएँ समान होती हैं। यदि किसी त्रिभुज में दो कोण समान हैं तो उनकी सम्मुख भुजाएँ भी समान होती हैं। किसी त्रिभुज में कोण असमान होने पर उनकी भुजाओं की लम्बाइयाँ भी असमान होंगी।

आप क्या प्राप्त करते हैं ?
(i) यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं तो इसकी भुजाएँ भी ……. हैं।
(ii) यदि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं, तो उसके कोण भी …… हैं।
(iii) यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उसके ……. कोण बराबर होते हैं।
(iv) यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर नहीं हैं, तो उसके तीनों कोण भी ……. नहीं हैं।
उत्तर-
(i) समान,
(ii) समान,
(iii) दो,
(iv) समान।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 113

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न के रफ चित्र खींचने का प्रयत्न कीजिए :
(a) एक विषमबाहु न्यून कोण त्रिभुज
(b) एक अधिककोण समद्विबाहु त्रिभुज
(c) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज
(d) एक विषमबाहु समकोण त्रिभुज।
हल :
(a) विषमबाहु न्यून कोण त्रिभुज
(b) अधिकोण समद्विबाहु त्रिभुज
(c) समद्विबाहु समकोण त्रिभुज
(d) विषमबाहु समकोण त्रिभुज

प्रश्न 2.
क्या आप सोचते हैं कि निम्न आकृति खींचना सम्भव है:
(e) एक अधिककोण समबाहु त्रिभुज?
(f) एक समकोण समबाहु त्रिभुज?
(g) एक त्रिभुज जिसमें दो समकोण हों?
सोचिए, चर्चा कीजिए और फिर अपने निष्कर्षों को लिखिए।
उत्तर-
(e) सम्भव नहीं है। क्योंकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° (न्यून कोण) होता है।
(f) सम्भव नहीं है। क्योंकि समबाहु त्रिभुज में समकोण असम्भव है।
(g) सम्भव नहीं है। क्योंकि त्रिभुज में केवल एक ही समकोण हो सकता है।

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.6

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 113-114

प्रश्न 1.
निम्नलिखित त्रिभुजों के प्रकार लिखिए :
(a) त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 7 सेमी, 8 सेमी और 9 सेमी हैं।
(b) ∆ABC जिसमें AB = 8.7 सेमी, AC = 7 सेमी और BC = 6 सेमी है।
(c) ∆PQR जिसमें PQ = QR = RP = 5 सेमी है।
(d) ∆DEF जिसमें m∠D = 90° ।
(e) ∆XYZ जिसमें m∠Y = 90° और XY = YZ है।
(f) ∆LMN जिसमें m∠L = 30°, m∠M = 70° और m∠N= 80° हैं।
हल :
(a) विषमबाहु त्रिभुज क्योंकि सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ असमान हैं। .
(b) ∆ABC विषमबाहु त्रिभुज है, क्योंकि AB ≠ BC ≠ CA.
(c) ∵ PQ = QR = RP = 5 सेमी अर्थात् सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ समान हैं।
∴ ∆PQR समबाहु त्रिभुज है।
(d) ∵ m∠D = 90°
∴ ∆DEF समकोण त्रिभुज है।
(e) ∵ m∠Y = 90° और XY = YZ
∴ ∆XYZ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
(f) ∵ m∠L = 30°, m∠M = 70° और m∠N = 80°
सभी कोण न्यून कोण हैं।
∴ ∆LMN न्यूनकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
निम्न का सुमेलन कीजिए :

उत्तर-
(i)→(e),
(ii)→ (g),
(iii)→ (a),
(iv)→ (f),
(v)→ (d)
(vi)→ (c),
(vii) → (b).

प्रश्न 3.
निम्नलिखित त्रिभुजों में से प्रत्येक का दो प्रकार से नामकरण कीजिए।
(आप कोण का प्रकार केवल देखकर ज्ञात कर सकते हैं।)

हल :
(a) न्यूनकोण त्रिभुज; समद्विबाहु त्रिभुज,
(b) समकोण त्रिभुज; विषमबाहु त्रिभुज,
(c) अधिक कोण त्रिभुज; समद्विबाहु त्रिभुज,
(d) समकोण त्रिभुज; समद्विबाहु त्रिभुज,
(e) न्यूनकोण त्रिभुज; समबाहु त्रिभुज,
(f) अधिक कोण त्रिभुज; विषमबाहु त्रिभुज।

प्रश्न 4.
माचिस की तीलियों की सहायता से त्रिभुज बनाने का प्रयत्न कीजिए। इनमें से कुछ आकृति पाठ्य-पुस्तक में दिखाई गई हैं। क्या आप निम्न से त्रिभुज बना सकते हैं ?
(a) 3 माचिस की तीलियाँ
(b) 4 माचिस की तीलियाँ
(c) 5 माचिस की तीलियाँ
(d) 6 माचिस की तीलियाँ
(ध्यान रखिए कि अपको प्रत्येक स्थिति में सभी उपलब्ध माचिस की तीलियों का उपयोग करना है।)
प्रत्येक स्थिति में त्रिभुज के प्रकार का नाम बताइए। यदि आप त्रिभुज नहीं बना पाते हैं, तो उसके कारण के बारे में सोचिए।
हल :
(a) हाँ, हम 3 माचिस की तीलियों से एक समबाहु त्रिभुज बना सकते हैं।

(b) नहीं, हम 4 माचिस की तीलियों से त्रिभुज नहीं बना सकते हैं क्योंकि त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होना चाहिए।
(c) हाँ, 5 माचिस की तीलियों से हम समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं।

(d) हाँ, हम 6 माचिस की तीलियों से समबाहु त्रिभुज बना सकते हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 115

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
(i) दो डण्डी लीजिए और इन्हें इस प्रकार रखिए कि उनका एक-एक सिरा एक सिरे पर मिले। अब डंडियों के एक अन्य युग्म को इस प्रकार रखिए कि उनके सिरे डंडियों के पहले युग्म के स्वतन्त्र सिरों से जुड़ जाएँ। इस प्रकार हमें क्या आकृति प्राप्त होती है ?

उत्तर-
(i) डंडियों को इस प्रकार रखने से हमें चतुर्भज आकृति प्राप्त होगी। इस चतुर्भुज की भुजाएँ

इस चतुर्भुज के चार कोण हैं। ये ∠BAD, ∠ADC, ∠DCB और ∠ABC हैं।

(ii) अन्य विकर्ण है।
भुजाओं और विकर्णों को मापने पर,
AB = 2.3 सेमी, BC = 1.5 सेमी, CD = 3.3 सेमी,

विकर्ण AC = 3.2 सेमी और BD = 3.4 सेमी
कोणों को मापने पर, ∠DAB = 93°, ∠ABC = 115°, ∠BCD = 82°, ∠CDA = 70°

प्रश्न 2.
जैसा आपने ऊपर क्रियाकलाप किया है, चार डंडियाँ लेकर इसे देखिए कि क्या आप इनसे ऐसा चतुर्भुज बना सकते हैं जिसमें
(a) चारों कोण न्यूनकोण हैं।
(b) एक कोण अधिक कोण है।
(c) एक कोण समकोण है।
(d) दो कोण अधिक कोण हैं।
(e) दो कोण समकोण हैं।
(f) विकर्ण परस्पर समकोण पर हैं।
उत्तर-
(a) नहीं,
(b) हाँ,
(c) हाँ,
(d) हाँ,
(e) हाँ,
(f) हाँ।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 115-117

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
(a) सेट स्क्वे यर 30° – 60° – 90° के युग्म का प्रयोग
क्या आप इस प्रकार बने चतुर्भुज का नाम बता सकते हैं? इसके प्रत्येक कोण का माप क्या है ? आप अन्य कौन-से गुण ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर-
इस प्रकार बने चतुर्भज का नाम आयत है। इसके प्रत्येक कोण की माप 90° है।
(i) आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
(ii) विकर्ण बराबर होते हैं तथा परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

(b) सेट स्क्वे यर 45° – 45° – 90° के युग्म का प्रयोग
क्या आप देख सकते हैं कि सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर हैं ? आप इसके कोणों और विकर्णों के बारे में क्या कह सकते हैं ? वर्ग के कुछ अन्य गुण ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।
उत्तर-
हाँ, इस प्रकार बना चतुर्भुज वर्ग है। इसकी सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर हैं?
वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है।
(i) इसके विकर्ण बराबर हैं।
(ii) विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

(c) सेट स्क्वे यर 30° – 60° – 90° के युग्म का प्रयोग
(i) क्या आप देख रहे हैं कि इसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर हैं ?
(ii) क्या इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ?
(iii) क्या इसके विकर्ण बराबर हैं ?
उत्तर-
प्राप्त चित्र समान्तर चतुर्भुज है।
(i) हाँ, इसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं।

(ii) हाँ, इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
(iii) नहीं, इसके विकर्ण बराबर नहीं होते हैं।
अन्य गुण-इसके सम्मुख कोण समान होते हैं।
आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(d) चार 30° – 60° – 90° सेट स्क्वे यर के प्रयोग से समचतुर्भुज प्राप्त होता है।
AB = BC = CD = DA;
AB || CD, AD || BC

(e) कई सेट स्क्वे यर का प्रयोग करने पर ऐसा चतुर्भुज प्राप्त होगा जिसकी दो भुजाएँ समान्तर होंगी।
यह (ABCD) एक समलम्ब है।
यहाँ BC || AD

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 117

यहाँ आपकी खोजों के सारांश की एक रूपरेखा दी जा रही है। इसे पूरा कीजिए।

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.7

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 117

प्रश्न 1.
सत्य (T) या असत्य (F) कहिए :
(a) आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
(b) आयत की सम्मुख भुजाओं की लम्बाई बराबर होती है।
(c) वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे पर लम्ब होते हैं।
(d) समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर लम्बाई की होती हैं।
(e) समान्तर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर लम्बाई की होती हैं।
(f) समलम्ब की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं।
उत्तर-
(a) सत्य,
(b) सत्य,
(c) सत्य,
(d) सत्य,
(e) असत्य,
(f) असत्य।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित के लिए कारण दीजिए :
(a) वर्ग को एक विशेष प्रकार का आयत समझा जा सकता है। .
(b) आयत को एक विशेष प्रकार का समान्तर चतुर्भुज समझा जा सकता है।
(c) वर्ग को एक विशेष प्रकार का समचतुर्भुज समझा जा सकता है।
(d) वर्ग, आयत, समचतुर्भुज और समान्तर चतुर्भुज में से प्रत्येक एक चतुर्भुज भी है।
(e) वर्ग एक समान्तर चतुर्भुज भी है।
उत्तर-
(a) जब आयत की सभी भुजाएँ समान होती हैं तो वह एक वर्ग बन जाता है।
(b) जब समान्तर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण समकोण होता है, तो एक आयत बन जाता है।
(c) जब समचतुर्भुज का प्रत्येक कोण समकोण होता है, तो वह एक वर्ग बन जाता है।
(d) क्योंकि ये सभी चार भुजाओं वाले बहुभुज हैं।
(e) क्योंकि वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं, इसलिए वह समान्तर चतुर्भुज होता है।

प्रश्न 3.
एक बहुभुज सम (regular) होता है, यदि उसकी सभी भुजाएँ बराबर हों और सभी कोण बराबर हों। क्या आप एक सम चतुर्भुज (regular quadrilateral) की पहचान कर सकते हैं ?
उत्तर-
∵ वर्ग एक ऐसा सम चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं और सभी कोण बराबर होते हैं।
∴ वर्ग एक समचतुर्भुज होता है।

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.8

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 118-119

प्रश्न 1.
जाँए कीजिए कि निम्न में से कौन-सी आकृतियाँ बहुभुज हैं। यदि इनमें से कोई बहुभुज नहीं है, तो कारण बताइए।

उत्तर-
(a) बहुभुज नहीं है; क्योंकि यह बन्द आकृति नहीं
(b) हाँ, यह एक 12 भुजाओं वाला बहुभज है।
(c) यह रेखाण्डों से बनी आकृति नहीं है। अत: यह बहुभुज नहीं है।
(d) यह रेखाखण्डों से बनी आकृति नहीं है। अत: यह बहुभज नहीं है।

प्रश्न 2.
प्रत्येक बहुभुज का नाम लिखिए :

इनमें से प्रत्येक के दो उदाहरण बनाइए।
हल :
(a) चतुर्भज,
(b) त्रिभुज,
(c) पंचभुज,
(d) अष्टभुज।

उदाहरण-
(a) चतुर्भुज

(b) त्रिभुज

(c) पंचभुज

(d) अष्टभुज

प्रश्न 3.
एक सम षड्भुज (regular hexagon) का एक रफ चित्र खींचिए। उसके किन्हीं तीन शीर्षों को जोड़कर एक त्रिभुज बनाइए। पहचानिए कि आपने किस प्रकार का त्रिभुज खींच लिया है।
हल :
ABCDEF एक सम षड्भुज है। इसके तीन शीर्षों B, D और F को जोड़ा गया है, जो कि एक सम त्रिभुज है।
अतः इस प्रकार बना त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक सम अष्टभुज (regular octagon) का रफ चित्र खींचिए। (यदि आप चाहें, तो वर्गांकित कागज (squared paper) का प्रयोग कर सकते हैं।) इस अष्टभुज के ठीक चार शीर्षों को जोड़कर एक आयत खींचिए।
हल :
ABCDEFGH एक सम अष्टभुज है। H और C को


इस प्रकार HCDG एक अभीष्ट आयत है।

प्रश्न 5.
किसी बहुभुज का विकर्ण उसके किन्हीं दो शीर्षों (आसन्न शीर्षों को छोड़कर) को जोड़ने से प्राप्त होता है। (यह इसकी भुजाएँ नहीं होती हैं।) एक पंचभुज का रफ चित्र खींचिए और इसके विकर्ण खींचिए।
हल :
ABCDE एक पंचभुज है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 121

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
एक घनाभ एक आयताकार बक्स जैसा है। इसके 6 फलक हैं। फलक के चार किनारे हैं। प्रत्येक फलक के चार कोने हैं (जो इसके शीर्ष कहलाते है)।

प्रश्न 2.
एक घन ऐसा घनाभ है, जिसके सभी किनारे बराबर लम्बाई के होते हैं।

हल :
इसके 6 फलक हैं। प्रत्येक फलक के 4 किनारे हैं। प्रत्येक फलक के 4 शीर्ष हैं।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज होता है। यह चतुष्फलक (tetrahedron) भी कहलाता है।

हल :
फलक : 4 ; किनारे : 6 ; कोने : 4

प्रश्न 4.
एक वर्ग पिरामिड का आधार एक वर्ग होता है

हल :
फलक : 5
किनारे : 8
कोने : 5

प्रश्न 5.
एक त्रिभुजाकार प्रिज्म प्रायः एक केलाइडोस्कोप (Kaleidoscope) के आकार का होता है। इसका आधार और ऊपरी सिरा त्रिभुज के आकार के होते हैं

हल :
फलक : 5
किनारे : 9
कोने : 6

प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.9

प्रश्न 1.
निम्न का सुमेलन कीजिए : इन आकारों में से प्रत्येक के दो उदाहरण दीजिए।

उत्तर-
(a) → (ii),
(b) → (iv),
(c) → (v),
(d) → (iii),
(e)→ (i)
उदाहरण
(a) शंकु – (i) आइसक्रीम कोन, (ii) जन्मदिन वाली टोपी।
(b) गोला – (i) टेनिस बॉल, (ii) क्रिकेट बॉल।
(c) बेलन – (i) सड़क बनाने वाला रोलर, (ii) लॉन रोलर।
(d) घनाभ – (i) ईंट, (ii) माचिस की डिब्बी।
(e) पिरामिड – (i) हीरा, (ii) मिस्र के पिरामिड।

प्रश्न 2.
निम्न किस आकार के हैं?
(a) आपका ज्यामिति बक्स
(b) एक ईंट
(c) एक माचिस की डिब्बी
(d) सड़क बनाने वाला रोलर (Roller)
(e) एक लड्डू
उत्तर-
(a) घनाभ है,
(b) घनाभ है,
(c) घनाभ है,
(d) एक बेलन है,
(e) एक गोला है।

RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना, Study Learner