RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धान्त

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धान्त

गणितीय आगमन का सिद्धांत

गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1

सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
प्रश्न 1.

n = 1 रखने पर, ∴ बायाँ पक्ष P(n) = 1

∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = 3n−12
यह कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।
⇒ जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।

प्रश्न 2.
1³ + 2³ + 3³ + …………….. + n³ = (n(n+1)2)2.
हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.

प्रश्न 3.

हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.

हल:
मान लीजिए



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n= k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.

यदि n = 1, P(n) का बायाँ पक्ष = 1.3 = 3

इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 6.


∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 7.



⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 8.
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2.
हल:
माना
P(n) : 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2 .
दायाँ पक्ष = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……… + k.2^k = (k – 1).2^k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2^k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……….. + k.2^k + (k + 1).2^k+1 = (k – 1).2^k+1 + 2 + (k + 1).2^k+1
= (k – 1 + k + 1).2^k+1 + 2
= 2k.2^k+1 + 2 = k.2^k+2 + 2

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 9.

हल:

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 10.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

पश्न 11.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 12.
 
⇒ P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 13.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 14.

हल:

इससे सिद्ध होता है कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 15.


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 16.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 17.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 18.
1 + 2 + 3 + ………………. + n < 18(2n + 1)².
हल:
माना P(n) 1 + 2 + 3 + ………………. + n < 18(2n + 1)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1


⇒ P(n) , n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 19.
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का गुणज है
n = 1 के लिए n(n + 1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
k(k + 1)(k + 5) = 3m
या 3 + 6k² + 5k = 3m
k के स्थान पर k + 1 रखने पर।
(k + 1)³ + 6(k + 1)² + 5(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + 6(k² + 2k + 1) + 5k + 5
= k³ + 9k² + 20k + 12
= (k³ + 6k² + 5k) + (3k² + 15k + 12)
= 3m + 3(k² + 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
10^2n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
हल:
माना P(n) : 10^2n-1 + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।
n = 1, के लिए 10^2n-1 + 1 = 10² – 1 + 1 = 11
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 10^2k-1 + 1, संख्या 11 से विभाजित होती है।
या 10^2k-1 + 11m (माना)
k को k + 1 से बदलने पर
10^2(k+1)-1 + 1 = 10^2k+1 + 1
= 10².10^2k-1 + 1
= 10²(10^2k-1 + 1) – 100 + 1.
= 100.11m – 99
= 11 (100m – 9)
इससे सिद्ध हुआ कि 10^2k+1 + 1 भी 11 से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 21.
x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : x²ⁿ – y²ⁿ, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x² – y² = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x^2k – y^2k, x + y से विभक्त होता है।
या x²⁶ – y^2k = m(x + y)
या x^2k = m(x + y) + y^2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x^2(k+1) – y^2(k+1) = x². x^2k – y^2k+2
= x²[m(x + y) + y^2k] – y^2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x² + x²y^2k – y^2k+2
= m(x + y)x² + y^2k(x² – y²)
= (x + y) [mx² + y^2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 22.
3²ⁿ⁺² – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 3²ⁿ⁺² – 8n – 9 संख्या 8 से विभक्त होती है।
n = 1 के लिए,
3ⁿ⁺² – 8n – 9 = 3²⁺² – 8.1 – 9
= 3⁴ – 8 – 9
= 81 – 17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात
3^2k+2 – 8k – 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या 3^2k+2 – 8k – 9 = 8m.
3^2k+2 = 8m + 8k + 9
k को k+ 1 से बदलने पर
3^2(k+1)+2 – 8 (k + 1) – 9 = 3².3^2k+2 – 8(k + 1) – 9.
= 9(8m + 8k + 9) – 8k – 17
= 9(8m + 8k) + 81 – 8k – 17
= 72m + 64k + 64
= 8(9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 23.
41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का गुणज है।
n = 1 के लिए, 41ⁿ – 14ⁿ = 41 – 14 = 27
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना, P(n), n =k के लिए सत्य है।
⇒ 41^k – 14^k = 27m
⇒ 41^k = 27m + 14^k
k के स्थान पर k + 1 रखने पर
41^k+1 – 14^k+1 = 41. 41^k – 14^k+1 [41^k = 27m + 14^k रखने से]
= 41[27m + 14^k] – 14^k+1
= 27. 41m + 41. 14^k – 14^k+1
= 27. 41m + 14^k.27
= 27[41m +14^k]
जो कि 27 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 24.
(2n + 7) < (n+ 3)².
हल:
मान लीजिए P(n) = (2n + 7) < (n + 3)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 2 × 1 + 7 = 9
दायाँ पक्ष = (n + 3)²
= (1 + 3)² = 4² = 16
9 < 16
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 2k + 7 < (k + 3)²
या 2(k + 1) + 7 < (k + 3)² + 2. [दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]
⇒ 2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 ….(1)
k को k + 1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k + 5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 + 2k + 5
< k² + 8k + 16
< (k + 4)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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