RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 4 आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ

RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 4 आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 75

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
अपनी पेंसिल के नुकीले सिरे से एक कागज पर चार बिन्दु अंकित कीजिए तथा उन्हें नाम A, C, P और H दीजिए। इन बिन्दुओं को विभिन्न प्रकार से नाम दीजिए। नाम देने का एक प्रकार संलग्न आकृति के अनुसार हो सकता है।

हल :
हम इन बिन्दुओं को निम्न प्रकार से नाम दे सकते हैं :

प्रश्न 2.
आसमान में एक तारा हमें एक बिन्दु के अवधारण का आभास कराता है। अपने दैनिक जीवन से इसी प्रकार की पाँच स्थितियाँ चुनकर दीजिए।
हल :
पेंसिल की नोंक, सुई की नोंक, कागज का कोना, डेस्क का कोना, वर्ग का कोना।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 76-77

रेखाखण्ड के कुछ उदाहरण – मेज का किनारा, किसी आयत/वर्ग की भुजा, घन/ घनाभ का किनारा, दोनों सिरों पर कसा हुआ धागा, A, B को जोड़ने वाला सबसे छोटा रास्ता।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में दिए रेखाखण्डों को नाम दीजिए। क्या A प्रत्येक रेखाखण्ड का एक अन्त बिन्दु है ?

हल :

प्रतिच्छेदी रेखा युग्मों के उदाहरण – घन के आसन्न किनारे, श्यामपट की आसन्न भुजाएँ, अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर V तथा L

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 78

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
एक कागज लीजिए। इसे दो बार मोडिए (और मोड़ के निशान बनाइए) ताकि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ प्राप्त हो जाएँ और चर्चा कीजिए :
(a) क्या दो रेखाएँ एक से अधिक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं?
(b) क्या दो से अधिक रेखाएँ एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं?
हल :
(a) नहीं, दो रेखाएँ एक से अधिक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं।
(b) हाँ, दो से अधिक रेखाएँ एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

आप समान्तर रेखाओं को और कहाँ देखते हैं ? इनके 10 उदाहरण ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।
हल :
हम समान्तर रेखाओं को निम्नांकित में देख सकते हैं
पैमाने के सम्मुख किनारे, आयत के सम्मुख किनारे, श्यामपट के सम्मुख किनारे, खिड़की की सलाखें, रेल की पटरी, मेज के किनारे, घनाभ के किनारे, घन के किनारे, पेज के किनारे, अभ्यास-पुस्तिका/किताब के सम्मुख किनारे आदि।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 79

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.

(a) इसका प्रारम्भिक बिन्दु क्या है ?
(b) बिन्दु ए किरण पर कहाँ स्थित है ?
(c) क्या हम कह सकते हैं कि ए इस किरण का Q प्रारम्भिक बिन्दु है ?

हल :

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 80

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
संलग्न दी आकृति में दर्शाई गई किरणों के नाम लिखिए।

हल :

प्रश्न 2.
क्या T इन सभी किरणों का प्रारम्भिक बिन्दु है ?
हल :

संलग्न आकृति में एक किरण OA दी है। यह O से प्रारम्भ होती है और A से होकर जाती है। यह किरण बिन्दु B से होकर भी जाती है।

प्रश्न a.

(iii) पाँच किरणें निम्नलिखित हैं

किरणों के सिरों पर लगे तीर दर्शाते हैं कि इन किरणों को तीर की दिशा में अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ Ex 4.1

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 80-81

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति का प्रयोग करके, निम्न के नाम लिखिए :
(a) पाँच बिन्दु
(b) एक रेखा
(c) चार किरणें
(d) पाँच रेखाखण्ड

हल :

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में दी हुई रेखा के सभी सम्भव प्रकारों के नाम लिखिए। आप इन चार बिन्दुओं में से किसी भी बिन्दु का प्रयोग कर सकते हैं।

हल :
रेखाओं को निम्न नामों से व्यक्त कर सकते हैं

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति को देखकर नाम लिखिए :
(a) रेखाएँ जिसमें बिन्दु E सम्मिलित हैं
(b) A से होकर जाने वाली रेखा
(c) वह रेखा जिस पर O स्थित है
(d) प्रतिच्छेदी रेखाओं के दो युग्म

हल :

प्रश्न 4.
निम्नलिखित से होकर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं ?
(a) एक बिन्दु
(b) दो बिन्दु
हल :
(a) एक बिन्दु से अनगिनत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(b) दो बिन्दुओं से केवल एक रेखा खींची जा सकती है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक के लिए एक रफ (Rough) आकृति बनाइए और चित रूप से उसे नामांकित कीजिए :
(a) बिन्दु P रेखाखण्ड पर स्थित है।
(b) रेखाएँ XY और PQ बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(c) रेखा l पर E और F स्थित हैं, परन्तु D स्थित नहीं है।

हल:

प्रश्न 6.

उत्तर-
(a) सत्य,
(b) सत्य,
(c) सत्य
(d) असत्य,
(e) असत्य,
(f) भसत्य,
(g) सत्य,
(h) असत्य,
(i) असत्य,
(j) असत्य,
(k) सत्य।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 83

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न की सहायता से बहुभुज बनाने का प्रयत्न कीजिए :
1. माचिस की पाँच तीलियाँ
2. माचिस की चार तीलियाँ
3. माचिस की तीन तीलियाँ
4. माचिस की दो तीलियाँ
उपर्युक्त में से किस स्थिति में यह सम्भव नहीं हुआ ? क्यों?
हल :

4. माचिस की दो तीलियाँ-कोई बहुभुज सम्भव नहीं। चूँकि बहुभुज रेखाखण्डों से घिरी बन्द आकृति है। यह सम्भव नहीं कि दो रेखाखण्डों से एक बन्द घिरी हुई आकृति बनाई जाए। इसलिए दो माचिस की तीलियों से बहुभुज बनाना सम्भव नहीं है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 84

प्रश्न 1.
B और C इसके अन्य दो शीर्ष हैं। क्या आप इन बिन्दुओं पर मिलने वाली भुजाओं के नाम लिख सकते हैं?
हल :
इन भुजाओं के नाम हैं जिनके शीर्ष B और C हैं :
AB और BC, BC और CD

प्रश्न 2.
क्या AB और BC आसन्न भुजाएँ हैं? AE और DC के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
हल :
चूँकि AB और BC में एक उभयनिष्ठ अंत बिन्दु है, इसलिए ये बहुभुज की आसन्न भुजाएँ हैं। AE और DC आसन्न भुजाएँ नहीं हैं। क्योंकि इनका उभयनिष्ठ अन्त बिन्दु नहीं है।

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.
क्या आप आसन्न शीर्षों को जोड़कर विकर्ण प्राप्त कर सकते हैं?
हल :
नहीं, हम आसन्न शीर्षों को जोड़कर विकर्ण प्राप्त नहीं कर सकते हैं।

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ Ex 4.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 84-85

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई वक्रों को
(i) खुली या
(ii) बंद वक्रों के रूप में वर्गीकृत कीजिए :
हल :
(i) खुली वक्र – (a) व (c)
(ii) बन्द वक्र – (b), (b) व (e)

प्रश्न 2.
निम्न को स्पष्ट करने के लिए रफ आकृतियाँ बनाइए:
(a) खुला वक्र
(b) बन्द वक्र
हल :

प्रश्न 3.
कोई भी बहुभुज खींचिए और उसके अभ्यन्तर को छायांकित (Shade) कीजिए।
हल :
ABCDE एक बहुभुज है जिसके अभ्यंतर को छायांकित किया गया है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति को देखकर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए :
(a) क्या यह एक वक्र है ?
(b) क्या यह बन्द है?

हल :
(a) हाँ, यह एक वक्र है।
(b) हाँ, यह बन्द वक्र है।

प्रश्न 5.
रफ आकृतियाँ बनाकर, यदि सम्भव हो, तो निम्न को स्पष्ट कीजिए :
(a) एक बन्द आकृति जो बहुभुज नहीं है।
(b) केवल रेखाखण्डों से बनी हुई खुली वक्र
(c) दो भुजाओं वाला एक बहुभुज।
हल :
(a) बन्द आकृति जो बहुभुज नहीं है।

(b) रेखाखण्डों से बनी हुई खुली वक्र

(c) दो भुजाओं वाला बहुभुज असम्भव है।

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ Ex 4.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 87

प्रश्न 1.
नीचे दी आकृति में, कोणों के नाम लिखिए :

हल :
∠A अथवा ∠DAB ; ∠B अथवा ∠ABC ; ∠C अथवा ∠BCD; ∠D अथवा ∠CDA

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, वे बिन्दु लिखिए जो
(a) ∠DOE के अभ्यन्तर में स्थित हैं।
(b) ∠EOF के बहिर्भाग में स्थित हैं।
(c) ∠EOF पर स्थित हैं।

हल :
(a) ∠DOE के अभ्यंतर में बिन्दु A है।
(b) ∠EOF के बहिर्भाग में बिन्दु A,C और D हैं।
(c) ∠EOF पर स्थित बिन्दु हैं, E,B,O और F।

प्रश्न 3.
दो कोणों की रफ आकृतियाँ खींचिए जिससे
(a) उनमें एक बिन्दु उभयनिष्ठ हो।
(b) उनमें दो बिन्दु उभयनिष्ठ हों।
(c) उनमें तीन बिन्दु उभयनिष्ठ हों।
(d) उनमें चार बिन्दु उभयनिष्ठ हों।
(e) उनमें एक किरण उभयनिष्ठ हो।
हल :
(a) ∠PQS और ∠RQS में एक बिन्दु Q उभयनिष्ठ है।

(b) ∠AOB और ∠ODC में दो बिन्दु O तथा D उभयनिष्ठ है।

(c) ∠ABC और ∠QPR में तीन बिन्दु D, E तथा F उभयनिष्ठ हैं। .

(d) ∠BAC और ∠PQR में चार बिन्दु E, F G तथा H उभयनिष्ठ हैं।

(e) ∠RQS और ∠PQS में किरण QS उभयनिष्ठ है।

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ Ex 4.4

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 88

प्रश्न 1.
त्रिभुज ABC का एक रफ चित्र खींचिए। इस त्रिभुज के अभ्यन्तर में एक बिन्दु P अंकित कीजिए और उसके बहिर्भाग में एक बिन्दु Q अंकित कीजिए। बिन्दु A इसके अभ्यन्तर में स्थित है या बहिर्भाग में स्थित है ?
हल :
संलग्न चित्र में ABC एक त्रिभुज है।
(i) बिन्दु P, ∆ABC के अभ्यन्तर में है।
(ii) बिन्दु Q त्रिभुज के बहिर्भाग में है।
(iii) नहीं, बिन्दु A न तो इसके अभ्यन्तर में स्थित है और न ही इसके बहिर्भाग में।

प्रश्न 2.
(a) संलग्न आकृति में तीन त्रिभुजों की पहचान कीजिए।
(b) ज्ञात कोणों के नाम लिखिए।
(c) इसी आकृति में छः रेखाखण्डों के नाम लिखिए।
(d) किन दो त्रिभुजों में ∠B उभयनिष्ठ है ?

हल :

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ Ex 4.5

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 89

प्रश्न 1.
चतुर्भुज PQRS का एक रफ चित्र खींचिए। इसके विकर्ण खींचिए। क्या विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु चतुर्भुज के अभ्यन्तर में स्थित है या बहिर्भाग में स्थित है ?
हल :
(a) PQRS एक चतुर्भुज है।

(b) इसके विकर्ण और हैं। इनका प्रतिच्छेद बिन्दु O चतुर्भज PQRS के अभ्यन्तर में स्थित है।

प्रश्न 2.
चतुर्भुज KLMN का एक रफ चित्र खींचिए। बताइए:
(a) सम्मुख भुजाओं के दो युग्म
(b) सम्मुख कोणों के दो युग्म
(c) आसन्न भुजाओं के दो युग्म
(d) आसन्न कोणों के दो युग्म
हल:

प्रश्न 3.
खोज कीजिए :
पट्टियाँ और इन्हें बाँधने की वस्तुएँ लेकर एक त्रिभुज बनाइए और एक चतुर्भुज बनाइए। त्रिभुज के किसी एक शीर्ष पर पट्टियों को अन्दर की ओर दबाने का प्रयत्न कीजिए। यही कार्य चतुर्भुज के लिए भी कीजिए। क्या त्रिभुज में कोई परिवर्तन आया ? क्या चतुर्भुज में कोई परिवर्तन हुआ? क्या त्रिभुज एक दृढ़ (rigid) आकृति है ? क्या कारण है कि विद्युत् टॉवरों (Electric Towers) जैसी संरचनाओं में त्रिभुजीय आकारों का प्रयोग किया जाता है; चतुर्भुजीय आकारों का नहीं ?
हल :

1. त्रिभुज के किसी एक शीर्ष पर पट्टियों को अन्दर की ओर दबाने से त्रिभुज में कोई परिवर्तन नहीं हुआ जबकि चतुर्भुज के साथ ऐसा करने से उसमें परिवर्तन हुआ है।
2. त्रिभुज एक दृढ़ आकृति है।
3. विद्युत् टॉवरों जैसी संरचनाओं में त्रिभुजीय आकारों का प्रयोग इसलिए करते हैं, क्योंकि त्रिभुज का आकार अधिक दृढ़ होता है।

आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ Ex 4.6

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 91

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति देखकर लिखिए :
(a) वृत्त का केन्द्र
(b) तीन त्रिज्याएँ
(c) एक व्यास
(d) एक जीवा
(e) अभ्यन्तर में दो बिन्दु
(f) बहिर्भाग में एक बिन्दु
(g) एक त्रिज्यखण्ड
(h) एक वृत्तखण्ड

हल :

प्रश्न 2.
(a) क्या वृत्त का प्रत्येक व्यास उसकी एक जीवा भी होता है ?
(b) क्या वृत्त की प्रत्येक जीवा उसका एक व्यास भी होती है ?
हल :
(a) हाँ, वृत्त का प्रत्येक व्यास उसकी सबसे बड़ी जीवा होती है। .
(b) नहीं, वृत्त की प्रत्येक जीवा हमेशा उसका व्यास नहीं होती है।

प्रश्न 3.
कोई वृत्त खींचिए और निम्न को अंकित कीजिए:
(a) उसका केन्द्र
(b) एक त्रिज्या
(c) एक व्यास
(d) एक त्रिज्यखण्ड
(e) एक वृत्तखण्ड
(f) उसके अभ्यन्तर में एक बिन्दु
(g) उसके बहिर्भाग में एक बिन्दु
(h) एक चाप
हल :

(e) वृत्तखण्ड- JKL,
(f) अभ्यन्तर में एक बिन्दु- P
(g) बहिर्भाग में एक बिन्दु- Q,
(h) एक चाप- MN

प्रश्न 4.
सत्य या असत्य बताइए :
(a) वृत्त के दो व्यास अवश्य ही प्रतिच्छेद करेंगे।
(b) वृत्त का केन्द्र सदैव उसके अभ्यन्तर में स्थित होता है।
हल :
(a) सत्य,
(b) सत्य।

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