Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 6 रेखाएँ और कोण

 रेखाएँ और कोण Ex 6.1

प्रश्न 1.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

हल:
आकृति के अनुसार ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या (∠AOC + ∠BOE) + ∠COE = 180°
या 70° + ∠COE = 180°
या ∠COE = 180° – 70°
∴ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – ∠COE
= 360° – 110°
= 250°
इसलिए प्रतिवर्ती ∠COE = 250°
पुनः ∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 110° + ∠ BOE + 40° = 180°
या ∠ BOE = 180° – 110° – 40°
या ∠BOE = 30°

प्रश्न 2.
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिन्दु ० पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और ab = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

हल:
चित्रानुसार
∠POX + ∠POY = 180°
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या ∠POX + 90° = 180°
या ∠POX = 180° – 90°
या ∠POX = 90°
अब मान लिया कि a = 2k और b = 3k जहाँ k अचर है और k > 0
∠POX = 90°
या a + b = 90°
या 2k + 3k = 90°
या 5k = 90°
या k = 90/5 = 18°
अतः a = 2k तथा b = 3k
या a = 2 × 18°
या b = 3 × 18°
या a = 36° या b = 54°
अब पुनः ∠MOX + ∠NOX = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या b + c = 180°
या 54° + c = 180°
या c = 180° – 54°
या c = 126°
अतः अभीष्ट c का माप = 126°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠PQS + ∠PQR = 180° ……….. (i) (
क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
तथा ∠PRT + ∠PRQ = 180° …..(ii)
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
अब समीकरण (i) व (ii) के अनुसार
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ ………(iii)
लेकिन प्रश्न में दिया है
∠PQR = ∠PRO
∴ समीकरण (iii) को इस प्रकार लिखा जा सकता है
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR
या ∠PQS = ∠PRT + ∠PQR – ∠PQR
या ∠PQS = ∠PRT (इति सिद्धम् )

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠AOC + ∠BOC + ∠DOB + ∠AOD = 360°
या x + y + w+ z = 360°
या x + y + x + y = 360°
[∵ x + y = w + 2 प्रश्न में दिया है]
या 2x + 2y = 360°
या 2(x + y) = 360°
या x + y = 360/2 = 180°
या x + y = 180° (∵ ये रैखिक युग्म हैं)
या ∠BOC + ∠AOC = 180°
इससे यह प्रदर्शित होता है कि OC, ∠AOC और ∠BOC की उभयनिष्ठ भुजा है जो रैखिक युग्म बनाते हैं। अत: AOB एक रेखा है। (इति सिद्धम् )

प्रश्न 5.
आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में Os एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए
∠ROS = 1/2(∠QOS – ∠POS)

हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠ POR + ∠ QOR = 180°
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या ∠POR + 90° = 180°
या ∠ POR = 180° – 90°
या ∠POR = 90°
या ∠ POS + ∠ ROS = 90°
या ∠ ROS = 90° – POS …..(i)
पुनः ∠ POS + ∠Qos = 180° …..(ii)
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
2∠POS को (ii) के दोनों पक्षों में से घटाने पर
∠POS + ∠QOs – 2 ∠POS = 180° – 2 ∠POS
या ∠QOS – ∠ POS = 2 (90 – ∠ POS)
या (∠QOS – ∠ POS) = 90° – ∠ POS …….(iii)
अब समीकरण (i) व (iii) से
∠ROS = 1/2(∠ QOS – < POS) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न के अनुसार XY को P बिन्दु तक बढ़ाया गया है। इसका अर्थ होगा कि XP एक सरल रेखा है।
अतः ∠XYZ + ∠ZYP = 180°
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 64° + ∠ZYP = 180°
या ∠ZYP = 180° – 64°
या ∠ZYP = 116° …..(i)
प्रश्नानुसार यह भी दिया है कि YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।


[समीकरण (i) के प्रयोग से]
या ∠ZYQ = ∠ QYP
= 58° …..(ii)
या ∠QYP = 58°
अब ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
या ∠XYQ = 64° + 58°
या ∠XYQ = 122°
समीकरण (ii) के अनुसार
∠∠YQ = ∠QYP
∵ ∠XYZ = 64° (प्रश्नानुसार)
तथा ∠∠YQ = 58°
∴ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP
या प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58°
या प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°

रेखाएँ और कोण Ex 6.2

प्रश्न 1.
आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए । और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

हल:
प्रश्न में दिखाए अनुसार AB तथा CD रेखा को एक तिर्यक रेखा। बिन्दु P पर तथा Q पर प्रतिच्छेदित करती है। अब चित्रानुसार
50° + x = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या x = 180° – 50°
या x = 130° ….. (i)
या y = 130° ……. (ii)
(क्योंकि ये शीर्षाभिमुख कोण हैं)
समीकरण (i) व (ii) के अनुसार हम देखते हैं कि
x = y
अर्थात् अंतः एकान्तर कोण बराबर हैं।
हम जानते हैं कि यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करे कि अंतः एकान्तर कोणों के युग्म बराबर हों, तो दो रेखाएँ समान्तर होती हैं। इसी के आधार पर उपर्युक्त प्रश्न में भी यह कहा जा सकता है कि
AB || CD.

प्रश्न 2.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : Z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार
∵ AB||CD
∴ x + y = 180° …..(i)
[क्योंकि दो समान्तर रेखाओं को यदि एक तिर्यक रेखा काटे तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।]
प्रश्न में दिया है कि AB || CD तथा CD || EF
∴ AB || EF
[क्योंकि एक ही रेखा के समान्तर खींची गई दो रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।]
अतः x = z …..(ii)
[क्योंकि समान्तर रेखाओं के लिए एकान्तर अन्त:कोण बराबर होते हैं।]
समीकरण (ii) से x का मान () में प्रतिस्थापित करने पर
z + y = 180° …..(iii)
प्रश्नानुसार y : Z = 3 : 7
अब माना कि y = 3k
∴ z = 7k, जहाँ k > 0 अचर है।
y तथा 2 का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर।
7k + 3k = 180°
या 10k = 180°
या k = 180°/10 = 18°
∴ y = 3k या y = 3 × 18° = 54°
तथा = 7k या =7 × 18° = 126°
समीकरण (ii) के अनुसार
x = Z
∴ x = 126°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार AB || CD तथा GE एक तिर्यक रेखा है।
इसमें ∠AGE = ∠GED (ये एकान्तर कोण हैं)
या ∠AGE = 126° …..(i) 
[∵∠GED = 126° दिया गया है]
या ∠ GEF + ∠ FED = 126°
या ∠ GEF + 90° = 126°
[∵ EF, CD पर लम्ब है (दिया गया है)]
∴ ∠ FED = 90°
या ∠GEF = 126° – 90°
या ∠GEF = 36°
अब ∠AGE + ∠ FGE = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 126° + ∠ FGE = 180° [समी. () से ∠AGE = 126°]
या ∠ FGE = 180° – 126°
या ∠FGE = 54°

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
[संकेत-बिन्दु R से होकर ST के समान्तर एक रेखा खींचिए।]

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र में बिन्दु R से होकर ST के समान्तर एक रेखा RN खींची।
अतः ST || RN
या ∠RST + ∠SRN = 180°
[क्योंकि दो समान्तर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत:कोणों का योग 180° होता है।]
या 130° + ∠SRN = 180°
या ∠SRN = 180° – 130°
या ∠SRN = 50° …..(i)
प्रश्नानुसार दिया गया है कि PQ || ST
तथा की गई रचना से RN || ST
∴ PO || RN
[क्योंकि दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समान्तर हों, वे परस्पर समान्तर होती हैं।]
∵ PO || RN और QR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠QRN = ∠PQR (एकान्तर कोण हैं)
या ∠QRN = 110°
[∵ ∠PQR = 110° (दिया है)]
∴ ∠QRN = 110°
या ∠ORS + ∠SRN = 110°
या ∠QRS + 50° = 110° [समीकरण (i) से]
या ∠ QRS = 110° – 50°
या ∠QRS = 60°

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार AB || CD तथा PQ एक तिर्यक रेखा है।
∴ x = ∠APQ (एकान्तर कोण हैं)
या x = 50°
[∵ ∠APQ = 50° दिया गया है]
पुनः चित्र के अनुसार AB || CD तथा PR एक तिर्यक रेखा दोनों को प्रतिच्छेद करती है।
∴ ∠APR = ∠PRD (एकान्तर कोण हैं)
या ∠APQ + ∠QPR = ∠PRD
या 50° + y = 127°
या y = 127° -50°
y = 77°

प्रश्न 6.
आकृति में, PO और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित क्रिरण (reflected ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल:
दिया है-आकृति में PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर हैं। एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है। CD एक परावर्तित किरण है जो दर्पण RS से परावर्तित होती है।

सिद्ध करना है-AB || CD
उपपत्ति ∵हम जानते हैं कि आपतन कोण = परावर्तन कोण
∴ ∠1 = ∠2
और ∠3 = ∠4……(i)
[यहाँ ∠1 आपाती किरण AB है और अभिलम्ब BL है।]
∴ ∠1 एक आपतन कोण है, ∠2 परावर्तित किरण BC और अभिलम्ब BL के बीच स्थित है। अतः ∠2 परावर्तित कोण है। इसी प्रकार ∠3 और ∠4 क्रमशः आपतन कोण और परावर्तित कोण हैं।
∴ PQ || RS तथा BL ⊥ PQ पर
तथा BL || CM तथा CM ⊥ RS पर
अब समान्तर रेखाएँ BL और CM हैं। एक तिर्यक रेखा BC इनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠2 = ∠3 …..(ii) (एकान्तर कोण हैं)
अब ∠ABC = ∠1 + ∠2
या ∠ABC = ∠2 + ∠2
[क्योंकि ∠1 = ∠2]
या ∠ABC = 2 ∠ 2
और ∠ BCD = ∠3 + ∠4
या ∠BCD = ∠3 + ∠3 [क्योंकि ∠3 = ∠4]
या ∠ BCD = 2 ∠3
लेकिन समीकरण (ii) के अनुसार ∠2 = ∠3
या 2∠2 = 2∠3
या ∠ABC = ∠ BCD ये एकान्तर कोण हैं तथा BC एक तिर्यक रेखा है। अतः AB || CD (इति सिद्धम्)

रेखाएँ और कोण Ex 6.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ∆ PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार
∠SPR + ∠QPR = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 135° + ∠QPR = 180°
या ∠QPR = 180° – 135°
या ∠OPR = 45°
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंत:अभिमुख या अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ∆ PQR में बहिष्कोण
∠PQT= ∠QPR + ∠ PRQ या
या 110° = 45° + ∠ PRO
या 110° – 45° = ∠ PRQ
या 65° = ∠PRQ
या ∠PRQ = 65°

प्रश्न 2.
आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमशः ∆ XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠ YOZ ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠YXZ + ∠ XYZ + ∠XZY = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
या 62° + 54° + ∠ XZY = 180°
या ∠XZY = 180° – 62° – 54°
या ∠XZY = 64°
अब प्रश्नानुसार ∠O, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∴ ∠OZY = ∠OZX = 1/2 ∠XZY
या ∠ OZY = ∠ OZX = 1/2 × 64°
या ∠OZY = ∠OZX = 32°
या ∠OZY = 32° उत्तर
पुनः प्रश्नानुसार YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है।
∴ ∠ OYZ = ∠OYX = 1212 ∠XYZ
या ∠OY∠ = 1/2 × 54°
या ∠OYZ = 27°
अब ∆ OYZ में ∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
या ∠YOZ + 27° + 32° = 180° .
या ∠YOZ = 180° – 27° – 32°
या ∠YOZ = 121°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ZDCE ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार दी गई आकृति में AB || CD है तथा AE एक तिर्यक रेखा दोनों को प्रतिच्छेद करती है
∴ ∠BAE = ∠AED
(क्योंकि ये एकान्तर कोण हैं)
या ∠BAC = ∠AED
35° = ∠AED ∠ AED = 35°
∠CED = 35° अब ACDE में ∠DCE+ ∠CDE + ∠ CED = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार) या ∠DCE + 53° + 35° = 180°
∠DCE + 88° = 180° या .
∠DCE = 180° – 88° या
∠DCE = 92° 

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार दी गई आकृति के ∆PRT में
∠RPT + ∠ PRT + ∠ PTR = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार) या
या 95° + 40° + ∠ PTR = 180°
या ∠PTR = 180° – 95° – 40°
या ∠ PTR = 180° – 135° .
या ∠PTR = 45° …..(i)
चित्रानुसार भुजाएँ PQ तथा RS एक-दूसरे को परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेदित करती हैं।
∴ ∠STQ = ∠PTR
(ये शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∠ STQ = 45°
[समीकरण (i) के अनुसार]
अब पुनः ∆ STQ में
∠ SQT + ∠STQ + ∠OST = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
या ∠SQT + 45° + 75° = 180°
या ∠SQT = 180° – 45° – 75°
या ∠ SQT = 180° – 120°
या ∠ SQT = 60°

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ ⊥PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत:अभिमुख या अंतराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ∆ QSR के अनुसार
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
या 65° = ∠ QSR + 28°
या 65° – 28° = ∠ QSR
या 37° = ∠QSR
या LQSR = 37° ……… (i)
प्रश्न में दिए गए चित्रानुसार PQ || SR तथा SQ एक तिर्यक रेखा उन्हें प्रतिच्छेदित करती है।
∴ x = ∠QSR या
x = 37° ….(ii)
[समीकरण (i) के आधार पर]
पुनः भुजा PQ ⊥ PS पर
∴ ∠QPS = 90° …..(iii)
अब समकोण त्रिभुज POS में
∠QPS + ∠x + ∠y = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के आधार पर)
या 90° + 37° + ∠y = 180°
[समी. (ii) व (iii) के आधार पर]
या 127° + ∠y = 180°
या ∠y = 180° – 127°
या ∠y = 53° 

प्रश्न 6.
आकृति में, ∆ PQR की भुजा QR को बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = 1212 ∠QPR है।

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार भुजा OT, ∠POR की समद्विभाजक है।
∴ ∠PQT =∠RQT …..(i)
पुनः भुजा RT, ∠PRS की समद्विभाजक है।
∴ ∠PRT = ∠TRS …..(ii)
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख या अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ∆ PQR के अनुसार
बहिष्कोण∠PRS = ∠QPR +∠PQR
या (PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
या ∠TRS +∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT)
[समीकरण (i) तथा (ii) के आधार पर]
या 2∠TRS = ∠QPR + 2 ∠RQT
या 2 (∠ TRS – ∠RQT) = ∠QPR
या ∠TRS -∠ROT = 1/2 QPR ….(iii)
अब पुनः ∆ QTR के अनुसार
बहिष्कोण ∠TRS = ∠QTR + ∠RQT ……..(iv)
क्योंकि हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत:अभिमुख या अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
समीकरण (iv) का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
∠QTR +∠ROT – ∠RQT = 1/2∠QPR
या ∠ QTR = 1/2∠QPR (इति सिद्धम्)

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 6 रेखाएँ और कोण, Study Learner