RBSE Solution For Class 6 Math Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती

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RBSE Solution for Class 6 Math Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती

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प्रायोगिक ज्यामिती

प्रायोगिक ज्यामिती

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 297-298

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

प्रश्न 1.
आप केन्द्र O लेकर, एक बिन्दु मान लीजिए P से कितने वृत्त खींचे सकते हैं?
उत्तर-
एक।

प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.1

प्रश्न 1.
3.2 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर एक बिन्दु O लेते हैं।
(2) परकार को वांछित त्रिज्या 3.2 सेण्टीमीटर तक खोलते हैं।
(3) परकार की नोंक को स्थिर बिन्दु O पर रखते हैं तथा दूसरे पेंसिल वाले सिरे को घुमाते हैं। पेंसिल वाले सिर को घुमाने पर वांछित वृत्त प्राप्त होता है।

प्रश्न 2.
एक ही केन्द्र O लेकर 4 सेमी और 2.5 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त खींचिए।
हल :
रचना के पद:
(1) कागज पर एक बिन्दु O लेते हैं।
(2) परकार को 2.5 सेमी तक खोलते हैं।
(3) परकार की नोंक को बिन्दु O पर रखकर पेंसिल वाले सिरे को घुमाकर वृत बनाते हैं। इस प्रकार प्राप्त वृत्त 2.5 सेमी त्रिज्या का वृत्त होगा।

(4) अब परकार को 4 सेमी के लिए खोलते हैं।
(5) परकार की नोंक को बिन्दु O पर रखकर पेंसिल वाले सिरे को घुमाते हैं। इस प्रकार प्राप्त वृत्त 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त होगा।

प्रश्न 3.
एक वृत्त और उसके कोई दो व्यास खींचिए। यदि आप इन व्यासों के सिरों को जोड़े दें तो कौन-सी आकृति प्राप्त होती है ? यदि व्यास परस्पर लम्ब हों, तो कौन-सी आकृति प्राप्त होगी?
आप अपने उत्तर की जाँच किस प्रकार करेंगे ?
हल :
रचना के पदः
(1) O केन्द्र लेकर किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(2) दो व्यास AC और BD खींचे।
(3) AC और BD को मिलाकर चतुर्भुज ABCD बनाते हैं।
मापने पर, AB = CD और AD = BC
और ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
अत: ABCD एक आयत है।

पुनः यदि व्यास AC और BD लम्बवत् हैं, तब
(1) AC और BD के सिरों को मिलाते हैं।
हम एक चतुर्भुज प्राप्त करते हैं।

मापने पर, हम प्राप्त करते हैं :
AB = BC = CD = DA
और ∠A = ∠B और ∠C = ∠D
अत: ABCD एक वर्ग है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और बिन्दु A, B और C इस प्रकार अंकित कीजिए कि
(a) A वृत्त पर स्थित हो।
(b) B वृत्त के अभ्यंतर में स्थित हो।
(c) C वृत्त के बहिर्भाग में स्थित हो।
हल :

प्रश्न 5.
मान लीजिए A और B समान त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के केन्द्र हैं। इन्हें इस प्रकार खींचिए ताकि एक वृत्त दूसरे के केन्द्र से होकर जाए। इन्हें C और D पर प्रतिच्छेद करने दीजिए। जाँच कीजिए कि और परस्पर समकोण पर हैं।

उत्तर-

प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 299

प्रश्न 1.
रूलर का प्रयोग करके 7.3 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए।
हल :
रचना के पद:
(1) कागज पर एक बिन्दु A लेते हैं।
(2) अब पैमाने को सीधा रखकर उसका शून्य A पर रखते हैं।

(3) पेंसिल की सहायता से A से 7.3 सेमी की दूरी पर बिन्दु B पर निशान लगाते हैं।
(4) A को B से मिलाते हैं। इस प्रकार प्राप्त रेखाखण्ड AB वांछित रेखाखण्ड है।

प्रश्न 2.
रूलर और परकार का प्रयोग करते हुए 5.6 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखा l खींचते हैं और इस पर एक बिन्दु P लेते हैं।

(2) परकार की नोंक को पैमाने के शून्य पर रखते हैं और परकार को इस प्रकार खोलते हैं कि पेंसिल पैमाने के 5.6 सेमी तक पहुँचे।
(3) परकार की नोंक को बिन्दु P पर रखते हैं।
(4) अब परकार में भरी दूरी से रेखा l पर एक चाप लगाते हैं, जो l को बिन्दु Q पर काटता है।

हल :
रचना के पदः

हल :
रचना के पद :
(i) एक रेखा l खींचते हैं।
(ii) AB = 3.9 सेमी खींची।

प्रश्न 5.

(2) एक रेखा l खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु X लेते हैं।

प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 300

प्रश्न 1.

प्रश्न 2.

(3) अब कोई रेखा l खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु P लेते हैं।
(4) परकार के फैलाव में बिना कोई परिवर्तन किए हुए, उसके नुकीले सिरे को P पर रखते हैं, और पेंसिल वाले सिरे से l पर एक चाप लगाते हैं जो रेखा l को Q पर काटता है।
(5) अब परकार के नुकीले सिरे को Q पर रखकर परकार के उसी फैलाव का एक दूसरा चाप लगाते हैं जो रेखा l को R पर काटता है।

प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.4

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 305

प्रश्न 1.

(3) अब P और Q को केन्द्र मानकर और PM से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप इस प्रकार लगाते हैं कि वे परस्पर बिन्दु C पर काटते हैं।
C को M से मिलाया।
इस प्रकार CM ⊥ AB

प्रश्न 2.
एक रेखाखण्ड खींचिए। कोई बिन्दु R लीजिए जो PQ पर न हो। R से होकर PQ पर एक लम्ब खींचिए (रूलर और सेट स्क्वे यर द्वारा)।
हल :
रचना के पद :

(3) अब सेट स्क्वेयर के समकोण के सम्मुख किनारे के अनुदिश एक रूलर को रखते हैं।
(4) रूलर को कसकर पकड़ते हैं और सेट स्क्वेयर को रूलर के अनुदिश तब तक सरकाते हैं जब तक कि R समकोण बनाने वाले दूसरे किनारे को स्पर्श न करने लगे।
(5) अब R को सेट स्क्वे यर के किनारे के अनुदिश M से मिलाते हुए रेखा खींचते हैं।
अब रेखा RM ⊥ PQ है।

प्रश्न 3.
एक रेखा l खींचिए और उस पर स्थित एक बिन्दु X से होकर, रेखा l पर एक लम्ब रेखाखण्ड खींचिए।
अब Y से होकर पर एक लम्ब रूलर और परकार द्वारा खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखा l खींचते हैं और इस पर एक बिन्दु X अंकित करते हैं।

(2) X को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं जो l को P और Q पर काटता है।
(3) P और Q को केन्द्र मानकर और PX से अधिक त्रिज्या लेकर दो और चाप लगाते हैं, जो एक-दूसरे को M पर काटते हैं।
(4) X को M से मिलाते हुए Z तक बढाते हैं। XZ रेखा l पर अभीष्ट लम्ब है।
(5) अब XZ पर एक बिन्दु Y लेते हैं। Y को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं जो XY को R और S पर काटता है।
(6) R और S को केन्द्र मानकर और YR से अधिक त्रिज्या लेकर दो और चाप लगाते हैं, जहाँ एक-दूसरे को N पर काटते हैं।
(7) Y को N से मिलाते हैं।
इस प्रकार YN ⊥ XY.

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 307

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.

प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.5

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 307-308

प्रश्न 1.
7.3 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए और उसकी सममित अक्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
रचना के पद :

प्रश्न 2.
9.5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और उसका लम्ब समद्विभाजक खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखाखण्ड AB = 9.5 सेमी खींचा।
(2) A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक दूरी की. त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाते हैं।

(3) अब B को केन्द्र मानकर इतनी ही त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाते हैं, जो पहले चापों को क्रमशः C और D पर काटते हैं।
(4) C को D से मिलाया।
रेखाखण्ड CD अभीष्ट लम्ब समद्विभाजक है।

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड का लम्ब समद्विभाजक खींचिए जिसकी लम्बाई 10.3 सेमी है।
(a) इस लम्ब समद्विभाजक पर कोई बिन्दु P लीजिए। जाँच कीजिए कि PX = PY है।
(b) यदि M रेखाखण्ड XY का मध्य-बिन्दु है, तो MX और XY के विषय में आप क्या कह सकते हैं ?
हल :
रचना के पद :

(2) X और Y को केन्द्र मानकर और XY के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाते हैं, जो एक-दूसरे को A और B पर काटते हैं।

प्रश्न 4.
लम्बाई 12.8 सेमी वाला एक रेखाखण्ड खींचिए। रूलर और परकार की सहायता से इसके चार बराबर भाग कीजिए। मापन द्वारा अपनी रचना की जाँच कीजिए।
हल :
(1) रेखाखण्ड AB = 12.8 सेमी खींचा।
(2) AB का लम्ब समद्विभाजक ज्ञात किया जो AB को O पर काटता है।

प्रश्न 5.

(3) O को केन्द्र मानकर और OP या OQ त्रिज्या लेकर P और Q से जाता हुआ एक वृत्त खींचा।।
वृत्त जिसका कि व्यास है, अभीष्ट वृत्त है।

प्रश्न 6.

हल :
रचना के पद:
(1) कागज पर कोई बिन्दु C लेते हैं।
(2) C को केन्द्र मानकर तथा 3.4 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचते हैं।

(4) वृत्त की जीवा का लम्ब समद्विभाजक PQ खींचते हैं।
हाँ, हम देखते हैं कि यह लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।

प्रश्न 7.

हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर कोई बिन्दु O लेते हैं।

प्रश्न 8.
4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसकी कोई दो जीवाएँ खींचिए। इन दोनों जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक खींचिए। ये कहाँ मिलते हैं ?
हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर कोई बिन्दु O अंकित करते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और 4 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त खीचते हैं।

प्रश्न 9.

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 311

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
पाठय-पुस्तक में दिए गए चरण 2 में, यदि हम त्रिज्या BC के आधे से कम लें, तो क्या कोण होगा?
उत्तर-
यदि हम BC के आधे से कम त्रिज्या लेंगे तो B तथा C को केन्द्र मानकर खींचे गए चाप आपस में नहीं काटेंगे। अतः कोण नहीं बनेगा।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 312

प्रश्न 1.
ऊपर दर्शाए अनुसार 60° के कोण की रचना कीजिए। अब इस कोण को समद्विभाजित कीजिए। प्रत्येक कोण 30° का है। मापन द्वारा अपनी रचना की जाँच कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम एक किरण OA खींचते हैं।

(2) O को केन्द्र मानकर कोई भी उचित त्रिज्या लेकर एक चाप PS लगाते हैं, जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या से एक चाप लगाते हैं जो पहले चाप को Q पर काटता है।
(4) OQ को मिलाकर आगे बढ़ाते हैं और किरण OB प्राप्त करते हैं। तब ∠AOB = 60°

(6) Q को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या से (चरण 5) एक दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को R पर काटता है।
(7) OR को मिलाते हुए C तक आगे बढ़ाते हैं।
तब ∠AOC = 30°

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 312

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
15° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम 60° का ∠ABC बनाते हैं।
(2) ∠ABC को संमद्विभाजित करके 30° का कोण प्राप्त करते हैं। अर्थात् ∠ABD = 30°

(3) अब ∠ABD को इस प्रकार समद्विभाजित करते हैं कि ∠ABD का समद्विभाजिक हो।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 313

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
150° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम एक रेखा l खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु O लेते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो l को A पर काटता है।
(3) अब A को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या से एक चाप लगाते हैं जो पहले चाप को B पर काटता है।

(4) पुनः इसी त्रिज्या से B को केन्द्र मानकर दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को C पर काटता है।
(5) एक बार पुनः इसी त्रिज्या से C को केन्द्र मानकर चाप लगाते हैं जो पहले चाप को D पर काटता है।
(6) अब ∠COD को समद्विभाजित करते हैं,
इस प्रकार ∠COE = ∠EOD = 30°
(7) चूँकि 150° = 120° + 30°
अतः ∠AOC + ∠COE = ∠AOE
अतः अभीष्ट ∠AOE = 150°

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
45° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद:
(1) सर्वप्रथम 90° का ∠POQ बनाते हैं।
(2) ∠POQ का समद्विभाजक OR खींचते हैं।

अतः अभीष्ट ∠POR = 45°

प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.6

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 313

प्रश्न 1.
75° माप वाले कोण ∠POQ की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) किरण OP’ खींचते हैं।
(2) ∠BOQ = 90° बनाते हैं जबकि ∠LOQ = 60° और ∠BOL = 30°

प्रश्न 2.
147° माप वाले एक कोण की रचना कीजिए और उसका समद्विभाजक खींचिए।
हल :
रचना के पद :

(2) चाँदे की सहायता से ∠AOB = 147° बनाते हैं।

(4) P को केन्द्र मानकर और PQ के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं।
(5) पुनः Q को केन्द्र मानकर और इसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाते हैं, जो पहले चाप को R पर काटता है।
(6) O और R को मिलाते हुए आगे बढ़ाते हैं।
इस प्रकार OR, ∠AOB का अभीष्ट समद्विभाजक है।

प्रश्न 3.
एक समकोण खींचिए और उसके समद्विभाजक की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम एक रेखा l खीचते हैं और इस पर कोई बिन्दु O लेते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो l को A और B पर काटता है।

(3) अब A और B को केन्द्र मानकर और AB के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाते हैं, जो परस्पर C पर काटते हैं।
(4) O और C को मिलाते हैं।
इस प्रकार ∠AOC = 90° प्राप्त होता है।
(5) A और D को केन्द्र मानकर और AD के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाते हैं, जो परस्पर E पर काटते
(6) O और E को मिलाते हुए इसे आगे बढ़ाते हैं।

प्रश्न 5.
रूलर और परकार की सहायता से निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(a) 60°
(b) 300
(c) 90°
(d) 120°
(e) 45°
(f) 135°
हल :
(a) रचना के पद :

(2) O को केन्द्र मानकर तथा उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो OA को P पर काटता है।

(3) P को केन्द्र मानकर तथा उसी त्रिज्या से चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।
(4) O को R से मिलाया और B तक आगे बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOB = 60°

(2) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो OA को P पर काटता है।

(3) P को केन्द्र मानकर और उसी त्रिज्या से एक चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।
(4) अब R को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाया जो पहले चाप को S पर काटता है।
(5) अब R और S को केन्द्र मानकर दो चाप लगाए जो परस्पर Q पर काटते हैं।
(6) O को Q से मिलाते हुए आगे बढ़ाया।
इस प्रकार अभीष्ट कोण ∠AOQ = 90°

(d) (1) सर्वप्रथम किरण OA खींचते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से एक चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।

(4) R को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को S पर काटता है।
(5) O को S से मिलाते हुए आगे B तक बढ़ाया।
इस प्रकार अभीष्ट ∠AOB = 120°

(e) (1) सर्वप्रथम ∠AOQ = 90° बनाते हैं।
(2) ∠AOQ का समद्विभाजक OR ज्ञात करते हैं।
इस प्रकार ∠AOR = 45°

∠BOD का समद्विभाजक OC ज्ञात करते हैं।
इस प्रकार ∠BOC = 45°
अतः ∠AOC = 135°

प्रश्न 6.
45° का कोण खींचिए और उसके समद्विभाजक कीजिए।
हल :

(3) C को केन्द्र मानकर और CD के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं।
(4) D को केन्द्र मानकर और उसी त्रिज्या से लेकर एक दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को B पर काटता है।
(5) O को B से मिलाया और आगे बढ़ाया।