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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals (समाकलनों के अनुप्रयोग)

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Last Updated on December 1, 2022 by Rohitash Kumawat

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals (समाकलनों के अनुप्रयोग)

समाकलनों के अनुप्रयोग

    NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals (समाकलनों के अनुप्रयोग)

    प्रश्नावली 8.1

    प्रश्न 1.
    वक्र y² = x, रेखाओं x = 1,y = 4 एवं x-अक्ष से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    अभीष्ट क्षेत्रफल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 1

    प्रश्न 2.
    प्रथम चतुर्थांश में वक्र y² = 9x, x = 2 x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    अभीष्ट क्षेत्रफल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 2

    प्रश्न 3.
    प्रथम चतुर्थांश में x² = 4y, y = 2 y = 4 एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिया हुआ वक्र x² = 4y, y-अक्ष के प्रति सममित है। तथा हमें प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात करना
    ∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल ABCDA
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 3

    प्रश्न 4
    दीर्घवृत्त  \frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 4

    प्रश्न 5.
    दीर्घवृत्त  \frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिया है, दीर्घवृत्त का समीकरण
    \frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1
    ∵9 > 4
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 5

    प्रश्न 6.
    प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4, रेखा x = √3 y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिए गए वृत्त का समीकरण x² + y² = 4 है जिसका केन्द्र (0, 0) और त्रिज्या 2 के समान
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 6

    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 6.1

    प्रश्न 7.
    छेदक रेखा  x=\frac { a }{ \sqrt { 2 } }  द्वारा वृत्त x² + y² = a² के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
    हल
    अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 (क्षेत्रफल MAPM)
    (क्योंकि वृत्त x-अक्ष के प्रति सममित है)
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 7
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 7.1

    प्रश्न 8.
    यदि वक्र x = y² एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है। तो a का मान ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिया गया वक्र
    x = y² …(1)
    एवं रेखा x = 4 ..(2)
    (1) एक परवलय है जिसको शीर्ष (0, 0) है तथा (2) एक रेखा है जो कि y-अक्ष के समान्तर है तथा इससे 4 इकाई दूरी पर है। माना रेखा x = a, क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। इसलिए कुल क्षेत्रफल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 8

    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 8.1

    प्रश्न 9.
    परवलय y = x² एवं y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिया हुआ परवलय
    y = x² y-अक्ष के प्रति सममित है।
    परवलय y = x² व y = x के प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए।
    y = x² में y = x रखने पर,
    ⇒x = x²
    ⇒x(x – 1) = 0
    ⇒x = 0, x = 1
    पुन: चूँकि y = |x| ∴y = x, – x y = 1, -1
    अत: अभीष्ट प्रतिच्छेद बिन्दु (-1, 1), (0, 0) व (1, 1)
    इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 [क्षेत्रफल ∆APO – क्षेत्रफल ∆OAP]
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 9
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 9.1

    प्रश्न 10.
    वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिया गया वक्र x² = 4y ….(1)
    तथा दी गई रेखा x = 4y – 2 …(2)
    (1) और (2) को हल करने पर,
    (4y – 2)² = 4y
    या 16y² – 16y + 4 – 4y = 0
    या 16y² – 20y + 4 = 0
    या 4y² – 5y + 1 = 0
    या (y – 1)(4y – 1) = 0
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 10

    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 10.1

    प्रश्न 11.
    वक्र y² = 4 एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिया गया वक्र y² = 4x, एक परवलय का समीकरण है। जिसका शीर्ष (0, 0) है और OX इसका अक्ष है जिसके सापेक्ष परवलय सममित है तथा रेखा का समीकरण x = 3 है।
    y² = 4x …(1)
    में x = 3 रखने पर,
    y² = 4 x 3 = 12
    ⇒ y = √12
    ∴अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OPQ का. क्षेत्रफल
    = 2 x OLQ का क्षेत्रफल
    (केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र)
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 11


    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 11.1
    अत: अभीष्ट क्षेत्रफल 8√3 वर्ग इकाई है।

    प्रश्न 12.
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 12
    हल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 12.1

    प्रश्न 13.
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 13
    हल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 13.1

    NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals (समाकलनों के अनुप्रयोग)

    प्रश्नावली 8.2

    प्रश्न 1.
    परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिए गए वृत्त का समीकरण 4x² + 4y² = 9 तथा परवलय का समीकरण x² = 4y है।
    परवलय x² = 4y का शीर्ष (0, 0) है और OY सममित रेखा है।
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 1

    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 1.1

    प्रश्न 2.
    दो वृत्तों x² + y² = 1 एवं (x – 1)² + y =1 से आबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिए हुए वृत्तों के समीकरण हैं– x² + y² = 1 …(1)
    (x – 1)² + y = 1 …(2)
    समीकरण (1) ऐसा वृत्त है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु O पर है। और जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है। समीकरण (2) एक ऐसा वृत्त है।
    जिसका केन्द्र C(1, 0) है और जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।
    समीकरण (1) और (2) को हल करने पर,
    (x – 1)² + y² = x² + y²
    या x² – 2x + 1 + y² = x² + y²
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 2

    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 2.1

    प्रश्न 3.
    वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    हल
    दिए गये वक्रों के समीकरण y = x² + 2 …(1)
    y = x …(2)
    x = 0 …(3)
    x = 3 …(4)
    अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित क्षेत्रफल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 3

    प्रश्न 4.
    समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
    हल
    माना दिए हुए तीन बिन्दु A(-1, 0), B (1, 3) तथा C (3, 2) हैं।
    हम जानते हैं कि, बिन्दु (x1, y1), (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की समीकरण
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 4


    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 4.1
    समीकरण (4) में ∆ ABL, समलम्ब BCML तथा ∆ ACM के क्षेत्रफलों के मान रखने पर, ∆ABC का क्षेत्रफल = 3 + 5 – 4 = 4 वर्ग इकाई

    प्रश्न 5.
    समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के समीकरण y = 2x + 1,y = 3x + 1 एवं = 4 हैं।
    हल
    भुजाओं के समीकरण
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 5
    y = 2x + 1 ..(1)
    y = 3x + 1 ..(2)
    x = 4 ..(3)
    (1) और (2) को हल करने पर,
    2x + 1 = 3x + 1 ⇒ x = 0 ∴ y = 1
    ∴(1) और (2) का प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 1) है।
    (1) और (3) को हल करने पर,
    y = 8 + 1 = 9
    ∴(1) और (3) का प्रतिच्छेद बिन्दु (4, 9) है।
    (2) और (3) को हल करने पर, y = 12 + 1 = 13; x = 4
    ∴(2) और (3) का प्रतिच्छेद बिन्दु (4, 13) है।

    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 5.1

    प्रश्न 6.
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 6
    हल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 6.1

    प्रश्न 7.
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 7
    हल
    UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals 7.1

    NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals (समाकलनों के अनुप्रयोग)

    सभी प्रश्नावली कक्षा १२वीं गणित की

    प्रश्नावली संख्याप्रश्नावली नाम
    प्रश्नावली 1सम्बन्ध एवं फलन
    प्रश्नावली 2प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
    प्रश्नावली 3आव्यूह
    प्रश्नावली 4सारणिक
    प्रश्नावली 5सांतत्य तथा अवकलनीयता
    प्रश्नावली 6अवकलज के अनुप्रयोग
    प्रश्नावली 7समाकलन
    प्रश्नावली 8समाकलनों के अनुप्रयोग
    प्रश्नावली 9अवकल समीकरण
    प्रश्नावली 10सदिश बीजगणित
    प्रश्नावली 11त्रिविमीय ज्यामिति
    प्रश्नावली 12रैखिक प्रोग्रामन
    प्रश्नावली 13प्रायिकता
    NCERT Solutions for Class 12 Maths गणित

    सभी प्रश्नावली कक्षा १२वीं गणित की

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