RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.1

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
प्रश्न 1.

प्रश्न 2.
i⁹ + i¹⁹
हल:
i⁹ + i¹⁹ = i⁸.i + i¹⁸.i.
= [i²]⁴.i + [i²]⁹. i
= (-1)⁹ i + (-1)⁹ i = i – i = 0.

प्रश्न 3.
i^-39
हल:

प्रश्न 4.
3(7 + i7) + i (7 + i7).
हल:
3(7 + i7) + i (7 + i7) = 21 + 21i + 7i + 7i²
= 21 + 28i + 7(-1) [∵ i² = -1]
= 21 – 7 + 28i
= 14 + 28i.

प्रश्न 5.
(1 – i) – (-1 + i6).
हल:
(1 – i) – (-1 + i6) = (1 – i) + (1 – 6i)
= 1 – i + 1 – 6i
= 2 – 7i.

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.
(1 – i)⁴.
हल:
(1 – i)² = [(1 – i)²]²
= [1 – 2i + i²]²
= [1 – 2i – 1]²2 [∵ i² = -1]
= (- 2i)²
= – 2i × -2i
= 4i² = 4(-1) = -4.

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11 से 13 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
हल:

प्रश्न 12.
√5 + 3i.
हल:
√5 + 3i का गुणात्मक प्रतिलोम

प्रश्न 13.
– i.
हल:
– i का गुणात्मक प्रतिलोम

प्रश्न 14.
निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए :

हल:

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.

प्रश्न 2.
–√3 + i
हल:
मान लीजिए x = –√3 + i = r (cos θ + i sin θ)
D r cos θ = –3–√3, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1 = 4 ,
∴ r² = 4 या r = 2

प्रश्न 3 से 8 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए :
प्रश्न 3.
1 – i.
हल:
मान लीजिए z = 1 – i = r(cos θ + i sinθ)
∴ r cos θ = 1 तथा rsin θ = -1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r² cos² θ + r² sin²θ = 1 + 1 = 2
या r² (cos²θ + sin²θ) = 2
या r² = 2 या r = –√2
अब cos θ धनात्मक है और sin θ ऋणात्मक है।
∴ θ चौथे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 4.
-1 + i.
हल:
मान लीजिए z = -1 + i = r(cos θ + isin θ)
⇒ r cosθ = – 1 और r sin θ = 1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 1
या (cos² θ + sin²θ) = 1
r² = 2 या r = √2
यहाँ cos θ ऋणात्मक तथा sin θ धनात्मक है
⇒ θ दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 5.
-1 – i
हल:
मान लीजिए z = – 1 – i = r(cos θ + i sin θ)
∴ rcos θ = – 1, r sin θ = -1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r² cos²θ + r² sin² θ = 1 + 1 = 2
या r²(cos² θ + sin²θ) = 2
∴ r² = 2 या r = √2
यहाँ cos θ और sin θ दोनों ही ऋणात्मक हैं।
∴ θ तीसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 6.
-3.
हल:
मान लीजिए z = – 3 = r (cos θ + sin θ)
∴ r cos θ = – 3, r sin θ = 0
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r²cos²θ + r² sin² θ = 9
r² (cos²θ + sin² θ) = r² = 9 या r = 3

∴ θ = π
∴ z का ध्रुवीय रूप = 3(cos π + i sin π).

प्रश्न 8.
i.
हल:
मान लीजिए z = i = r(cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = 0 और r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 0 + 1
या r²(sin²θ + cos²θ) = 1 .
या r² = 1 या r = 1

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.3

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को हल कीजिए :

प्रश्न 1.
x² + 3 = 0.
हल:
x² + 3 = 0 या x 2 = – 3 या x = ± [/latex]\sqrt{-3}[/latex] = ±√3i.

प्रश्न 2.
2x² + x + 1 = 0.
हल:
दिया गया है : 2x² + x + 1 = 0,
समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,

प्रश्न 3.
x + 3x + 9 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण x² + 3x + 9 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, a = 1, b = 3, c = 9 .

प्रश्न 4.
-x² + x – 2 = 0.
हल:
दिया गया है :
– x² + x – 2 = 0,
– 1 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
x² x + 2 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, b = – 1, c = 2

प्रश्न 5.
x² + 3x + 5 = 0.
हल:
दिया गया है:
x² + 3x + 5 = 0 इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, a = 1, b = 3, c = 5

प्रश्न 6.
x² – x + 2 = 0
हल:
दिया है :
x²x + 2 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
∴ a = 1, b = – 1, c = 2

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.

प्रश्न 9.

प्रश्न 10.

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.

हल:

= (- 2 + 3i – i)
= – (- 2 + 2i) = 2 – 2i.

प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ और z₂ के लिए सिद्ध कीजिए:
Re(z₁z₂) = Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
हल:
मान लीजिए z₁ = a + ib, z₂ = c + id
∴ z₁z₂ = (a + ib)(c + id)
= ac + adi + bci + i²bd
= (ac – ba) + (ad + bc) i [∴ i² = – 1]
Re (z₁z₂) का वास्तविक भाग = ac – bd
= Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
यहाँ पर Rez₁ का वास्तविक भाग = a, इसी प्रकार Rez₂ = c
Imz₁ = z₁ का काल्पनिक भाग = b
इसी प्रकार Imz₂ = d.

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:

इल:
(i) माना.

∴ r cos θ = -1, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने करने पर r² cos²θ + r^2 2θ = 1 + 1
या r²(cos²θ + sin²θ ) = 2 या r² = 2 या r = 2–√
cos θ = ऋणात्मक, sin θ = धनात्मक
∴ 0 दूसरे चतुर्थांश में है।


हल:
मान लिया

प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए:
प्रश्न 6.
3x² 4x + 20/3 = 0.
हल:
3x² 4x + 20/3 = 0 को 3 से गुणा करने पर
9x² – 12x + 20 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 9, b = – 12, c = 20

प्रश्न 7.
x² – 2x + 3/2 = 0.
हत्त:
x² – 2x + 3/2 = 0, इसे 2 से गुणा करने पर .
2x² – 4x + 3 = 0
ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

प्रश्न 8.
27x² – 10x + 1 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण 27x² – 10 x + 1 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर a = 27, b = -10, c = 1

प्रश्न 9.
21x² – 28x + 10 = 0.
हल:
21x² – 28x + 10 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = 21, b = – 28, c = 10

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

प्रश्न 12.
यदि z₁ = 2 – i, z₂ = – 2 + i, निम्न का मान ज्ञात कीजिए :

हल:
(i)

प्रश्न 13.

हल:
माना

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
⇒ r cosθ = – 1/2, r sinθ = 1/2
वर्ग करके जोड़ने पर,


प्रश्न 14.
यदि (x−iy)(3+5i),−6−24i की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:

(x – iy) (3 + 5i) = (3x – 5yi<sup.2 + 5xi – 3yi)
= 3x + 5y + (5x – 3y)i ……(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x + 5y + (5x – 3y)i = – 6 + 24i
वास्तविक व काल्पनिक संख्याओं को समान लिखते हुए
3x + 5y = – 6 …..(3)
5x – 3y = 24 ……(4)
समी. (3) को 3 से और समी. (4) को 5 से गुणा करने पर
9x + 15y = – 18 ….(5)
25x – 15y = 120 ….(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
34x = 102 या x = 102/34 = 3
x का मान समी. (3) में रखने पर,
9+ 5y = – 6 या 5y = – 15, या y = – 3
अतः x = 3, y = – 3.

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.
समीकरण |1−i|^x =2^x के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:
हल:

इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त और कोई हल नहीं हो सकता।

प्रश्न 19.
यदि (a + ib)(c + id) (e + if)(g + ih) = A+iB है तो दर्शाइए कि (a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B².
हल:
(a + ib) (c + id) (e + if)(g + ih) = A + iB ….(1)
i के स्थान पर – i रखने पर,
(a – ib) (c – id) (e – if)(g – ih) = A – iB …..(2)
समी (1) और (2) को गुणा करने पर,
[(a + ib) (a – ib)] [(c + id) (c – id)] [(e + if)(e – if)][(g + ih)(g – ih)] = (A + iB)(A – iB)

प्रश्न 20.

11 1111
= 1+2+21
हल:

⇒ m संख्या 4 का गुणज है।
∴ m की कम से कम मूल्य = 4.

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