RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 द्विपद प्रमेय

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 द्विपद प्रमेय

द्विपद प्रमेय

द्विपद प्रमेय Ex 8.1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
(1 – 2x)⁵
हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)
प्रश्न 6.
(96)³.
हल:

= 1000000 + 3 x 10000 (- 4) + 3 x 100 x 16 – 64
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64 = 884736.

प्रश्न 7.
(102)⁵.
हल:

= 10000000000 + 5 x 100000000 x 2 + 10 x 1000000 x 4 + 10 x 10000 x 8+5 x 100 x 16 + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032.

प्रश्न : 8.
(101)⁴.
हल:

= 100000000 + 4 x 1000000 + 6 x 10000 + 400 + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401.

प्रश्न 9.
(99)⁵.
हल:

= 10000000000 – 5 x 100000000 + 10 x 1000000 – 10 x 10000 + 5 x 100 – 1
= 10000000000 – 500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499.

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000
हल:
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ = (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰

= 1 + 10000 x (0.1) + …. = 1001 +…
स्पष्ट है कि (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ संख्या 1000 से बड़ी है।

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9ⁿ⁺¹ – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
(1 + x)^{n + 1} का प्रसार करने पर,

प्रश्न 14.

हल:

द्विपद प्रमेय Ex 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
(x + 3)⁸ में x⁵ का।
हल:

प्रश्न 2.
(a – 2b)¹² में a⁵ b⁷ का।
हल:

∵ b^r= b⁷ (दिया है)
∴ r = 7
अब r = 7 रखने पर,

प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।
प्रश्न 3.
(x² – y)⁶.
हल:
(x² – y)⁶ का व्यापक पद

प्रश्न 4.
(x² + yx)¹², x ≠ 0.
हल:
(x² – yx)¹² का व्यापक पद

प्रश्न 5.
(x – 2y)¹² के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हल:
(x – 2y)¹² का चौथा पद

प्रश्न 6.

प्रश्न 7 व 8 के प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.

प्रश्न 9.
(1 + a)^m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि a^m तथा aⁿ के गुणांक बराबर हैं।
हल:

प्रश्न 10.
(x + 1)ⁿ के प्रसार में (r – 1) वाँ, 7 वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।
हल:

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1+x)²ⁿ के प्रसार में xⁿ का गुणांक, (1 + x)^2n-1 के प्रसार में xⁿ के गुणांक का दुगुना होता है।
हल:

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1+x)^m के प्रसार में 2 का गुणांक 6 हो।
हल:

द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b)ⁿ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)⁹ के प्रसार में x² और x³ के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ में x का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:


इन दोनों के गुणनफल में से x⁵ के गुणांक का चयन करते हुए
x⁵ का गुणांक = 192 – 7 – 240 + 21 x 160 – 35 x 60 + 35 x 12 – 21 x 1
= 192 – 1680 + 3360 – 2100 + 420 – 21
= 171.

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि aⁿ – bⁿ का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
हल:
a = b + (a – b)
aⁿ = [b + (a – b)]ⁿ

अतः स्पष्ट है कि aⁿ – bⁿ का a – b एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.
(0.99)⁵ प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:

= 1 – 5 x 0.01 + 10 x 0.0001
= 1 – 0.05 + 0.001
= 1.001 – 0.05
= 0.951.

प्रश्न 8.


दिए गए व्यंजक के प्रसार में n + 1 पद हैं।
अंत से 5 वाँ पद = [(n + 1) – 5 + 1]वाँ पद प्रारंभ से (n – 3) वाँ पद



n = 10.

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

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