Last Updated on March 14, 2023 by Rohitash Kumawat

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 14 सांख्यिकी

सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
उन आँकड़ों के पाँच उदाहरण दीजिए जिन्हें आप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं।
हल:
अपने दैनिक जीवन से एकत्रित किए जा सकने वाले पाँच उदाहरण निम्नलिखित हैं

• अपनी कक्षा में छात्रों की संख्या। 
• अपने विद्यालय में पंखों की संख्या।
• पिछले दो वर्षों के घर की बिजली के बिलों की संख्या।
• टेलीविजन या समाचार-पत्रों से प्राप्त चुनाव परिणाम।
• शैक्षिक सर्वेक्षण से प्राप्त साक्षरता दर के आँकड़े।

उपर्युक्त आँकड़ों के अतिरिक्त भी एकत्रित किए जाने वाले आँकड़े हो सकते हैं तथा इनके आधार पर उत्तरों में भी परिवर्तन हो सकता है।

प्रश्न 2. 
पर दिए गए प्रश्न 1 के आँकड़ों को प्राथमिक आंकड़ों या गौण आँकड़ों में वर्गीकृत कीजिए।
हल:

• प्राथमिक आँकड़े-यदि कोई अनुसंधानकर्ता किसी उद्देश्य या योजना को ध्यान में रखकर स्वयं आँकड़ों का संग्रह करता है तो प्राप्त आँकड़े प्राथमिक आँकड़े कहलाते हैं। उपर्युक्त प्रश्न 1 में प्राथमिक आँकड़े क्रमशः (i), (ii) व (iii) हैं।
• गौण आँकड़े-यदि कोई अनुसंधानकर्ता किसी अन्य उद्देश्य के लिए संग्रहित आंकड़ों को अपने अनुसंधान में प्रयोग में ले तो उन आँकड़ों को गौण आँकड़े कहते हैं। उपर्युक्त प्रश्न 1 में गौण आँकड़े क्रमशः (iv) व (v) हैं।

सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O
इन आँकड़ों को एक बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौनसा रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौनसा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
हल:
दिए गए आँकड़ों की बारम्बारता सारणी निम्नलिखित है

सारणी में दिए आँकड़ों के आधार पर हम देख सकते हैं कि रक्त समूह 0 अधिक सामान्य है तथा विरलतम रक्त समूह AB है।

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्यस्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं

0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अन्तराल लेकर ऊपर दिए हुए आँकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौनसे मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं ?
हल:
दिए गए आँकड़ों की बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है| 

उपर्युक्त सारणी के आधार पर देख सकते हैं कि 40 इंजीनियर्स में से 36 (5 + 11 + 11 + 9) इंजीनियर्स, कुल इंजीनियर्स का 90% अपने कार्यस्थल से 20 km की दूरी पर कार्य करते हैं।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (% में) यह रही है

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से सम्बन्धित हैं ?
(iii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है?
हल:
(i) दिए गए आंकड़ों की बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है-

(ii) आँकड़ों में सापेक्ष आर्द्रता अधिक है अतः लगता है कि ये आँकड़े वर्षा के मौसम में लिए गए हैं।

(iii) आँकड़ों का परिसर = अधिकतम अंक – न्यूनतम अंक = (99.2 — 84.9)
= 14.3

प्रश्न 4.
निकटतम सेन्टीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ ये हैं

(i) 160-165, 165-170 आदि का वर्ग अन्तराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लम्बाइयों के सम्बन्ध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
(i) दिए गए आँकड़ों के आधार पर बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है

(ii) उपर्युक्त सारणी के अवलोकन से हम कह सकते हैं कि 50% से अधिक विद्यार्थियों की लम्बाई 165 cm से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं

(i) 0.00-0.04, 0.04-0.08 आदि का वर्ग अन्तराल लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाइऑक्साइड की सान्द्रता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?
हल:
(i) दिए गए आँकड़ों की बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है

(ii) बारम्बारता सारणी के आधार पर यह कहा जा सकता है कि सल्फर डाइऑक्साइड की सान्द्रता (2 + 4 + 2 = 8) दिनों तक 0:11 ppm से अधिक रही।

प्रश्न 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न है

ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
दिए गए आँकड़ों के आधार पर बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शुद्ध 7 का मान नीचे दिया गया है
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारम्बारता बंटन बनाइए।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौनसे हैं?
हल:
(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का बारम्बारता बंटन निम्नानुसार है

(ii) सबसे अधिक बारम्बारता 8 है जो 3 व 9 अंक की है तथा सबसे कम बार आने वाला अंक 0 है जो 2 बार आया है।

प्रश्न 8.
तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घण्टों तक टी.वी. के प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अन्तराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा?
हल:
(i) वर्ग-चौड़ाई 5 को लेकर बनी बारम्बारता सारणी अग्रानुसार है

(ii) बारम्बारता सारणी के अनुसार वर्ग अन्तराल 15-20 में बच्चों की संख्या 2 है। अत: 2 बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा।

प्रश्न 9.
एक कम्पनी एक विशेष प्रकार की कार-बैट्री बनाती है। इस प्रकार की 40 बैट्रियों के जीवन-काल (वर्षों में ) ये रहे हैं

0.5 माप के वर्ग अन्तराल लेकर तथा अन्तराल 2-2.5 से प्रारम्भ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
दिए गए आँकड़ों के आधार पर वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी निम्नानुसार है

सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में ) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से अग्रलिखित आँकड़े (%) प्राप्त किए

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) कौनसी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है?
(iii) अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।
हल:
(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आरेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं
चरण 1. एक कागज पर हम दो लम्बवत् रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. OX पर हम ‘कारण’ और OY पर महिला मृत्यु दर (%) दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर ‘कारण’ दर्शाने के लिए हम एक उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. OY पर ‘महिला मृत्यु दर (%)’ को निरूपित करने के लिए हम उपयुक्त पैमाना चुनते हैं।
यहाँ 1 बड़ा खण्ड 5% को निरूपित करता है। इसका दण्ड आलेख निम्न अनुसार है-

(ii) पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं की बीमारी और मृत्यु का मुख्य कारण जनन स्वास्थ्य अवस्था है। चूंकि इसका प्रतिशत सबसे ज्यादा है।
(iii) (a) पुनरुत्पादी स्वास्थ्य अवस्था, (b) अपरिपक्व आयु में प्रजनन।

प्रश्न 2.
भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आंकड़े नीचे दिए गए हैं-

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दण्ड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कक्षा में चर्चा करके बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौनसे निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
हल:
(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं
चरण 1. एक कागज पर हम दो लम्बवत् रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. हम OX पर ‘क्षेत्र’ और OY पर ‘प्रति हजार लड़कियों की संख्या’ दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर हम प्रत्येक दण्ड के लिए उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. हम OY पर उपयुक्त पैमाना चुनते हैं। __ यहाँ 1 बड़ा खण्ड = 100 लड़कियाँ लेते हैं।
चरण 5. हम विभिन्न ऊँचाइयों का परिकलन नीचे दिए अनुसार करते हैं

भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या

प्रश्न 3.
एक राज्य के विधानसभा के चुनाव में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं|

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दण्ड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं ?
हल:
(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आलेख में निरूपण निम्नानुसार करते हैं-.
विधानसभा के चुनावों में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम।

चुना गया पैमाना: y-अक्ष : 1 बड़ा खण्ड अर्थात् 1 cm = 10 सीटें

(ii) यहाँ पर जीती गई सीटों की संख्या आयतों की ऊँचाई के अनुक्रमानुपाती है और राजनीतिक पार्टी A के लिए प्रदर्शित आयत की ऊँचाई सबसे अधिक है। अतः राजनीतिक पार्टी A ने अधिकतम सीटें जीतीं।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है-

(i) दिए हुए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) क्या इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है ?
(iii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों?
हल:
(i) हम सबसे पहले बारम्बारता बंटन को सतत बारम्बारता बंटन में बदलेंगे। एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का आधा ज्ञात करने पर
1/2(127 – 126) = 1/2 × 1 = 0.5
अब प्रत्येक वर्ग में बंटन को सतत बनाएँगे। प्रत्येक निम्न सीमा में से 0.5 घटाएँगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।
अत: निम्नानुसार बंटन प्राप्त करते हैं

हम दिए हुए आँकड़ों को आयतचित्र के रूप में निम्न अनुसार निरूपित करते हैं-

पत्तों की लम्बाइयों का एक मिलीमीटर तक शुद्ध माप

चुना गया पैमाना: Y-अक्ष पर एक बड़ा खण्डअर्थात् 1 cm = 1 पत्ता।
X-अक्ष पर एक खण्ड = 9
(ii) हाँ, इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने की एक _अन्य उपयुक्त विधि बारम्बारता बहुभुज है।
(iii) नहीं, वर्ग (144:5-153.5) मिमी. के अन्तर्गत 153 मिमी. आता है, अत: इस वर्ग की बारम्बारता सबसे अधिक है परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि 153 मिमी लम्बाई की पत्तियों की संख्या सबसे अधिक हो; क्योंकि यह अधिकतम बारम्बारता 144.5 मिमी. से 153.5 मिमी. तक के पूरे वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है न कि मात्र 153 मिमी. का।

प्रश्न 5.
नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैम्पों के जीवन काल दिए गए हैं|

(i) एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
(ii) कितने लैम्पों के जीवन काल 700 घण्टों से अधिक हैं?
हल:
(i) हम दी गई सूचना को निम्नानुसार आयतचित्र में निरूपित करते हैं-

(ii) 700 घण्टों से अधिक जीवन काल वाले लैम्पों की संख्या
= 74 + 62 + 48 
= 184 लैम्प उत्तर

प्रश्न 6.
नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है-

दो बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए।
हल:
दी गई सूचना को बारम्बारता बहुभुज के रूप में निरूपित करेंगे। अतः हम वर्ग-चिह्न और संगत सेक्शन A और B की बारम्बारताओं की सारणी बनाते हैं।

हम x-अक्ष पर वर्ग-चिह्न और y-अक्ष पर विद्यार्थियों की संख्या दर्शाते हैं।

सेक्शन A को बारम्बारता बहुभुज के लिए हम क्रमित युग्मों (5, 3), (15, 9), (25, 17), (35, 12) और (45, 9) को बिन्दुओं द्वारा आलेखित करते हैं।
बिन्दुओं को रेखाखण्डों द्वारा मिलाने पर हमें सेक्शन A का बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है। हम क्रमित युग्म (5, 5), (15, 19), (25, 15), (35, 10) और (45, 1) को आलेखित करते हैं।
इनको रेखाखण्डों से जोड़ने पर हमें सेक्शन B का बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 7.
एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन आगे दिए गए हैं-

बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए।
(संकेत : पहले वर्ग अन्तरालों को संतत बनाइए)
हल:
(1) दिये हुये वर्ग असतत हैं। प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में 0.5 घटाकर और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर इन्हें सतत बनायेंगे, क्योंकि एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का अन्तर एक है। अतः बारम्बारता वितरण को लगातार बनाने के लिये प्रत्येक निम्न सीमा में से n/2 = 1/2 = 0.5 घटायेंगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।

(2) अत: दोनों टीमों के निर्देशांक निम्न होंगेटीम A के
(3.5, 2), (9.5, 1), (15.5, 8), (21.5, 9), (27.5, 4), (33.5, 5), (39.5, 6), (45.5, 10), (51.5, 6) तथा (57.5, 2)
टीम B के
(3.5, 5), (9.5, 6), (15.5, 2), (21.5, 10), (27.5, 5), (33.5, 6), (39.5, 3), (45.5, 4), (51.5, 8) तथा (57.5, 10)
(3) X-अक्ष पर उचित पैमाना लेकर वर्गों की सीमाओं को प्रदर्शित किया।
(4) Y-अक्ष पर टीमों द्वारा बनाये गये रनों को उचित पैमाना लेकर अंकित किया।

(5) प्रथम वर्ग (0.5-6.5) के ठीक पूर्व एक कल्पित | वर्ग लेकर उसका मध्य बिन्दु A ज्ञात किया।
(6) अन्तिम वर्ग (54.5-60.5) के ठीक पश्चात् एक कल्पित वर्ग लेकर उसका मध्य बिन्दु L को ज्ञात किया।

प्रश्न 8.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए-

ऊपर दिए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
हल:
यहाँ वर्ग आकार बराबर आकार का नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार क़ा वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 1 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारम्बारता (आयतों की ऊँचाइयों) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

अब हम इन लम्बाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

प्रश्न 9.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदृच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारम्बारता बंटन प्राप्त किया गया-

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) वह वर्ग अन्तराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुल नाम हैं।
हल:
यहाँ वर्ग आकार बराबर नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं । यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 2 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारम्बारता (आयतों की ऊँचाइयाँ) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

अब हम इन लम्बाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं-

सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में ) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से अग्रलिखित आँकड़े (%) प्राप्त किए

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) कौनसी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है?
(iii) अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।
हल:
(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आरेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं
चरण 1. एक कागज पर हम दो लम्बवत् रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. OX पर हम ‘कारण’ और OY पर महिला मृत्यु दर (%) दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर ‘कारण’ दर्शाने के लिए हम एक उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. OY पर ‘महिला मृत्यु दर (%)’ को निरूपित करने के लिए हम उपयुक्त पैमाना चुनते हैं।
यहाँ 1 बड़ा खण्ड 5% को निरूपित करता है। इसका दण्ड आलेख निम्न अनुसार है-

(ii) पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं की बीमारी और मृत्यु का मुख्य कारण जनन स्वास्थ्य अवस्था है। चूंकि इसका प्रतिशत सबसे ज्यादा है।
(iii) (a) पुनरुत्पादी स्वास्थ्य अवस्था, (b) अपरिपक्व आयु में प्रजनन।

प्रश्न 2.
भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आंकड़े नीचे दिए गए हैं-

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दण्ड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कक्षा में चर्चा करके बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौनसे निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
हल:
(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं
चरण 1. एक कागज पर हम दो लम्बवत् रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. हम OX पर ‘क्षेत्र’ और OY पर ‘प्रति हजार लड़कियों की संख्या’ दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर हम प्रत्येक दण्ड के लिए उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. हम OY पर उपयुक्त पैमाना चुनते हैं। __ यहाँ 1 बड़ा खण्ड = 100 लड़कियाँ लेते हैं।
चरण 5. हम विभिन्न ऊँचाइयों का परिकलन नीचे दिए अनुसार करते हैं

भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या

प्रश्न 3.
एक राज्य के विधानसभा के चुनाव में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं|

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दण्ड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं ?
हल:
(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आलेख में निरूपण निम्नानुसार करते हैं-.
विधानसभा के चुनावों में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम।

चुना गया पैमाना: y-अक्ष : 1 बड़ा खण्ड अर्थात् 1 cm = 10 सीटें

(ii) यहाँ पर जीती गई सीटों की संख्या आयतों की ऊँचाई के अनुक्रमानुपाती है और राजनीतिक पार्टी A के लिए प्रदर्शित आयत की ऊँचाई सबसे अधिक है। अतः राजनीतिक पार्टी A ने अधिकतम सीटें जीतीं।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है-

(i) दिए हुए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) क्या इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है ?
(iii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों?
हल:
(i) हम सबसे पहले बारम्बारता बंटन को सतत बारम्बारता बंटन में बदलेंगे। एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का आधा ज्ञात करने पर
1/2(127 – 126) = 1/2 × 1 = 0.5
अब प्रत्येक वर्ग में बंटन को सतत बनाएँगे। प्रत्येक निम्न सीमा में से 0.5 घटाएँगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।
अत: निम्नानुसार बंटन प्राप्त करते हैं

हम दिए हुए आँकड़ों को आयतचित्र के रूप में निम्न अनुसार निरूपित करते हैं-

पत्तों की लम्बाइयों का एक मिलीमीटर तक शुद्ध माप

चुना गया पैमाना: Y-अक्ष पर एक बड़ा खण्डअर्थात् 1 cm = 1 पत्ता।
X-अक्ष पर एक खण्ड = 9
(ii) हाँ, इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने की एक _अन्य उपयुक्त विधि बारम्बारता बहुभुज है।
(iii) नहीं, वर्ग (144:5-153.5) मिमी. के अन्तर्गत 153 मिमी. आता है, अत: इस वर्ग की बारम्बारता सबसे अधिक है परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि 153 मिमी लम्बाई की पत्तियों की संख्या सबसे अधिक हो; क्योंकि यह अधिकतम बारम्बारता 144.5 मिमी. से 153.5 मिमी. तक के पूरे वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है न कि मात्र 153 मिमी. का।

प्रश्न 5.
नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैम्पों के जीवन काल दिए गए हैं|

(i) एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
(ii) कितने लैम्पों के जीवन काल 700 घण्टों से अधिक हैं?
हल:
(i) हम दी गई सूचना को निम्नानुसार आयतचित्र में निरूपित करते हैं-

(ii) 700 घण्टों से अधिक जीवन काल वाले लैम्पों की संख्या
= 74 + 62 + 48 
= 184 लैम्प उत्तर

प्रश्न 6.
नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है-

दो बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए।
हल:
दी गई सूचना को बारम्बारता बहुभुज के रूप में निरूपित करेंगे। अतः हम वर्ग-चिह्न और संगत सेक्शन A और B की बारम्बारताओं की सारणी बनाते हैं।

हम x-अक्ष पर वर्ग-चिह्न और y-अक्ष पर विद्यार्थियों की संख्या दर्शाते हैं।

सेक्शन A को बारम्बारता बहुभुज के लिए हम क्रमित युग्मों (5, 3), (15, 9), (25, 17), (35, 12) और (45, 9) को बिन्दुओं द्वारा आलेखित करते हैं।
बिन्दुओं को रेखाखण्डों द्वारा मिलाने पर हमें सेक्शन A का बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है। हम क्रमित युग्म (5, 5), (15, 19), (25, 15), (35, 10) और (45, 1) को आलेखित करते हैं।
इनको रेखाखण्डों से जोड़ने पर हमें सेक्शन B का बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 7.
एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन आगे दिए गए हैं-

बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए।
(संकेत : पहले वर्ग अन्तरालों को संतत बनाइए)
हल:
(1) दिये हुये वर्ग असतत हैं। प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में 0.5 घटाकर और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर इन्हें सतत बनायेंगे, क्योंकि एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का अन्तर एक है। अतः बारम्बारता वितरण को लगातार बनाने के लिये प्रत्येक निम्न सीमा में से n/2 = 1/2 = 0.5 घटायेंगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।

(2) अत: दोनों टीमों के निर्देशांक निम्न होंगेटीम A के
(3.5, 2), (9.5, 1), (15.5, 8), (21.5, 9), (27.5, 4), (33.5, 5), (39.5, 6), (45.5, 10), (51.5, 6) तथा (57.5, 2)
टीम B के
(3.5, 5), (9.5, 6), (15.5, 2), (21.5, 10), (27.5, 5), (33.5, 6), (39.5, 3), (45.5, 4), (51.5, 8) तथा (57.5, 10)
(3) X-अक्ष पर उचित पैमाना लेकर वर्गों की सीमाओं को प्रदर्शित किया।
(4) Y-अक्ष पर टीमों द्वारा बनाये गये रनों को उचित पैमाना लेकर अंकित किया।

(5) प्रथम वर्ग (0.5-6.5) के ठीक पूर्व एक कल्पित | वर्ग लेकर उसका मध्य बिन्दु A ज्ञात किया।
(6) अन्तिम वर्ग (54.5-60.5) के ठीक पश्चात् एक कल्पित वर्ग लेकर उसका मध्य बिन्दु L को ज्ञात किया।

प्रश्न 8.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए-

ऊपर दिए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
हल:
यहाँ वर्ग आकार बराबर आकार का नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार क़ा वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 1 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारम्बारता (आयतों की ऊँचाइयों) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

अब हम इन लम्बाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

प्रश्न 9.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदृच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारम्बारता बंटन प्राप्त किया गया-

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) वह वर्ग अन्तराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुल नाम हैं।
हल:
यहाँ वर्ग आकार बराबर नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं । यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 2 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारम्बारता (आयतों की ऊँचाइयाँ) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

अब हम इन लम्बाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं-

सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
एक टीम ने फुटबाल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किए
2, 3, 4, 5, 0, 1, 3, 3, 4, 3
इन गोलों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

बहुलक के लिए बारम्बारता सारणी बनाने पर

सारणी के अनुसार गोलों की अधिकतम संख्या 4 है अतः बहुलक = 3

प्रश्न 2.
गणित की परीक्षा में 15 विद्यार्थियों ने (100 में से) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए
41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96,52, 98, 40, 42, 52,60
इन आँकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
माध्य के लिए
हम जानते हैं कि

∴ x̄ = 54.8 उत्तर
माध्यक के लिए-प्रदत्तों को आरोही क्रम में लिखने पर –
39, 40, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62,.96, 98

यहाँ n = 15 जो कि एक विषम संख्या है।

बहुलक के लिए-बारम्बारता सारणी बनाने पर

सारणी के अनुसार अंक 52 की बारम्बारता सबसे अधिक 3 है अतः बहुलक = 52

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आँकड़ों का माध्यक 63 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए
29, 32, 48, 50, x, x+2, 72, 78,84, 95
हल:
प्रदत्तों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर हम देखते हैं कि ये आँकड़े व्यवस्थित हैं तथा n = 10 एक सम संख्या है।

प्रश्न 4.
आँकड़ों 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए आँकड़ों की बारम्बारता सारणी बनाने पर

सारणी से ज्ञात होता है कि यहाँ प्रेक्षण 14 की अधिकतम बारम्बारता 4 है। अत: बहुलक = 14

प्रश्न 5.
अग्र सारणी से एक फैक्टरी में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन ज्ञात कीजिए

हल:

= 305000/60
∴ x̄ = 5083.33
अर्थात् कर्मचारियों का माध्य वेतन 5083.33 रु. है।

प्रश्न 6.
निम्न स्थिति पर आधारित एक उदाहरण दीजिए
(i) माध्य ही केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है।
(ii) माध्य केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप नहीं है, जबकि माध्यक एक उपयुक्त माप है।
हल:
(i) इसे स्पष्ट करने के लिए हम निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं
उदाहरण – यदि कक्षा IX के गणित विषय में दस छात्रों के प्राप्तांक 52, 75, 40, 70, 43, 40, 65, 35, 48, 52 हों तो समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

इसका माध्यक –
आरोही क्रम-35, 40, 40, 43, 48, 52, 52, 65, 70, 75
∴ माध्यक = 10 + 1 = 5.5
अर्थात् 5वें व 6वें पद का माध्य

तथा बहुलक 40 व 52 है। इस प्रकार हम देखते हैं कि 52 अंक 10 विद्यार्थियों के प्रदर्शन को निरूपित करता है परन्तु माध्यक या बहुलक नहीं। इसी कारण माध्य केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है क्योंकि इसके परिकलन में प्रत्येक पद लिया जाता है जिससे यह प्रत्येक प्रदत्त द्वारा प्रभावित होता है।

(ii) माध्यक चरम मानों से प्रभावित नहीं होता है जबकि माध्य चरम मानों से बहुत प्रभावित होता है। जैसे

यदि इसमें दो मान 250 व 500 जोड़ दें तो माध्य 87.4 प्राप्त होगा जबकि माध्यक 4.5 होगा। यहाँ माध्य में बहुत परिवर्तन लेकिन माध्यक में बहुत कम परिवर्तन हुआ। अत: यह कहा जा सकता है कि माध्यक ही केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है।

RBSE Solution for Class 9 Math Chapter 14 सांख्यिकी , Study Learner