RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना

RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना

संख्याओं के साथ खेलना

संख्याओं के साथ खेलना

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 51

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
45, 30 और 36 के सम्भावित गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
45 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 9, 15 और 45
30 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30
36 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 53

प्रश्न 1.
क्या 10 एक सम्पूर्ण संख्या है ?
हल :
10 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 2, 5 और 10
गुणनखण्डों का योग = 1 + 2 + 5 + 10 = 18
संख्या का दो गुना = 2 x 10 = 20
स्पष्टतः 18 ≠ 20
∴10 एक सम्पूर्ण संख्या नहीं है।

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखण्ड लिखिए :
(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36
हल :
(a)∵ 24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6
∴ 24 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24

(b)∵ 15 = 1 x 15
15 = 3 x 5
∴ 15 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15

(c)∵ 21 = 1 x 21
21 = 3 x 7
∴ 21 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 7 और 21

(d)∵ 27 = 1 x 27
27 = 3 x 9
∴ 27 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 9 और 27

(e)∵ 12 = 1 x 12
12 = 2 x 6
12 = 3 x 4
∴ 12 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6 और 12

(f)∵ 20 = 1 x 20
20 = 2 x 10
20 = 4 x 5
∴ 20 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10 और 20

(g)∵ 8 = 1 x 18
18 = 2 x 9
18 = 3 x 6
∴ 18 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9, और 18

(h)∵ 23 = 1 x 23
∴ 23 के सभी गुणनखण्ड = 1 और 23

(i)∵ 36 = 1 x 36
36 = 2 x 18
36 = 3 x 12
36 = 4 x 9
36 = 6 x 6
∴ 36 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36

प्रश्न 2.
निम्न संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए :
(a)5
(b)8
(c)9
हल :
(a) 5 x 1 = 5,
5 x 2 = 10,
5 x 3 = 15,
5 x 4 = 20,
5 x 5 = 25
अत: 5 के गुणज = 5, 10, 15, 20 और 25

(b) 8 x 1 = 8,
8 x 2 = 16,
8 x 3 = 24,
8 x 4 = 32,
8 x 5 = 40
अत: 8 के गुणज = 8, 16, 24, 32 और 40

(c) 9 x 1 = 9,
9 x 2 = 18,
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36,
9 x 5 = 45
अत : 9 के गुणन = 9, 18, 27, 36 और 45

प्रश्न 3.
स्तम्भ 1 की संख्याओं का स्तम्भ 2 के साथ मिलान कीजिए:

उत्तर-
(i) → (b),
(ii) → (d),
(iii) → (a),
(iv) → (f),
(v) → (e).

प्रश्न 4.
9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों।
हल:
∵ 9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90
9 x 11 = 99
∴ 9 के 100 से कम गुणज = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 और 99

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 55

प्रश्न 1.
क्या 15 एक भाज्य संख्या है? 18 तथा 25 के बारे में आप क्या सोचते हैं ?
हल :
(i) 15 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15
∵ 15 के दो से अधिक गुणनखण्ड हैं।
∴ 15 भाज्य संख्या है।

(ii) 18 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9 और 18
∵ 18 के दो से अधिक गुणनखण्ड हैं।
∴ 18 भाज्य संख्या है।

(iii) 25 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 5, 25
∵ 25 के दो से अधिक गुणनखण्ड हैं।
∴ 25 भाज्य संख्या है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ध्यान दीजिए कि 2 x 3 + 1 = 7 एक अभाज्य संख्या है। यहाँ 2 के एक गुणज में 1 जोड़कर एक अभाज्य संख्या प्राप्त की गई है। क्या आप इस प्रकार से कुछ और अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं ?
हल :
2 x 2 + 1 = 5, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 5 + 1 = 11, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 6 + 1 = 13, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 8 + 1 = 17, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 9 + 1 = 19, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 11 + 1 = 23, जो कि एक अभाज्य संख्या है।

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 56-57

प्रश्न 1.
बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों
(a) विषम संख्याएँ हों
(b) सम संख्याएँ हों।
हल :
(a) दो विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो सम संख्याओं का योग सम होता है।

प्रश्न 2.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य है और कौन-सा असत्य :
(a) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
(c) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।
(d) यदि किसी सम संख्या को 2 से भाग दिया जाए तो भागफल सदैव विषम होता है।
(e) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
(f) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखण्ड नहीं होते।
(g) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।
(h) केवल 2 ही एक सम अभाज्य संख्या है।
(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।
(j) दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।
उत्तर-
(a) असत्य
(b) सत्य
(c) सत्य
(d) असत्य
(e) असत्य
(f) असत्य
(g) असत्य
(h) सत्य
(i) असत्य
(j) सत्य।

प्रश्न 3.
संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और 3 हैं। 100 तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।
हल :
100 तक की अभाज्य संख्याएँ हैं : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
इनमें से समान इकाई वाली अभाज्य संख्याओं के युग्म हैं-17 और 71; 37 और 73; तथा 79 और 97

प्रश्न 4.
20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।
हल :
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं-2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19
20 से छोटी भाज्य संख्याएँ हैं-4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 और 18

प्रश्न 5.
1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।
उत्तर-
1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या = 7

प्रश्न 6.
निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :
(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18
हल :
(a) 44 = 13 + 31
या 44 = 3 + 41 या 44 = 37 + 7

(b) 36 = 5 + 31
36 = 23 + 13 या 36 = 17 + 19

(c) 24 = 11 + 13 या
24 = 5 + 19 या 24 = 7 + 17

(d) 18 = 7 + 11 या 18 = 5 + 13

प्रश्न 7.
अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिखिए जिनका अंतर 2 हो।
हल :
अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म जिनका अन्तर 2 हैं-
(i) 3 और 5,
(ii) 5 और 7
(iii) 11 और 13

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं?
(i) 23
(ii) 51
(iii) 37
(d) 26
हल :
(a)∵23 = 1 x 23
∴23 अभाज्य संख्या है।

(b)∵51 = 1 x 51 = 3 x 17
∴51 के गुणनखण्ड = 1, 3, 17 और 51
(दो से अधिक गुणनखण्ड)
∴51 अभाज्य संख्या नहीं है।

(c)∵37 = 1 x 37
∴37 अभाज्य संख्या है।

(d)∵26 = 1 x 26 = 2 x 13
∴26 के गुणनखण्ड = 1, 2, 13 और 26
(दो से अधिक गुणनखण्ड)
∴26 अभाज्य संख्या नहीं है।

प्रश्न 9.
100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है।
हल :
100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है
90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96

प्रश्न 10.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :
(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61
हल :
(a) 21 = 3 + 5 + 13
(b) 31 = 3 + 5 + 23
(c) 53 = 13 + 17 + 23
(d) 61 = 7 + 13 + 41

प्रश्न 11.
20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य (divisible) हो। (संकेत : 3 + 7 = 10)
हल :
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19.
2 + 3 = 5, 5, 5 से विभाज्य है।
3 + 7 = 10, 10, 5 से विभाज्य है।
2 + 13 = 15, 15, 5 से विभाज्य है।
7 + 13 = 20, 20, 5 से विभाज्य है।
3 + 17 = 20, 20, 5 से विभाज्य है।
अत: अभीष्ट अभाज्य संख्याओं के युग्म : 2 और 3; 3 और 7; 2 और 13; 7 और 13; तथा 3 और 17

प्रश्न 12.
निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए:
(a) वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखण्ड हों ……… कहलाती है।
(b) वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखण्ड हों एक …… कहलाती है।
(c) 1 न तो …… है और न ही ……. ।
(d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ……… है।
(e) सबसे छोटी भाज्य संख्या …….. है।
(f) सबसे छोटी सम संख्या …. है।
उत्तर-
(a) अभाज्य संख्या,
(b) भाज्य संख्या,
(c) अभाज्य संख्या, भाज्य संख्या
(d) 2,
(e) 4
(f) 2.

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.3

प्रश्न 1.
विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं; 3 से विभाज्य हैं; 4 से विभाज्य हैं; 5 से विभाज्य है; 6 से विभाज्य हैं; 8 से विभाज्य है; 9 से विभाज्य हैं; 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं (हाँ या नहीं कहिए):
हल :

प्रश्न 2.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं और कौन-सी 8 से विभाज्य हैं :
(a) 572
(b) 726352
(c) 5500
(d) 6000
(e) 12159
(f) 14560
(g) 21084
(h) 31795072
(i) 1700
(j) 2150
हल :
4 से विभाज्यता-यदि किसी संख्या के दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में 72, 4 से विभाज्य है। अत: 572, 4 से विभाज्य है।
(b) 726352 में 52, 4 से विभाज्य है। अत: 726352, 4 से विभाज्य है।
(c) 5500 में 00, 4 से विभाज्य है। अतः 5500, 4 से विभाज्य है।
(d) 6000 में 00, 4 से विभाज्य है। अत: 6000, 4 से विभाज्य है।
(e) 12159 में 59, 4 से विभाज्य नहीं है। अत: 12159, 4 से विभाज्य नहीं है।
(f) 14560 में 60, 4 से विभाज्य है। अतः 14560, 4 से विभाज्य है।
(g) 21084 में 84, 4 से विभाज्य है। अत: 21084, 4 से विभाज्य है।
(h) 31795072 में 72, 4 से विभाज्य है। अतः 31795072, 4 से विभाज्य है।
(i) 1700 में 00, 4 से विभाज्य है। अतः 1700, 4 से विभाज्य है।
(j) 2150 में 50, 4 से विभाज्य है। अतः 2150, 4 से विभाज्य है।

8 से विभाज्यता – यदि किसी संख्या के सैकड़े, दहाई व इकाई के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है तो वह संख्या 8 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में 572, 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 572, 8 से विभाज्य नहीं है।
(b) 726352 में 352, 8 से विभाज्य है। अतः 726352, 8 से विभाज्य है।
(c) 5500 में 500, 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 5500, 8 से विभाज्य नहीं है।
(d) 6000 में 000, 8 से विभाज्य है। अतः 6000, 8 से विभाज्य है।
(e) 12159 में 159, 8 से विभाज्य नहीं है। अत: 12159, 8 से विभाज्य नहीं है।
(f) 14560 में 560, 8 से विभाज्य है। अतः 14560, 8 से विभाज्य है।
(g)21084 में 084,8 से विभाज्य नहीं है। अत: 21084, 8 से विभाज्य नहीं है।
(h) 31795072 में 072, 8 से विभाज्य है। अतः 31795072, 8 से विभाज्य है।
(i) 1700 में 700, 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 1700, 8 से विभाज्य नहीं है।
(j) 2150 में 150, 8 से विभाज्य नहीं है। अत: 2150, 8 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 3.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं:
(a) 297144
(b) 1258
(c) 4335
(d) 61233
(e) 901352
(f) 438750
(g) 1790184
(h) 12583
(i) 639210
(j) 17852
हल :
कोई भी संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 से विभाज्य हो।
(a) संख्या 297144 में इकाई का अंक 4 है इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 2 + 9 + 7 + 1 + 4 + 4 + 4 = 27 जो कि 3 से विभाज्य है।
∴297144, 6 से विभाज्य है।

(b) संख्या 1258 में इकाई का अंक 8 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 1 + 2 + 5 + 8 = 16 जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴1258, 6 से विभाज्य नहीं है।

(c) संख्या 4335 में इकाई का अंक 5 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴4335, 6 से भी विभाज्य नहीं है।

(d) संख्या 61233 में इकाई का अंक 3 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴61233, 6 से भी विभाज्य नहीं है।

(e) संख्या 901352 में इकाई का अंक 2 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 9 + 0 + 1 + 3 + 5 + 2 = 20 जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴901352, 6 से विभाज्य नहीं है।

(f) संख्या 438750 में इकाई का अंक 0 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 4 + 3 + 8 + 7 + 5 + 0 = 27 जो कि 3 से विभाज्य है।
∴438750, 6 से विभाज्य है।

(g) संख्या 1790184 में इकाई का अंक 4 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 1 + 7 + 9 + 0 + 1 + 8 + 4 = 30 जो कि 3 से विभाज्य है।
∴1790184, 6 से विभाज्य है।

(h) संख्या 12583 में इकाई का अंक 3 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴12583, 6 से विभाज्य नहीं है।

(i) संख्या 639210 में इकाई का अंक शून्य है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 6 + 3 + 9 + 2 + 1 + 0 = 21, जोकि 3 से विभाज्य है।
∴639210, 6 से विभाज्य है।

(j) संख्या 17852 से इकाई का अंक 2 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 1 + 7 + 8 + 5 + 2 = 23 जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴17852, 6 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 4.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं :
(a) 5445
(b) 10824
(c) 7138965
(d) 70169308
(e) 10000001
(f) 901153
हल :
किसी संख्या के दायें से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अन्तर 0 हो या 11 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होगी।
(a) संख्या 5445
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 4 = 9
सम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 5 = 9
∵अंकों के योग का अन्तर = 9 – 9 = 0
∴5445, 11 से विभाज्य है।

(b) संख्या 10824
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 4 + 8 + 1 = 13
सम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 0 = 2
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 13 – 2 = 11
जो कि, 11 का गुणज है।
∴10824, 11 से विभाज्य है।

(c) संख्या 7138965
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 5 + 9 + 3 + 7 = 24
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 8 + 1 = 15
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 24 – 15 = 9
जो कि 11 का गुणज नहीं है।
∴7138965, 11 से विभाज्य नहीं है।

(d) संख्या 70169308 दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 8 + 3 + 6 + 0 = 17
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 9 + 1 + 7 = 17
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 17 – 17 = 0
∴70169308, 11 से विभाज्य है।

(e) संख्या 10000001 दायें से विषम स्थानों के अंकों का योग
= 1 + 0 + 0 + 0 = 1
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 1 – 1 = 0
∴10000001, 11 से विभाज्य है।

(f) संख्या 901153
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 3 + 1 + 0 = 4
समस्थानों के अंकों का योग = 5 + 1 + 9 = 15
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 15 – 4 = 11
जो कि 11 का गुणज है।
∴901153, 11 से विभाज्य है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य हो :
(a)….. 6724
(b) 4765 …..2
हल :
यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है तो वह संख्या 3 से विभाज्य होगी।
(a)…… 6724 के अंकों का योग = 6 + 7 + 2 + 4 = 19
यदि इसमें 2 जोड़ दें तो 21 प्राप्त होगा जो कि 3 से विभाज्य है।
यदि इसमें 8 जोड़ दें तो 27 प्राप्त होगा जो कि 3 से विभाज्य है।
∴सबसे छोटा अंक 2 और सबसे बड़ा अंक 8 है।

(b) 4765……2 के अंकों का योग = 4 + 7 + 6 + 5 + 2 = 24
जो कि 3 से विभाज्य है। इसलिए सबसे छोटा अंक 0 है।
यदि 24 में 9 जोड़ दें तो 33 आएगा जो कि 3 से विभाज्य है।
∴सबसे छोटा अंक 0 और सबसे बड़ा अंक 9 है। उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिखिए, ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो :
(a) 92 – 389
(b) 8 – 9484
हल :
(a) 92 – 389 में, दायें से
विषम स्थानों के अंकों का योग = 9 + 3 + 2 = 14
सम स्थानों के अंकों का योग = 8 + अभीष्ट अंक + 9
= 17 + अभीष्ट अंक
इन दोनों योगों का अन्तर = अभीष्ट अंक + 17 -14
= अभीष्ट अंक + 3
∵यह संख्या 11 का गुणज होनी चाहिए
∴अभीष्ट अंक + 3 = 11
अभीष्ट अंक = 11 – 3 = 8

(b) 8 – 9484 में, दायें से
विषम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 4 + अभीष्ट अंक
= 8 + अभीष्ट अंक
सम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 9 + 8 = 25
इन दोनों योगों का अन्तर = 25 – (8 + अभीष्ट अंक)
= 17 – अभीष्ट अंक
∴यह संख्या 11 का गुणज होनी चाहिए।
∴17 – अभीष्ट अंक = 11
अत : अभीष्ट अंक = 17 – 11 = 6

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 62

प्रयास कीजिए

प्रश्न a.
निम्न युग्मों के उभयनिष्ठ या सार्व गुणनखण्ड क्या हैं ?
(a) 8, 20
(b) 9, 15
हल :
(a) 8 = 1 x 8, 8 = 2 x 4
∴8 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4 और 8 …(1)
पुनः 20 = 1 x 20, 20 = 2 x 10, 20 = 4 x 5
∴20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10 और 20 …(2)
(1) और (2) से,
8 और 20 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हैं : 1, 2 और 4

(b) 9 = 1 x 9,9 = 3 x 3
∴9 के गुणनखण्ड = 1, 3 और 9 ….(1)
पुनः 15 = 1 x 15, 15 = 3 x 5
∴15 के गुणनखण्ड = 1, 3 और 5
(1) और (2) से,
9 और 15 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1 और 3

प्रश्न 1.
और 16 के सार्व गुणनखण्ड क्या हैं ?
हल :
7 = 1 x 7;
16 = 1 x 16 = 2 x 8 = 4 x 4
स्पष्ट है कि 7 और 16 का सार्व गुणनखण्ड 1 है।

प्रश्न 2.
निम्न के सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(a) 8, 12, 20
(b) 9, 15, 21.
हल :
(a) 8 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, और 8
12 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4,6 और 12
20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10 और 20
अत : 8, 12 और 20 के सार्व गुणनखण्ड = 1, 2 और 4

(b) 9 के गुणनखण्ड = 1, 3 और 9
15 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15
21 के गुणनखण्ड = 1, 3,7 और 21
अत: 9,15 और 21 के सार्व गुणनखण्ड = 1 और 3

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.4

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 63

प्रश्नावली 3.4

प्रश्न 1.
निम्न के सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(a) 20 और 28
(b) 15 और 25
(c) 35 और 50
(d) 56 और 120
हल :
(a) 20 के सभी गुणनखण्ड
= 1, 2, 4, 5, 10, और 20 …(1)
28 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 7, 14 और 28 …(2)
∴20 और 28 के सार्व गुणनखण्ड = 1, 2 और 4

(b) 15 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15 …(1)
∴25 के सभी गुणनखण्ड = 1, 5 और 25 …(2)
∴15 और 25 के सार्व गुणनखण्ड = 1 और 5

(c) 35 के सभी गुणनखण्ड = 1, 5, 7 और 35 …(1)
50 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 5, 10, 25 और 50 …(2)
∴35 और 50 के सार्व गुणनखण्ड = 1 और 5

(d) 56 सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 और 56 ….(1)
120 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 और 120 …(2)
∴56 और 120 के सार्व गुणनखण्ड = 1, 2, 4, और 8

प्रश्न 2.
निम्न के सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(a) 4, 8 और 12
(b) 5, 15 और 25
हल :
(a) 4 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2 और 4
8 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 4 और 8
12 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6 और 12
∴4,8 और 12 के सार्व गुणनखण्ड = 1,2 और 4

(b) 5 के सभी गुणनखण्ड =1 और 5
15 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15
25 के सभी गुणनखण्ड = 1, 5 और 25
∴5, 15 और 25 के सार्व गुणनखण्ड = 1 और 5

प्रश्न 3.
निम्न के प्रथम तीन सार्व गुणज ज्ञात कीजिए :
(a) 6 और 8
(b) 12 और 18
हल :
(a) 6 के गुणज = 6, 12, 18, [24], 30, 36, 42, [48], 54, 60, 66, [72] ,…..
8 के गुणज = 8, 16, [24], 32, 40, 48, 56, 64, [72],….
∴6 और 8 के प्रथम तीन सार्व गुणज =24, 48 और 72

(b) 12 के गुणज = 12, 24, [36], 48, 60, [72], 84, 96, [108], 120,…..
18 के गुणज = 18, [36], 54, [72], 90, [108], 126,……
∴12 और 18 के प्रथम तीन सार्व गुणज
= 36, 72 और 108

प्रश्न 4.
100 से छोटी ऐसी सभी संख्याएँ लिखिए जो 3 और 4 के सार्व गुणज हैं।
हल :
3 के गुणज = 3, 6, 9, [12], 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, [36], 39, 42, 45, [48], 51, 54, 57, [60], 63, 66, 69, [72], 75, 78, 81, [84], 87, 90, 93, [96], 99……
4 के गुणज = 4, 8, [12], 16, 20, [24], 28, 32, [36], 40, 44, [48], 52, 56, [60], 64, 68, [72], 76, 80, [84], 88, 92, [96] ,…..
∴3 और 4 के सार्व गुणज = 12, 24, 36,48, 60, 72, 84, 96,….

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ सहअभाज्य हैं ?
(a) 18 और 35
(b) 15 और 37
(c) 30 और 415
(d) 17 और 68
(e) 216 और 215
(f) 81 और 16
हल :
(a) ∵18 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9 और 18
35 के गुणनखण्ड = 1, 5, 7, और 35
चूँकि इनका सार्व गुणनखण्ड 1 है।
∴18 और 35 का 1 के अतिरिक्त सार्व गुणनखण्ड नहीं है।
अतः 18 और 35 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

(b) ∵15 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15
37 के गुणनखण्ड = 1 और 37
∴इनका सार्व गुणनखण्ड 1 है।
∴15 और 37 का 1 के अतिरिक्त सार्व गुणनखण्ड नहीं है।
अतः 15 और 37 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

(c) ∵30 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30
415 के गुणनखण्ड = 1, 5, 83 और 415
∴इनके सार्व गुणनखण्ड 1 और 5 हैं।
अत: 30 और 415 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

(d) ∵17 के गुणनखण्ड = 1 और 17
68 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 17, 34 और 68
∴17 और 68 के सार्व गुणनखण्ड = 1 और 17
अतः 17 और 68 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

(e) ∵216 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108 और 216
215 के गुणनखण्ड = 1, 5, 43 और 215
∴216 और 215 के सार्व गुणनखण्ड = 1
अत: 216 और 215 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

(f) ∵81 के गुणनखण्ड = 1, 3, 9, 27 और 81
16 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8 और 16
∴81 और 16 के सार्व गुणनखण्ड = 1
अत : 81 और 16 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रश्न 6.
एक संख्या 5 और 12 दोनों से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से यह संख्या सदैव विभाजित होगी?
हल :
दी हुई संख्या 5 और 12 के गुणनफल से विभाजित होगी।
अभीष्ट संख्या = 5 x 12 = 60
अतः संख्या 60 से सदैव विभाज्य होगी।

प्रश्न 7.
एक संख्या 12 से विभाज्य है। और कौन-सी संख्याएँ हैं जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी?
हल :
12 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6 और 12
∴संख्या 12 से विभाज्य है। इसलिए यह 12 के गुणनखण्डों से भी विभाज्य होगी।
अतः संख्या 2, 3, 4 और 6 से भी विभाज्य होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 65

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
16, 28 और 38 के अभाज्य गुणनखण्डन लिखिए।
हल :
(i)

∴16 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 x 2 x 2 x 2

(ii)

∴28 के अभाज्य गुणनखण्डन = 2 x 2 x 7.

(iii)

∴38 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 x 19

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 66

प्रश्न 1.
ऐसा ही निम्न संख्याएँ लेकर कीजिए :
(a) 8
(b) 12
हल :

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 66-67

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन-से कथन सत्य हैं ?
(a) यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है, तो वह 9 से भी विभाज्य होती है।
(b) यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी।
(c) एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह 3 और 6 दोनों से विभाज्य हो।
(d) यदि एक संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी।
(e) यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो इनमें से कम-से-कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी।
(f) 4 से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।
(g) 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य होनी चाहिए।
(h) यदि कोई संख्या दो संख्याओं को अलग-अलग पूरा-पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा-पूरा विभाजित करेगी।
(i) यदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग-अलग भी विभाजित करेगी।
उत्तर-
(a) असत्य,
(b) सत्य,
(c) असत्य,
(d) सत्य,
(e) असत्य,
(f) असत्य,
(g) सत्य,
(h) सत्य,
(i) असत्य

प्रश्न 2.
यहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखण्ड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिखिए।
हल :

प्रश्न 3.
एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में किन गुणनखण्डों को सम्मिलित नहीं किया जाता है?
उत्तर-
1 और स्वयं संख्या को भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में सम्मिलित नहीं किया जाता है।

प्रश्न 4.
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999

∴ 9999 = 3 x 3 x 11 x 101

प्रश्न 5.
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000

∴ 10000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5

प्रश्न 6.
1729 के सभी अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों में यदि कोई सम्बन्ध है तो लिखिए।
हल :

∴1729 = 7 x 13 x 19
स्पष्ट है कि दो क्रमागत गुणनखण्डों में 6 का अन्तर है।

प्रश्न 7.
तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।
हल :
तीन क्रमागत संख्याओं के गुणनफल
(i) 11 x 12 x 13 = 1716
गुणनफल के अंकों का योग = 1 + 7 + 1 + 6 = 15

(ii) 15 x 16 x 17 = 4080
गुणनफल के अंकों का योग = 4 + 0 + 8 + 0 = 12

(iii) 25 x 26 x 27 = 17550
गुणनफल के अंकों का योग = 1 + 7 + 5 + 5 + 0 = 18
(a) प्रत्येक गुणनफल में इकाई का अंक 6, 4 और 0 है अतः गुणनफल 2 से विभाज्य है।
(b) प्रत्येक गुणनफल के अंकों का योग 3 से विभाज्य है
∴2 और 3 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं इसलिए 2 x 3 = 6
प्रत्येक गुणनफल को विभाजित करेगा।
∴अतः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है।

प्रश्न 8.
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।
हल :
माना कि विषम संख्याओं का योग निम्न है
(i) 211 + 213 = 424
(ii) 405 + 407 = 812
(iii) 541 + 543 = 1084
(iv) 101 + 103 = 204
योगों के दायें से इकाई और दहाई के दो अंक क्रमश: 24, 12, 48 और 04 हैं जो कि 4 से विभाज्य हैं।
अत: दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है।

प्रश्न 9.
निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्डन किए गए हैं :
(a) 24 = 2 x 3 x 4
(b) 56 = 1 x 7 x 2 x 2 x 2
(c) 70 = 2 x 5 x 7
(d) 54 = 2 x 3 x 9
हल :
(a) और (d) में क्रमशः 4 और 9 के अभाज्य गुणनखण्डन नहीं हैं।
∴(b) और (c) व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्डन किये गये हैं।

प्रश्न 10.
बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है।
[संकेत : 5 और 9 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुई संख्या की 5 और 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।]
हल :
∵संख्या 25110 में इकाई के स्थान पर 0 है। अतः संख्या 25110, 5 से विभाज्य है।
पुनः संख्या के अंकों का योग = 2 + 5 + 1 + 1 + 0 = 9, जो कि 9 से विभाज्य है।
इसलिए संख्या 25110, 9 से विभाज्य है।
अतः संख्या 25110, 45 से विभाज्य है।

प्रश्न 11.
संख्या 18, 2 और 3 से विभाज्य है। यह 2 x 3 = 6 से भी विभाज्य है। इसी प्रकार एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या 4 x 6 = 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।
हल :
यह आवश्यक नहीं है कि जो संख्या 4 और 6 से विभाज्य होगी वह उनके गुणनफल 4 x 6 = 24 से भी विभाज्य होगी।
क्योंकि 4 और 6 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
संख्या 36, 4 और 6 दोनों से विभाज्य है, परन्तु संख्या 36 संख्या 24 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 12.
मैं चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनखण्डों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते
हल :
चार भिन्न-भिन्न अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं।
∴अभीष्ट संख्या = 2 x 3 x 5 x 7 = 210

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 68

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न का म. स. ज्ञात कीजिए :
(i) 24 और 36
(ii) 15, 25 और 30
(iii) 8 और 12
(iv) 12, 16 और 28
हल :
(i)

इस प्रकार 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
36 = 2 x 2 x 3 x 3
24 और 36 के सार्व गुणनखण्ड 2, 2 और 3 हैं।
अतः 24 और 36 का म. स. = 2 x 2 x 3 = 12

(ii) ∵15 = 3 x 5
25 = 5 x 5
30 = 2 x 3 x 5
∴ म. स. = 5

(iii) ∵8 = 2 x 2 x 2
12 = 2 x 2 x 3
∴म. स. = 2 x 2 =4

(iv) ∵12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
28 = 2 x 2 x 7
∴म. स. = 2 x 2 = 4

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.6

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के म. स. ज्ञात कीजिए :
(a) 18, 48
(b) 30, 42
(c) 18, 60
(d) 27, 63
(e) 36, 84
(f) 34, 102
(g) 70, 105, 175
(h) 91, 112, 49
(i) 18, 54, 81
(j) 12, 45, 75
हल :
(a) ∵18 = 2 x 3 x 3
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
∴म. स. = 2 x 3 = 6

(b) ∵30 = 2 x 3 x 5
42 = 2 x 3 x 7
∴म. स. = 2 x 3 = 6

(c)∵18 = 2 x 3 x 3
60 = 2 x 2 x 3 x 5
∴म. स. = 2 x 3 = 6

(d)∵27 = 3 x 3 x 3
63 = 3 x 3 x 7
∴म. स. = 3 x 3 = 9

(e) ∵36 = 2 x 2 x 3 x 3
84 = 2 x 2 x 3 x 7
∴म. स. = 2 x 2 x 3 = 12

(f)∵34 = 2 x 17
102 = 2 x 3 x 17
∴म. स. = 2 x 17 = 34

(g)∵70 = 2 x 5 x 7
105 = 3 x 5 x 7
175 = 5 x 5 x 7
∴म. स. = 5 x 7 = 35

(h)∵91 = 7 x 13
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
49 = 7 x 7
∴म. स. = 7

(i)∵18 = 2 x 3 x 3
54 = 2 x 3 x 3 x 3
81 = 3 x 3 x 3 x 3
∴म. स. = 3 x 3 = 9

(j) ∵12 = 2 x 2 x 3
45 = 3 x 3 x 5
75 = 3 x 5 x 5
∴म. स. = 3

प्रश्न 2.
निम्न का म. स. क्या है?
(a) दो क्रमागत संख्याएँ
(b) दो क्रमागत सम संख्याएँ
(c) दो क्रमागत विषम संख्याएँ।
उत्तर-
(a) 1,
(b) 2,
(c) 1

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा दो सह-अभाज्य संख्याओं 4 और 15 का म. स. इस प्रकार ज्ञात किया गयाः
4 = 2 x 2 और 15 = 3 x 5
चूँकि इन गुणनखण्डों में कोई अभाज्य सार्व गुणनखण्ड नहीं है, इसलिए 4 और 15 का म. स. शून्य है। क्या यह उत्तर सही है ? यदि नहीं तो सही म. स. क्या है ?
उत्तर-
∵ शून्य किसी भी संख्या का गुणनखण्ड नहीं हो सकता है।
1 प्रत्येक संख्या का गुणनखण्ड है। अत: 1 सार्व गुणनखण्ड है।
अतः शून्य उत्तर सही नहीं है। सही म. स. 1 है।

संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.7

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 72

प्रश्न 1.
रेणु 75 किग्रा और 69 किग्रा भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती है। भार के उस बट्टे का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा-पूरा माप ले।
हल :
दोनों बोरियों के भारों को पूरा-पूरा मापने के लिए अधिकतम भार म. स. होगा।
∴75 = 3 x 5 x 5
69 = 3 x 23
∴सार्व गुणनखण्ड = 3, अत : म. स. = 3
अतः अधिकतम भार = 3 किग्रा

प्रश्न 2.
तीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारम्भ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमश: 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी है। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे कि वह दूरी पूरे-पूरे कदमों में तय हो जाए?
हल :
प्रत्येक द्वारा तय की गई दूरी उनके कदमों का ल. स. होगी।
अतः

∴ल. स. = 2 x 3 x 3 x 5 x 7 x 11 = 6930
∴अभीष्ट न्यूनतम दूरी = 6930 सेमी

प्रश्न 3.
किसी कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी हैं। ऐसा सबसे लम्बा फीता (tape) ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं (dimensions) को पूरा-पूरा माप ले।
हल :
फीते की अधिकतम लम्बाई 825, 675 और 450 का म. स. होगी।
∴825 = 3 x 5 x 5 x 11
675 = 3 x 3 x 3 x 5 x 5
450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5

∴म. स. = 3 x 5 x 5 = 75
अत: फीते की अधिकतम लम्बाई = 75 सेमी

प्रश्न 4.
6,8 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 100
तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 6, 8 और 12 से पूर्णतः विभाजित हो उनका ल. स. है।

∴ल. स. = 2 x 2 x 2 x 3 = 24
24 के सभी गुणज 6, 8 और 12 से विभाज्य होंगे। लेकिन हमें 3 अंकों का 24 का सबसे छोटा गुणज चाहिए।

अब 100 से बड़ी और 24 से पूर्णतया विभाज्य संख्या = (100 – 4) + 24 = 120
अत: अभीष्ट संख्या = 120

प्रश्न 5.
8, 10 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
8, 10 और 12 का ल. स. :

∴ल. स. = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
चूँकि 120 के सभी गुणज 8, 10 और 12 से भी विभाज्य होंगे।
अब 3 अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 999

∴999 – 39 = 960 जो कि 120 का गुणज है।
अत : अभीष्ट संख्या = 960

प्रश्न 6.
तीन विभिन्न चौराहों की ट्रैफिक लाइट (traffic lights) क्रमशः प्रत्येक 48 सेकण्ड, 72 सेकण्ड और 108 सेकण्ड बाद बदलती है। यदि वे एक साथ प्रातः 7 बजे बदलें, तो वें पुनः एक साथ कब बदलेंगी?
हल :
अभीष्ट समय 48,72 और 108 का ल. स. होगा।

ल. स. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 432 सेकण्ड
अत : अभीष्ट न्यूनतम समय जब लाइटें दोबारा अपने आप बदलेंगी = 432 सेकण्ड = 7 मिनट 12 सेकण्ड
इसलिए वे दोबारा 7 बजकर 7 मिनट और 12 सेकण्ड पर बदलेंगी।

प्रश्न 7.
तीन टैंकरों में क्रमशः 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर डीजल है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता ज्ञात कीजिए जो इन तीनों टैंकरों के डीजल को पूरा-पूरा माप देगा।
हल:
403 = 13 x 31
434 = 2 x 7 x 31
645 = 3 x 5 x 31
∴म. स. = सार्व गुणनखण्ड = 31
अत: बर्तन की अधिकतम अभीष्ट धारिता = 31 लीटर

प्रश्न 8.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष रहे।
हल:

∴ल. स. = 2 x 3 x 3 x 5 = 90
अत : अभीष्ट संख्या = 90 + 5 = 95

प्रश्न 9.
चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 24 और 32 से विभाज्य है।
हल:

∴ल. स. = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 288
चार अंकों की सबसे छोटी संख्या = 1000
∴4 अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 288 से विभाज्य हो
= 1000 – 136 + 288
= 1152

अत : अभीष्ट संख्या = 1152

प्रश्न 10.
निम्नलिखित संख्याओं का ल. स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या सदैव 3 का गुणज है :
(a) 9 और 4
(b) 12 और 5
(c) 6 और 5
(d) 15 और 4
प्राप्त ल. स. में एक सामान्य गुण का अवलोकन कीजिए। क्या ल. स. प्रत्येक स्थिति में दोनों संख्याओं का गुणनफल है? क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो संख्याओं का ल. स. सदैव 3 का एक गुणज है।
हल :
(a)

∴ल. स. = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
9 और 4 का गुणनफल = 9 x 4 = 36
∴4 और 9 का ल. स.= 9 और 4 का गुणनफल

(b)

∴ल. स.= 2 x 2 x 3 x 5 = 60
12 और 5 का गुणनफल = 12 x 5 = 60
∴12 और 5 का ल. स. = 12 और 5 का गुणनफल

(c)

∴ल. स. = 2 x 3 x 5 = 30
6 और 5 का गुणनफल = 6 x 5 = 30
∴6 और 5 का ल. स. = 6 और 5 का गुणनफल

(d)

∴ल. स. = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
15 और 4 का गुणनफल = 15 x 4 = 60
∴15 और 4 का ल. स. = 15 और 4 का गुणनफल
हम पाते हैं कि
36 = 3 x 12,
60 = 3 x 20,
30 = 3 x 10
यहाँ प्रत्येक स्थिति ल. स. 3 का गुणज है।
हाँ, प्रत्येक स्थिति में ल. स. = दो संख्याओं का गुणनफल
हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि दो संख्याओं का ल. स. सदैव 3 का गुणज होता है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित संख्याओं का ल. स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या दूसरी संख्या का एक गुणनखण्ड
(a) 5, 20
(b) 6, 18
(c) 12, 48
(d) 9, 45
प्राप्त परिणामों में आप क्या देखते हैं?
हल :
(a)

∴ल. स. = 2 x 2 x 5 = 20

(b)

∴ल. स. = 2 x 3 x 3 = 18

(c)

∴ल. स. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 48

(d)

∴ल. स. = 3 x 3 x 5 = 45
प्राप्त परिणामों से स्पष्ट है कि प्रत्येक स्थिति में दी हुई नंख्याओं का ल. स. उन दोनों में से बड़ी संख्या है।

RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना, Study Learner