RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन

त्रिकोणमितीय फलन

त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
(i) 25°
(ii) – 47° 30′
(iii) 240°
(iv) 520°
हल:
(i) 180° = π रेडियन

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (π = 227) का प्रयोग करें :

हल:

प्रश्न 3.
एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
हल:
1 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 21 रेडियन
∴ 360 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 360 × 2π रेडियन
∵ 1 मिनट अर्थात् 60 सेकण्ड में 360 × 2π रेडियन का कोण बनता है।
∴ 1 सेकण्ड में पहिया द्वारा बना कोण = 360×2π/60
= 12π रेडियन।

प्रश्न 4.
एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी? (π = 22/7 का प्रयोग कीजिए)
हल:
∵ चाप = त्रिज्या × कोण
जहाँ चाप, l = 22 सेमी
त्रिज्या r = 100 सेमी
22 = 100 × θ

प्रश्न 5.
एक वृत्त जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
व्यास = 40 सेमी
त्रिज्या = 20 सेमी

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चाप की लंबाई = l
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ₁ = 60°
= π/3 रेडियन

मान लीजिए इसकी त्रिज्या = r₁
l = r₁θ₁
= r₁ π/3
∴ r₁ = 3l/π …(i)
दूसरे वृत्त के लिए,
माना त्रिज्या = r₂
चाप की लंबाई = l

चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, θ₂ = 75°

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर

प्रश्न 7.
75 सेमी लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैं :
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेम
हल:
त्रिज्या = 75 सेमी
(i) चाप की लम्बाई l₁ = 10 सेमी
यदि चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ रेडियन हो, तो
l₁ – rθ₁
10 = 75θ₂

त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
cos x = −1/2, x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
∆OAB में,

प्रश्न 2.
sin x = 3/5, x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

प्रश्न 3.
cot x = 3/4, x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल:
cot x = 3/4
यहाँ OA = 3 इकाई
∴ AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = 13/5, चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

यहाँ OB = 13 इकाई
∴ OA = 5 इकाई

यहाँ AB = 5 इकाई
∴ OA = 12 इकाई
∴ OB = = 13
OA = -12 (∵ OX’ दिशा में है)
AB = 5 (∵ OY’ दिशा में है)
OB = 13

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 6.
sin 765°.
हल:
sin 765° = sin (2 × 360 + 45°)
= sin 45 [∵ – sin (360 + θ) = sin θ]
= 1/√2.

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°.
हल:
cosec (-1410) = -cosec 1410 [∵ cosec (-θ) = – cosec θ]
= – cosec (4 × 360 – 30)
= – cosec (-30)° [∵ cosec (360 + θ) = cosec θ]
= cosec 30° [∵ cosec (-θ) = cosec θ]
= 2. [∵ sin 30° = 1/2]

प्रश्न 8.

प्रश्न 9.

प्रश्न 10.
cot (−15π/4)
हल:

त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 11.
 

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin²6x – sin²4x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin² 6x – sin²4x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin²6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x = 4 cos² x sin 4x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = cotxcot2x−1/cotx+cot2x
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = cotxcot2x−1/cotx+cot2x (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin² x cos²x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos²A – 1)
= 2 cos² 2x – 1
= 2[2 cos² x – 1]² – 1
= 2 [4cos⁴ x – 4 cos²x + 1] – 1
= 8 cos⁴x – 8 cos²x + 1
= 1 + 8 cos⁴ x – 8 cos²x
= 1 + 8 cos² x (cos² x – 1)
= 1 – 8 cos²x sin²x [∵ 1 – cos² x = sin² x]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos² A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos²A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A (1 – cos² A) [∵sin² A = 1 – cos²A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos³ A
= 4 cos³ A – 3 cos A
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos² x – 1)³ – 3 (2 cos²x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos²x – 1)
= 4[8 cos⁶ x – 12 cos⁴ x + 6 cos²x – 1)] – (6 cos²x – 3)
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴x + 18 cos² x – 1
= दायाँ पक्ष।

त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक) :
प्रश्न 1.
tan x = √3.
हल:

प्रश्न 2.
secx = 2.
हल:

प्रश्न 3.
cot x = –√3.
हल:

प्रश्न 4.
cosecx = – 2.
हल:

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हल:
cos 4x = cos 2x
या cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cosx – cos 2x = 0.
हल:
cos 3x + cos x – cos 2x = 0

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.
हल:
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0 [∴ sin 2x = 2 sin x cos x]
या cos x (2 sin x + 1) = 0
(i) जब cos x = 0, x = (2n + 1)π2

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x.
हल:
sec² 2x = 1 – tan 2x
या 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x [∵ sec²A = 1 + tan² A]
या tan² 2x + tan 2x = 0
या tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0, y tan 2x + 1 = 0

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
हल:
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0

या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3 x (2 cos 2 x + 1) = 0
⇒ sin 3x = 0
या 2 cos 2x + 1 = 0

त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए : (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0.
हल:
बायाँ पक्ष = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cosx
= sin 3x sin x + sin²x + cos 3x cos x – cos²x
= (cos 3x cos x + sin 3x sin x) – (cos² x – sin²x)
= cos 2x – cos 2x
= 0 [∵ cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 3.

हल:
बायाँ पक्ष = (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 4.

हल:
बायाँ पक्ष = (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए : sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)


= 4 sin 4x cos 2x cos x
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए : sin 3x + sin 2x – sin x = 4 sin cos x/2 cos 3x/2
हल:
बायाँ पक्ष = sin 3x + (sin 2x – sin x)

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में sin x2, cos x2, और tan x2, ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8.
tan x = –4/3, x द्वितीय चतुर्थाश में हैं।
हल:
∵ x दूसरे चतुर्थांश में है, ∴ x/2 पहले चतुर्थांश में है इसलिए sin x/2, cos x/2, और tan x/2, धनात्मक होंगे।

प्रश्न 9.
cos x = −1/3, x तीसरे चतुर्थांश में है।
हल:
x, तीसरे चतुर्थांश में है।
अर्थात 180° < x < 270°
90° < x/2 < 135
⇒ x/2 दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 10.
 

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन, Study Learner