RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण

पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 26

प्रश्न 1.
किसी समीकरण का हल केसे ज्ञात करें?
उत्तर:
किसी बीजीय समीकरण में चरों का प्रयोग करते हुए समता ‘=’ का चिह्न होता है। समता चिह्न के बायीं ओर वाला बायाँ पक्ष (L.H.S.) और दाहिनी ओर वाला दायाँ पक्ष (R.H.S.) कहलाता है। हम समीकरण के दोनों पक्षों पर एक जैसी ही गणितीय संख्याएँ करते हैं, जिससे कि समीकरण का सन्तुलन न बिगड़े। तत्पश्चात् समीकरण का अभीष्ट हल प्राप्त करते हैं।

समीकरण 2x – 3 = 7 में,
चर = x
बायाँ पक्ष = 2x – 3,
दायाँ पक्ष = 7

एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.1

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों को हल कीजिए –
1. x – 2 = 7
2. y + 3 = 0
3. 6 = z + 2
4. 1 + x = 17
5. 6x = 12
6. = 10
7. = 18
8. 1.6 = y1.5
9. 7x – 9 = 16
10. 14y – 8 = 13
11. 17 + 6p = 9
12. +1 = 1
हल:
1. x – 2 = 7
दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं,
x – 2 + 2 = 7 + 2
या x = 9
∴ समीकरण का अभीष्ट हल: x = 9 होगा

2. y + 3 = 10
दोनों पक्षों में से 3 घटाने पर,
y + 3 – 3 = 10 – 3
या y = 7
∴ समीकरण का अभीष्ट हल: y=7

एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.2

प्रश्न 1.
अगर आपको किसी संख्या से घटाने और परिणम को से गुणा करने पर प्राप्त होता है तो वह संख्या क्या है?
हल:
मानाकि अभीष्ट संख्या x है।
अब, प्रश्नानुसार,

∴ अभीष्ट संख्या:

प्रश्न 2.
एक आयताकार तरण ताल (swimming pool) की लम्बाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है तो इसकी लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मानाकि तरण ताल की चौड़ाई x मीटर है,
तब इसकी लम्बाई = (2x + 2) मीटर
परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
=2 x (2x + 2 + x)
= 2 x (3x + 2)
= 6x + 4
अब, प्रश्नानुसार
6x + 4 = 154
या 6x = 154 – 4 = 150
या x = = 25
लम्बाई = (2 x 25 + 2) मीटर
= 52 मीटर
और चौड़ाई = 25 मीटर

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार cm तथा उसका परिमाप 4 cm है। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक बराबर भुजा की माप x सेमी है। अतः इसका परिमाप = (x + x + ) सेमी
= (2x + )
सेमी
परन्तु, प्रश्नानुसार,
2x + = 4 = 4 =
या 30x + 20 = 62
या 30x = 62 – 20 = 42
या x = =
या x = 1 सेमी
∴ समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं में प्रत्येक भुजा की माप = 1 सेमी

प्रश्न 4.
दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि दो संख्याएँ x तथा x + 15 हैं।
तब x + (x + 15) = 95
या 2x + 15 = 95
दोनों ओर से 15 घटाने पर,
∴ 2x + 15 – 15 = 95 – 15
या 2x = 80
या x = 40
अतः एक संख्या 40 और दूसरी संख्या 40 + 15 = 55

प्रश्न 5.
दो संख्याओं में अनुपात 5 : 3 है। यदि उनमें अन्तर 18 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि संख्याएँ 5x व 3x हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
5x – 3x = 18
या 2x = 18
या x = = 9
∴ संख्याएँ 5x = 5 x 9 = 45 तथा 3x = 3 x 9 = 27
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 45 तथा 27

प्रश्न 6.
तीन लगातार पूर्णांकों का योग 51 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि तीन लगातार पूर्णांक x, (x + 1) और (x + 2) हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
x + (x + 1) + (x + 2) =51
या 3x + 3 = 51
या 3x = 51 – 3 = 48
या x = = 16
अतः अभीष्ट पूर्णांक 16, 17 व 18 हैं।

प्रश्न 7.
8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए?
हल:
माना कि तीन लगातार गुणज 8x, 8 (x + 1) व 8 (x + 2) हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
8x + 8 (x + 1) + 8 (x + 2) = 888
या 24x + 24 = 888
या 24x = 888 – 24 = 864
या x = = 36
अतः तीन लगातार गुणज 8 x 36, 8 (36 + 1) व 8 (36 + 2)
अर्थात् अभीष्ट तीन लगातार गुणज = 288, 296 व 304 हैं।

प्रश्न 8.
तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमश: 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि तीन लगातार पूर्णांक x, (x + 1) और (x + 2) हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
2 × x + 3 (x + 1)+4 x (x + 2) = 74
या 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
या 9x + 11 = 74
या 9x = 74 – 11
या 9x = 63
या x = = 7
अतः तीन अभीष्ट लगातार पूर्णांक = 7,8 व 9 हैं।

प्रश्न 9.
राहुल और हारून की वर्तमान आयु में अनुपात 5 : 7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना कि राहुल की वर्तमान आयु = 5x वर्ष है
हारून की वर्तमान आयु = 7x वर्ष
चार वर्ष बाद राहुल की आयु (5x + 4) वर्ष
चार वर्ष बाद हारून की आयु = (7x + 4) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
5x + 4 + 7x + 4 = 56
12x + 8= 56
8 को दायें पक्ष में पक्षान्तर करने पर,
12x = 56 – 8
या 12x = 48
या x = = 4
∴ राहुल की आयु = 5 x 4 = 20 वर्ष
तथा हारून की आयु = 7 x 4 = 28 वर्ष

प्रश्न 10.
किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7 : 5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
हल:
मानाकि कक्षा में बालकों की संख्या = 7x
तथा बालिकाओं की संख्या = 5x
अब, प्रश्नानुसार,
या 7x = 5x + 8
या 7x – 5x = 8
या 2x = 8
x = = 4
∴ बालकों की संख्या = 7 x 4 = 28
और बालिकाओं की संख्या = 5 x 4 = 20
अतः विद्यार्थियों की कुल संख्या = 28 + 20 = 48

प्रश्न 11.
बाइचुंग के पिताजी उसके दादा जी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बाइचुंग की आयु = x वर्ष है
बायुचुंग के पिताजी की आयु = (x + 29) वर्ष
बाइचुंग के दादा जी की आयु = [(x + 29) + 26] वर्ष
= (x + 55) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
x + (x + 29) + (x + 55) = 135
या 3x + 84 = 135
या 3x = 135 – 84
या 3x = 51
या x = = 17
∴ बाइचुंग की आयु = 17 वर्ष,
उसके पिता की आयु = 17 + 29 = 46 वर्ष, तथा
उसके दादा जी की आयु = 17 + 55 = 72 वर्ष।

प्रश्न 12.
15 वर्ष बाद रवि की आयु उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना कि रवि की वर्तमान आयु = x वर्ष है।
∴ 15 वर्ष बाद रवि की आयु = x + 15 वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
x + 15 = 4x
या 4x = x + 15
या 4x – x = 15
या 3x = 15
या x = = 5
अतः रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष।

प्रश्न 13.
एक परिमेय संख्या को से गुणा कर जोड़ने पर – प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?
हल:
माना कि संख्या = x
अब, प्रश्नानुसार,

अत: अभीष्ट परिमेय संख्या = −12

प्रश्न 14.
लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास नगदी के रूप में ₹ 100, ₹ 50, ₹ 10 वाले नोट हैं। उनकी संख्या में क्रमशः 2 : 3 : 5 का अनुपात है और उनका कुल मूल्य ₹4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने नोट हैं ?
हल:
माना कि ₹ 100, ₹ 50 तथा ₹ 10 वाले नोटों की संख्या क्रमश: 2x, 3x व 5x है।
₹ 100 वाले नोटों से कुल नगदी = 2x × 100 = ₹ 200x
₹ 50 वाले नोटों से कुल नगदी = 3x × 50 = ₹ 150x
₹ 10 वाले नोटों से कुल नगदी = 5x × 10 = ₹ 50x
अब, प्रश्नानुसार,
कुलधन = 200x + 150x + 50x = ₹ 4,00,000
∴ 200x + 150x + 50x = 4,00,000
या 400x = 400000
या x =
या x = 1000
अतः ₹ 100 के नोटों की संख्या = 2 x 1000 = 2000
₹ 50 के नोटों की संख्या = 3 x 1000 = 3000
₹ 10 के नोटों की संख्या = 5 x 1000 = 5000

प्रश्न 15.
मेरे पास ₹ 300 मूल्य के ₹ 1,₹ 2 और ₹ 5 वाले सिक्के हैं। ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने सिक्के हैं
हल:
माना कि ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या =x
₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3x
और ₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 160 – (x + 3x)
= 160 – 4x
अब, ₹ 5 वाले सिक्कों का मूल्य = 5 × x = ₹ 5x
₹ 2 वाले सिक्कों का मूल्य = 2 × 3x = ₹ 6x
₹ 1 वाले सिक्कों का मूल्य = 1 × (160 – 4x)
= ₹ (160 – 4x)
अब, प्रश्नानुसार
कुल धन = 5x + 6x + (160 – 4x) = ₹ 300
∴ 5x + 6x + 160 – 4x = 300
या 7x = 300 – 160 = 140
या x = = 20
∴ ₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 3 x 20 = 60
और ₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 160 – (20 + 60) = 80

प्रश्न 16.
एक निबन्ध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को ₹ 100 और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को ₹ 25 पुरस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरस्कारों में बाँटी गई राशि ₹ 3,000 थी तो । कुल विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि कुल 63 प्रतिभागी थे।
हल:
माना कि विजेताओं की संख्या = x है।
∴ शेष प्रतिभागियों की संख्या = (63 – x)
विजेताओं की दी गई धनराशि = 100 x x = ₹ 100x
प्रतिभागियों को बाँटी गई धनराशि = ₹ (63 – x) x 25
∴ कुल बाँटी गई धनराशि = 100x + 25 (63 – x)
= ₹ 3,000
∴ 100x + 25 (63 –x) = 3,000
या 4x + (63 –x) = 120
या 3x + 63 = 120
या 3x = 120 – 63 = 57
या x = = 19
विजेताओं की संख्या = 19

एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.3

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों को हल कीजिए और अपने उत्तर की जाँच कीजिए –
1. 3x = 2x + 18
2. 5t – 3 = 3t – 5
3. 5x + 9 = 5 + 3x
4. 4z + 3 = 6 + 2z
5. 2x – 1 = 14 – x
6. 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
7. x = (x + 10)
8. + 1 = +3
9. 2y + = – y
10. 3m = 5m –
हल:
1. 3x = 2x + 18
⇒ 3x – 2x = 18
(2x को बायीं ओर पक्षान्तर करने पर)
⇒ x = 18
जाँच: समीकरण में x = 18 रखने पर,
बायाँ पक्ष = 3x = 3 x 18 = 54
दायाँ पक्ष = 2x + 18 = 2 x 18 + 18
= 36 + 18 = 24
अतः x = 18 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

2. 2t – 3 = 3t – 5 – 3 को दायीं ओर तथा
-3 को बायीं ओर पक्षान्तर करने पर,
∴ 5t – 3t = – 5 + 3
2t = – 2
दोनों ओर 2 से भाग करने पर,

या t = – 1
जाँच: समीकरण में t = – 1 रखने पर,
बायाँ पक्ष = 5t – 3 = 5(-1) – 3 = – 5 – 3 = – 8
दायाँ पक्ष = 3t – 5 = 3(-1) – 5 = – 3 – 5 = – 8
अतः t = – 1 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

3. 5x + 9 = 5 + 3x
या 5x – 3x = 5 – 9
(3x को बायीं ओर 9 को दायीं ओर पक्षान्तर करने पर)
या 2x = – 4
या =
(दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर)
या x = – 2
जाँच: समीकरण में x = – 2 रखने पर,
बायाँ पक्ष = 5x + 9= 5 (-2) +9 = – 10 + 9 = – 1
दायाँ पक्ष = 5 + 3x = 5 + 3 x (-2)= 5 – 6 = – 1
अतः x = – 2 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

4. 4z + 3 = 6 + 2z
या 4z – 2z = 6 – 3
(3 को दायीं ओर और 6 को बायीं ओर पक्षान्तर करने पर)
या 2z = 3
या =
(दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर)
या x =
जाँच: समीकरण में z = 3/2 रखने पर,
बायाँ पक्ष = 4z + 3 = 4 x + 3 = 6 + 3 = 9
दायाँ पक्ष = 6 + 2x = 6 + 2 x = 6 + 3 = 9.
अतः z = 3/2 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

5. 2x – 1 = 14 – x
2x + x = 14+1
(-1 को दायीं ओर तथा –x को बायीं ओर पक्षान्तर करने पर)
या 3x = 15
या
(दोनों पक्षों को 3 से भाग करने पर)
या x = 5
जाँच: समीकरण में x = 5 रखने पर,
बायाँ पक्ष = 2x – 1 = 2 x 5 – 1 = 10 – 1 = 9
दायाँ पक्ष = 14 – x = 14 – 5 = 9
अतः x = 5 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

6. 8x+ 4 = 3(x – 1) + 7
या 8x + 4 = 3x – 3 + 7
या 8x + 4 = 3x + 4
या 8x – 3x = 4 – 4
(3x को बायीं ओर और 4 को दायीं ओर पक्षान्तर करने पर)
या 5x = 0 ⇒ =
(दोनों ओर 5 से भाग करने पर)
या x = 0
जाँच: समीकरण में x = 0 रखने पर,
बायाँ पक्ष = 8x + 4 = 0 = 8 x 0 + 4 = 0 + 4 =4
दायाँ पक्ष = 3(x – 1) + 7 = 3(0 – 1) + 7 = – 3 + 7 = 4
अतः x = 0 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

7. x = (x + 10)
या 5x = 4(x + 10)
(दोनों ओर 5 से गुणा करने पर)
या 5x = 4x + 40
या 5x – 4x = 40
(4x का पक्षान्तर करने पर)
या x = 40
जाँच: समीकरण में x = 40 रखने पर,
बायाँ पक्ष = x = 40
दायाँ पक्ष = (x + 10) = (40 + 10) = = 40
अतः x = 40 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

8. + 1 = + 3
दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर,

या 10x + 15 = 7x + 45
या 10x – 7x = 45 – 15
(7x तथा 15 को पक्षान्तर करने पर)
या 3x = 30
या =
(दोनों ओर 3 से भाग करने पर)
या x = 10
जाँच: समीकरण में x = 10 रखने पर,

अत: x = 10 के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

9. 2y + 53 = – y
या 2y + y = –
( तथा – y को पक्षान्तर करने पर)

(दोनों ओर 3 से भाग करने पर)
या y =
जाँच: समीकरण में y = रखने पर

अतः y = के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

अतः m = के लिए, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.4

प्रश्न 1.
अमीना एक संख्या सोचती है। वह इसमें से के घटाकर परिणाम को 8 से गुणा करती है। अब जो परिणाम मिलता है वह सोची गई संख्या की तिगुनी है। वह सोची गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि अमीना संख्या x सोचती हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
8(x – ) = 3x
या 8x – 20 = 3x
या 8x – 3x = 20
या 5x = 20
या x = = 4
या x = 4
अतः अमीना द्वारा सोची गई संख्या = 4

प्रश्न 2.
दो संख्याओं में पहली संख्या दूसरी की पाँच गुनी है। प्रत्येक संख्या में 21 जोड़ने पर पहली संख्या दूसरी की दुगुनी हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि संख्याएँ x तथा 5x हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
या (5x + 21) = 2(x + 21)
या 5x + 21 = 2x + 42
या 5x – 2x = 42 – 21
या 3x = 21
या =
या x = 7
अतः अभीष्ट संख्याएँ 7 व 35 हैं।

प्रश्न 3.
दो अंकों वाली दी गई एक संख्या के अंकों का योग है। इस संख्या के अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या, दी गई संख्या से 27 अधिक है दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि संख्या का इकाई अंक = x है।
तो दहाई का अंक = (9 – x)
∴ संख्या = 10 (9 – x) + x
= 90 – 10x + x
= 90 – 9x
अंकों के स्थान बदलने पर,
संख्या 10x + (9 – x) = 10x + 9 – x
= 9x + 9
अब, प्रश्नानुसार,
(90 – 9x) + 27 = 9x +9
या 117 – 9x = 9x +9
या – 18x = 9 – 117
या – 18x = – 108
या x = = 6
∴ इकाई का अंक = 6 और दहाई का अंक = 9 – 6 = 3
अतः अभीष्ट संख्या = 36

प्रश्न 4.
दो अंकों वाली दी गई एक संख्या में एक अंक दूसरे का तीन गुना है। इसके अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या को, दी गई संख्या में जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि इकाई का अंक = x तथा दहाई का अंक = 3x
संख्या = 10 x 3x + x = 30x + x
= 31x ….. (1)
अंकों के स्थान बदलने पर संख्या
= 10x + 3x = 13x …(2)
अब, प्रश्नानुसार
31x + 13r = 88
या 44x = 88
x = = 2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
अभीष्ट संख्या = 31 x 2 = 62

प्रश्न 5.
शोबो की माँ की आयु, शोबो की आयु की छः गुनी है 15 वर्ष बाद शोबो की आयु, उसकी माँ की वर्तमान आयु की एक तिहाई हो जाएगी। उनकी आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि शोबो की वर्तमान आयु = x वर्ष है
तब,शोबो की माँ की आयु = 6x वर्ष
5 वर्ष बाद शोबो की आयु = (x + 5) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
x = 5 = x 6x
या 3x + 15 = 6x
या 3x – 6x = – 15
या – 3x = – 15
या = = 5
अतः शोबो की वर्तमान आयु = 5 वर्ष
उसकी माँ की वर्तमान आयु = 6 x 5 = 30 वर्ष

प्रश्न 6.
महूली गाँव में, एक तंग आयताकार भूखण्ड विद्यालय बनाने के लिए सुरक्षित है। इस भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई में 11 : 4 का अनुपात है। गाँव पंचायत को इस भूखण्ड की बाड़ (fence) कराने में ₹ 100 प्रति मीटर की दर से ₹ 75,000 व्यय करने होंगे। भूखण्ड की माप (dimesion) ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि भूखण्ड की लम्बाई = 11x मीटर
तथा चौड़ाई = 4x मीटर
∴ भूखण्ड का परिमाप = 2 (11x + 4x) मीटर
= 30 मीटर
₹ 100/मी की दर से भूखण्ड की बाड़ कराने में व्यय
= ₹ 100 x 30x
=₹3000x
अब, प्रश्नानुसार,
3000x = 75000
x = = 25
अतः भूखण्ड की लम्बाई = 11 x 25 मीटर
= 275 मीटर
तथा चौड़ाई = 4 x 25 मीटर = 100 मीटर

प्रश्न 7.
हसन स्कूल वर्दी बनाने के लिए दो प्रकार का कपड़ा खरीदता है। इसमें कमीज के कपड़े का भाव ₹ 50 प्रति मीटर तथा पतलून के कपड़े का भाव ₹ 90 प्रति मीटर है। वह कमीज के प्रत्येक 3 मीटर कपड़े के लिए पतलून का 2 मीटर कपड़ा खरीदता है। वह इस कपड़े को क्रमश: 12% तथा 10% लाभ पर बेचकर ₹ 36,600 प्राप्त करता है। उसने पतलून के लिए कितना कपड़ा खरीदा?
हल:
माना कि पतलून के लिए 2x मीटर तथा कमीज के लिए 3x मीटर कपड़ा खरीदा।
पतलून के 2x मीटर कपड़े का क्रय मूल्य = ₹ 90 x 2x
= ₹ 180x
कमीज के 3x मीटर कपड़े का क्रय मूल्य = ₹ 50 x 3x
= ₹ 150x
∵ कमीज के कपड़े पर लाभ = 12%
∴ इसका विक्रय मूल्य = ₹ (150 x )
= ₹ 168x
∵ पतलून के कपड़े पर लाभ = 10%
∴ इसका विक्रय मूल्य = ₹ (180 x )
= ₹ 198x
∴ कुल विक्रय मूल्य = ₹ 168x + ₹ 198x
= ₹ 366x
लेकिन दिया हुआ विक्रय मूल्य ₹ 36,000 है।
∴ 366x = 36600
या x = = 100
अतः पतलून के लिए खरीदा गया कपड़ा = 2 x 100 = 200 मीटर

प्रश्न 8.
हिरणों के एक झुण्ड का आधा भाग मैदान में चर रहा है और शेष का तीन चौथाई पड़ोस में ही खेल-कूद रहा है। शेष बचे 9 हिरण एक तालाब में पानी पी रहे हैं। झुण्ड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि झुण्ड में हिरणों की संख्या = x है
∴ मैदान में चरने वाले हिरणों की संख्या =

पानी पी रहे हिरणों की संख्या = 9
∴ कुल हिरणों की संख्या = + + 9 =x
या 4x + 3x + 72 = 8x
या 7x + 72 = 8x
या 8x – 7x = 72
x = 72
अतः झुण्ड में हिरणों की संख्या = 72

प्रश्न 9.
दादाजी की आयु अपनी पौत्री की आयु की दस गुनी है। यदि उनकी आयु पौत्री की आयु से 54 वर्ष अधिक है तो उन दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पौत्री की आयु = x वर्ष है।
तब, दादाजी की आयु = 10x वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
10x = x + 54
या 9x = 54
या x = = 6
अतः पौत्री की आयु = 6 वर्ष तथा दादाजी की आयु = 10 x 6 = 60 वर्ष

प्रश्न 10.
अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष पहले उसकी आयु पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पुत्र की वर्तमान आयु = x वर्ष है।
तब अमन की आयु = 3x वर्ष
10 वर्ष पहले, पुत्र की आयु = (x – 10) वर्ष
तथा अमन की आयु = (3x – 10) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
3x – 10 = 5 (x – 10)
या 3x – 10 = 5x – 50
या 3x – 5x = – 50 + 10
या – 2x = – 40
या x = = 20
अतः पुत्र की आयु = 20 वर्ष तथा अमन की आयु = 3 x 20 = 60 वर्ष

एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों को हल कीजिए –

हल:

3. x + 7 – = –
2, 3 व 6 का ल. स. = 12
दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर,
12 x (x + 7 – ) = 12 x ( – )
या 12x + 84 – 32x = 34 – 30x
या 12x – 32x + 30x = 34 – 84
या 10x = – 50
x =
x = – 5

4. =
5 (x – 5) = 3 (x – 3)
या 15x – 25 = 3x – 9
या 5x – 3x = – 9 + 25
या 2x = 16
या x =
या x = 8

5. – = – t
ल. स. = 3 x 4 = 12
दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर,
12 x () = 12 x ( – t)
या 9t – 6 – 81 – 12 = 8 – 12t
या 9t – 8t + 12t = 8+ 6 + 12
या 13t = 26
या t = = 2

6. m – = 1 –
2 व 3 का ल. स. = 2 x 3 = 6
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर
6 (m – ) = 6 (1 – )
या 6m – 3 (m – 1) = 6 – 2 (m – 2)
या 6m – 3m + 3 = 6 – 2m + 4
या 6m – 3m + 2m = 6 + 4 – 3
या 5m = 7
या m =

प्रश्न 2.
निम्न समीकरणों को सरल रूप में बदलते हुए हल कीजिए –
7. 3 (t – 3) = 5 (2t + 1)
8. 15 (y – 4) – 2 (7 – 9) + 5 (v + 6) = 0
9. 3 (5z – 7) – 2 (9z – 11)= 4 (8z – 13) – 17
10. 0.25 (4f – 3) = 0.05 (10f – 9)
हल:
7. 3 (t – 3) = 5 (2t + 1)
3t – 9 = 10t + 5
या 3t – 10t = 5 + 9
या 7t = -14
या t= = – 2

8. 15 (y – 4) – 2 (y – 9) + 5 (y + 6) = 0
15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0
या 15y – 2y + 5y = 60 – 18 – 30
या 18y = 12
या y = =

9. 3 (5z – 7) – 2 (9z – 11)= 4 (8z – 13) – 17
15z – 21 – 18z + 22 = 32z – 52 – 17
या 15z – 18z – 32z = – 52 – 7 + 21 – 22
या – 35z = – 70
या z =
z = 2

10. 0.25 (4f – 3) = 0.05 (10f – 9)
f – 0.75 = 0.5f – 0.45
या f – 0.5f = – 0.45 + 0.75
या 0.5f = 0.30
या f=
या f= 0.6

एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.6

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों को हल कीजिए –

हल:

प्रश्न 2.
हरी और हैरी की वर्तमान आयु का अनुपात 15 : 7 है। अब से 4 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 3 : 4 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि हरी और हैरी की वर्तमान आयु क्रमशः 5x व 7x वर्ष है।
5 वर्ष बाद हरी की आयु = (5x + 4) वर्ष
तथा हैरी की आयु = (7x + 4) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
=
या 4 x (5x + 4) = 3 (7x + 4)
या 20x + 16 = 21x + 12
या 20x – 21x = 12 – 16
या -x = – 4 ⇒ x = 4
∴ हरी की वर्तमान आयु = 5 x 4 वर्ष = 20 वर्ष तथा हैरी की वर्तमान आयु = 7 x 4 = 28 वर्ष

प्रश्न 3.
एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 8 अधिक है। यदि अंश में 17 जोड़ दिया जाए तथा हर में से 1 घटा दिया जाए तब हमें प्राप्त होता है। वह परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

RBSE Solution for Class 8 Math Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण, Study Learner