RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक बिन्दु x-अक्ष पर स्थित है। इस के y-निर्देशांक तथा z-निर्देशांक क्या हैं ?
हल:
x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0, 0) होते हैं जिसमें
∴ y = 0, z = 0.

प्रश्न 2.
एक बिन्दु XZ तल में है। इसके y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
हल:
XZ तल में y- निर्देशांक 0 होता है। इस तल का बिन्दु (x, 0, z) के रूप में होता है।

प्रश्न 3.
अष्टांशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिन्दु स्थित हैं :
(1, 2, 3), (4, – 2, 3), (4, – 2, – 5), (4, 2, – 5), (- 4, 2, – 5), (- 4, 2, 5), (- 3, – 1, 6), (2, – 4, – 7)
हल:
दिए हुए बिन्दुओं के अष्टांश हैं:
(i) (1, 2, 3) – XOYZ – पहला
(ii) (4, – 2, 3) – XOYZ – चौथा
(iii) (4, 2, – 5) – XOYZ’ – आठवाँ
(iv) (4, 2, – 5) – XOYZ’ – पाचवाँ
(v) (- 4, 2, – 5) – X’OYZ’ – छटा
(vi) (- 4, 2, 5) – (X’OYZ) – दूसरा
(vii) (- 3, – 1, 6) – (XOYZ) – तीसरा
(viii) (2, – 4, – 7) – (XOYZ’) – आठवाँ

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों एक साथ मिल कर एक तल बनाते हैं, उस तल को ……….. कहते हैं।
(ii) XY- तल में एक बिन्दु के निर्देशांक …….. रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को ………… अष्टांश में विभाजित करते हैं।
हल:
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों एक साथ मिलकर एक तल बनाते है उस तल को XY-तल कहते हैं।
(ii) XY- तल में एक बिन्दु के निर्देशांक (x, y, 0) रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को 8 क्षेत्र में विभाजित करते हैं।

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बिन्दु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
हल:
दो बिन्दु (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी

बिन्दु (2, 3, 5) और (4, 3, 1) के बीच की दूरी

(ii) (- 3, 7, 2) और (2, 4, – 1)
हल:
बिन्दु (-3, 7, 2) और (2, 4, -1) के बीच की दूरी

(iii) (- 1, 3, – 4) और (1, – 3, 4)
हल:
बिन्दु (- 1, 3, – 4) और (1, – 3, 4) के बीच की दूरी

(iv) (2, – 1, 3) और (- 2, 1, 3).
हल:
बिन्दु (2, – 1, 3) और (- 2, 1, 3) के बीच की दूरी

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु (- 2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, – 1) सरेख हैं।
हल:
मान लीजिए बिन्दु A(- 2, 3, 5), और B(1, 2, 3) के बीच की दूरी


यहाँ AB + BC = AC
अतः बिन्दु A, B, C सरेख हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए :
(i) (0, 7, – 10), (1, 6, – 6), और (4, 9, – 6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, 7, – 10), B(1, 6, – 6) और C(4, 9, – 6) हैं।

अतः दिए गए शीर्ष समद्धिबाहु त्रिभुज के हैं।

(ii) (0, 7, 10), (- 1, 6, 6) और (- 4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना त्रिभुज PQR के शीर्ष P(0, 7, 10), Q(- 1, 6, 6) और R(- 4, 9, 6) हों, तब
PQ² = (- 1 – 0)² + (6 – 7)² + (6 – 10)²
= 1 + 1 + 16 = 18
QR² = (- 4 + 1)² + (9 – 6)² + (6 – 6)²
= 9 + 9 + 0 = 18
PR² = (- 4 – 0) + (9 – 7) + (6 – 10)²
= 16 + 4 + 16
= 36
PQ² + QR² = 18 + 18 = 36
अब PR² = 36
∴ PQ² + QR² = PR²
अतः दिए गए शीर्ष समकोण त्रिभुज के हैं।

(iii) (- 1, 2, 1), (1, – 2, 5), (4, – 7, 8) और (2, – 3, 4) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(- 1, 2, 1), B(1, – 2, 5), C(4, – 7, 8) और D(2, – 3, 4) हों, तब
AB² = (1 + 1)² + (- 2 – 2)² + (5 – 1)²
= 4 + 16 + 16 = 36
BC² = (4 – 1)² + (- 7 + 2)² + (8 – 5)²
= 9 + 25 + 9 = 43
CD² = (2 – 4)² + (- 3 + 7)² + (4 – 8)²
= 4 + 16 + 16 = 36
AD² = (2 + 1)² + (- 3 – 2)² + (4 – 1)²
= 9 + 25 + 9 = 43.
AB² = CD² और BC² = AD²
AB = CD और BC = AD
अतः दिए गए बिन्दु एक समांतर चतुर्भुज के हैं।

प्रश्न 4.
ऐसे बिन्दुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) और (3, 2, -1) से समदूरस्थ हैं।
हल:
माना कोई बिन्दु P(x, y, z) बिन्दु A(1, 2, 3) और बिन्दु B(3, 2, – 1) से समान दूरी पर है।
अर्थात् PA = PB
या PA² = PB²
(x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = (x – 3)²+ (y – 2)² + (z + 1)²
(x² – 2x + 1) + (z² – 6z + 9) = (x² – 6x + 9) + (z² + 2z + 1)
– 2x + 6x – 6z – 2z + 10 – 10 = 0
या 4x – 8z = 0
अंत: अभीष्ट समीकरण x – 2z = 0.

प्रश्न 5.
बिन्दुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दुओं A(4, 0, 0) और B(- 4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।
हल:
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
या
दिए गए बिन्दु A(4, 0, 0) और B(- 4, 0, 0) इस प्रकार हैं कि PA + PB = 10

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.3

प्रश्न 1.
बिन्दुओं (- 2, 3, 5) और (1, – 4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड को अनुपात
(i) 2 : 3 में अंतः
(ii) 2 : 3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना बिन्दु A(- 2, 3, 5) और B(1, – 4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड AB को
P(x, y, z), अनुपात 2 : 3 में अंतः विभाजित करता हो, तब
बिन्दु P के निर्देशांक इस प्रकार

(ii) जब बिन्दु P(x, y, z) रेखाखण्ड AB के बाह्यतः विभाजित करता हो, तो निर्देशांक इस प्रकार होंगे

प्रश्न 2.
दिया गया है कि बिन्दु P(3, 2, – 4), Q(5, 4, – 6) और R(9, 8, – 10) सरेख हैं। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q, PR को विभाजित करता है।
हल:
माना बिन्दु Q, रेखाखण्ड PR को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु P, Q, R, सरेख हैं और Q, PR को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 3.
बिन्दुओ (- 2, 4, 7) और (3, – 5, 8) को मिलाने वाली रेखाखण्ड, YZ- तल द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बिन्दु P पर तल YZ रेखाखण्ड AB को k : 1 के अनुपात में प्रतिच्छेद करता है, तब
YZ – तल पर प्रत्येक बिन्दु (0, y, z) के रूप में होगा।
A, B के निर्देशांक क्रमशः (- 2, 4, 7) और (3, – 5, 8) हैं।

अत: AB को YZ – तल 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है।

प्रश्न 4.
विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए
A(2, – 3, 4), B(- 1, 2, 1) तथा C(0, 1/3, 2) संरेख हैं।
हल:
माना A, B, C, सरेख हैं B, रेखाखण्ड AC को k : 1 में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु A, B, C सरेख हैं।

प्रश्न 5.
P(4, 2, – 6) और Q(10, – 16, 6) के मिलाने वाली रेखाखण्ड PQ को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु A, B रेखाखण्ड PQ को 3 समान भागों में विभाजित करती है।

बिन्दु A, रेखाखण्ड PQ को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: A तथा B के निर्देशांक क्रमशः (6, – 4, – 2) और (8, – 10, 2) हैं।

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3, – 1, 2), B(1, 2, – 4) व C(- 1, 1, 2) हैं। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
शीर्ष A और C क्रमशः (3, – 1, 2), (- 1, 1, 2) हैं।

अतः बिन्दु D के निर्देशांक (1, – 2, 8) हैं।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः 4(0, 0, 6), B(0, 4, 0) तथा C(6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु B(0, 4, 0) और C(6, 0, 0) को मिलाने वाला रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु

∴ बिन्दु A के निर्देशांक (0, 0, 6) हैं।

प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज PQR का केन्द्रक मूल बिन्दु है और शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10) और R(8, 14, 2c) हैं तो a, b और c का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
दिया है: त्रिभुज PQR के शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10), R(8, 14, 2c)

प्रश्न 4.
y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु P(3, – 2, 5) से दूरी 5√2 है।
हल:
y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक A(0, y₁, 0) है। A से P(3, – 2, 5) के बीच की दूरी = 5√2
∴ AP² = (3 – 0)² + (- 2 – y₁) + (5 – 0)²
∴ = 9 + (- 2 – y₁) + 25
= (y₁ + 2)² + 34

∴ (y₁ + 2)² + 34 = 50
∴ (y₁ + 2)² = 50 – 34 = 16
y₁ + 2 = ± 4
+ ve चिन्ह लेने पर, y₁ = 4 – 2 = 2
– ve चिन्ह लेने पर, y₁ = – 4 – 2 = – 6
∴ y-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (0, 2, 0) और (0, – 6, 0) है।

प्रश्न 5.
P(2, – 3, 4) और Q(8, 0, 10) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित एक बिन्दु R का x-निर्देशांक 4 है। बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु R, PQ को k : 1 में विभाजित करता है जबकि P और Q के निर्देशांक P(2, – 3, 4) और ए(8, 0, 10) हैं।

परन्तु x- निर्देशांक 4 के समान है।

अतः R के निर्देशांक (4, – 2, 6) हैं।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (- 1, 3, – 7) हैं। चर बिन्दु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ PA² + PB² = k² जब कि k अचर है।
हल:
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
बिन्दु A(3, 4, 5) है।
PA² = (x – 3)² + (y – 4)² + (z – 5)²
बिन्दु B(- 1, 3, 7) है।
∴ PB² = (x + 1)² + (y – 3)² + (z + 7)²
दिया है, PA² + PB² = k²
∴ [(x – 3)² + (y – 4)² + (z – 5)²] + [(x + 1)² + (y – 3)² + (z + 7)²] = k²
या (x² + y² + z² – 6x – 8y – 10z + 9+ 16 + 25) + (x² + y² + z² + 2x – 6y + 14z + 1 + 9 + 49)
∴ 2(x² + y² + z²) – 4x – 14y + 4z + 50 + 59 – k² = 0
या 2(x² + y² + z²) – 4x – 14y + 4z + 109 – k² = 0 .

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