NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण

NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण

त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.1

प्रश्न 1.
∆PQR में भुजा का मध्य-बिन्दु D है
….है।
PD….है।
क्या QM= MR ?

हल:
, शीर्षलम्ब है।
, माध्यिका है।
नहीं, QM ≠ MR, क्योंकि QR का मध्य-बिन्दु M नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न के लिए अनुमान से आकृति खींचिए :
(a) ∆ABC में, BE एक माध्यिका है।
(b) ∆PQR में, PQ और PR त्रिभुज के शीर्षलम्ब हैं।
(c) ∆XYZ में, YL एक शीर्षलम्ब उसके बहिर्भाग में है।
हल:
(a) संलग्न चित्र में, BE,∆ABC की माध्यिका है।

(b) समकोण ∆PQR में, PQ तथा PR त्रिभुज के शीर्षलम्ब हैं।

(c) संलग्न चित्र में, YL, ∆XYZ का शीर्षलम्ब है।

प्रश्न 3.
आकृति खींचकर पुष्टि कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब व माध्यिकाएँ एक ही रेखाखण्ड हो सकता है।
हल:
माना कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा AB = AC
त्रिभुज की माध्यिका AM खींची। अब चाँद की सहायता से ∠AMC को मापते हैं।

मापने पर, ∠AMC = 90°
∴ AM ⊥ BC
अत: ∆ABC की, अत: माध्यिका और शीर्षलम्ब दोनों ही है।

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC खींचिए और इसकी एक भुजा को एक ओर बढ़ाइए चित्र (i)]। शीर्ष C पर बने कोण ACD पर ध्यान दीजिए। यह कोण ∆ABC के बर्हिभाग में स्थित है। हम इसे ∆ABC के शीर्ष पर बना एक बाह्य कोण कहते हैं।

स्पष्ट है कि ∠BCA तथा ∠ACD परस्पर संलग्न कोण हैं। त्रिभुज के शेष दो कोण, ∠A तथा ∠B बाह्य कोण ACD के दो सम्मुख अन्त:कोण या दूरस्थ अन्तःकोण कहलाते हैं। अब काटकर या अक्स (Trace copy) लेकर ∠A तथा ∠B एक-दूसरे के संलग्न मिलाकर ∠ACD पर रखिए जैसा कि चित्र (ii) में दिखाया गया है। क्या वे दोनों कोण ACD को पूर्णतया आच्छादित करते हैं ? क्या आप कह सकते हैं,
m∠ACD = m∠A + m∠B?
हल:
हाँ, वे दोनों कोण ACD को पूर्णतया आच्छादित करते हैं।
हाँ, m∠ACD = m∠A + m∠B

प्रश्न 2.
छात्र इस क्रियाकलाप को स्वयं करें।
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 130

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज के लिए बाह्य कोण भिन्न-भिन्न प्रकार से बनाये जा सकते हैं। इनमें से तीन भिन्न प्रकार के दिखाए गए हैं।

इनके अतिरिक्त तीन और प्रकार से भी बाह्य कोण बबनाये जा सकते हैं। इन्हें भी अनुमान से बनाइए।
हल:
तीन अन्य प्रकार से बने बाह्य कोण –

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के एक शीर्ष पर बने दोनों बाह्य कोण क्या परस्पर समान होते हैं ?
हल:

हाँ ∆ABC की भुजा AC व BC को आगे बढ़ाने पर हमें क्रमश: ∠BCP व ∠ACQ प्राप्त होते हैं जो कि शीर्षाभिमुख हैं।
∴ ∠BCP = ∠ACQ
∴ त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर एक बाह्य कोणों का एक युग्म होगा जो आपस में समान होंगे।

प्रश्न 3.
किसी त्रिभुज के एक बाह्य कोण और उसके संलग्न अन्तःकोण के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
हल:
एक त्रिभुज के एक बाह्य कोण और उसका संलग्न कोण रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ बाह्य कोण + अन्त: कोण = 180°

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
प्रत्येक दशा में अन्तः सम्मुख कोणों के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जबकि बाह्य कोण है –
(i) एक समकोण
(ii) एक अधिककोण
(iii) एक न्यूनकोण।
हल:
(i) प्रत्येक अन्तः सम्मुख कोण न्यून कोण होगा।
(ii) कम-से-कम एक अन्तः सम्मुख कोण न्यूनकोण होना चाहिए।
(iii) प्रत्येक अन्तः सम्मुख कोण न्यून कोण होगा।

प्रश्न 2.
क्या किसी त्रिभुज का कोई बाह्य कोण एक सरल कोण भी हो सकता है?
हल:
नहीं, किसी त्रिभुज का कोई बाह्य कोण सरल कोण नहीं हो सकता, क्योंकि अन्तः कोण शून्य नहीं हो सकते हैं।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
किसी त्रिभुज में एक बाह्य कोण की माप 70° है और उसके अन्तः सम्मुख कोणों में से एक की माप 25° है। दूसरे अन्तः सम्मुख कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
बाह्य कोण = 70°, अन्तः सम्मुख कोण = 25°
माना कि दूसरा अन्तः सम्मुख कोण = x°

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 131

अत: दोनों अन्तः सम्मुख कोणों का योग = बाह्य कोण
∴ x° + 250 = 70°
या x° = 70° – 25° = 45°

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के दो अन्तः सम्मुख कोणों की माप 60° तथा 80° है। उसके बाह्य कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
अन्तः सम्मुख कोण = 60° व 80°
∵ बाह्य कोण = दो सम्मुख अन्त:कोणों का योग
∴ बाह्य कोण = 60° + 80° = 140°

प्रश्न 3.
क्या इस चित्र में कोई त्रुटि है? टिप्पणी करें।
हल:
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का बाह्य कोण अपने दोनों सम्मुख अन्त:कोणों के योग के बराबर होता है।
यहाँ प्रत्येक अन्त:कोण 50° है और बाह्य कोण भी 50° है।

∴ इन मापों से त्रिभुज नहीं बन सकता है।
(∵ 50° ≠ 50° + 50°)

त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.2

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों में अज्ञात बाह्य कोण x का मान ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) अन्तः सम्मुख कोण = 50° व 70°
∵ बाह्य कोण = दो अन्तः सम्मुख कोणों का योग
∴ x = 50° + 70° = 120°

(ii) ∵ अन्तः सम्मुख कोण = 65° व 45°
∴ बाह्य कोण x = 65° + 45° = 110°

(iii) ∵ अन्तः सम्मुख कोण = 30° व 40°
∴ बाह्य कोण x = 30° + 40° = 70°

(iv) ∵ अन्तः सम्मुख कोण = 60° व 60°
∴ ‘बाह्य कोण x = 60° + 60° = 120°

(v) ∵ अन्तः सम्मुख कोण = 50° व 50°
∴ बाह्य कोण x = 50° + 50° = 100°

(vi) ∵ बाह्य सम्मुख कोण = 30° व 60°
∴ बाह्य कोण x = 30° + 60° = 90°

प्रश्न 2.
निम्न आकृतियों में अज्ञात कोणx का मान ज्ञात कीजिए –

हल:
∵ सम्मुख अन्त: कोणों का योग = बाह्य कोण
(i) ∵ बाह्य कोण = 115°
एक सम्मुख अन्त:कोण = 50°
∴ x + 50° = 115°
या x = 1150 – 50°
= 65°

(ii) ∵ बाह्य कोण = 100%,
एक सम्मुख अन्त:कोण = 70°
∴ x + 70° = 100°
या x = 100 – 70°
= 30°

(iii) ∵ बाह्य कोण = 125°,
एक सम्मुख अन्त:कोण = 90°
∴ x + 90° = 125°
या x = 125° – 90°
= 35°

(iv) ∵ बाह्य कोण = 120°
एक सम्मुख अन्त:कोण = 60°
x + 60° = 120°
या x = 120° – 60°
= 60°

(v) ∵ बाह्य कोण = 80°
एक सम्मुख अन्त:कोण = 30°
∴ x + 30° = 80°
या x = 80°- 30°
= 50°

(vi) ∵ बाह्य कोण = 75°,
एक सम्मुख अन्तः कोण = 35°
∴ x + 35° = 75°
या x = 75°- 35°
= 40°

त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.3

प्रश्न 1.
निम्नांकित आकृतियों में अज्ञात x का मान ज्ञात कीजिए –

हल:
∵ त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° (दो समकोण) के बराबर होता है। अतः
(i) x+ 50° + 60° = 180°
या x + 110° = 180°
या x = 180° – 110° = 700
अतः x का अभीष्ट मान = 70°

(ii) x + 90° + 30° = 180°
या x + 120° = 180°
या x = 180° – 120° = 60°
अतः का अभीष्ट मान = 60°

(iii) x + 30° + 110° = 180°
या x + 140° = 180°
या x = 180° – 140° = 40°
अत: x का अभीष्ट मान = 40°

(iv) x + x + 50 = 180°
या 2x + 50° = 180°
या 2x = 180° – 50° = 130°
या x = = 60°
अतः x का अभीष्ट मान = 65°

(v) x + x + x = 180°
या 3x = 180°
या x = = 60°
अतः x का अभीष्ट मान = 60°

(vi) x + 2x + 90° = 180°
या 3x = 180° – 90° = 90°
या x = = 30°
अतः x का अभीष्ट मान = 30°

प्रश्न 2.
निम्नांकित आकृतियों में अज्ञात x और y का मान ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) ∵ कोण y और 120° रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ y + 120° = 180°
या y = 180° – 120° = 60°
(∵ त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग = 180°)
अब x + y + 50° = 180°
या x + 60° + 50° = 180°
या x + 110° = 180°
या x = 180° – 110° = 70°
अतः x = 70° और y = 60°

(ii) ∵ कोण y और 80° ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण हैं,
∴ y = 80°
∵ त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + y + 50° = 180°
या x + 80° + 50° = 180°
या x + 130° = 180°
या x = 180° – 130° = 50°
अत: x = 50° और y = 80°

(iii) ∵ त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग = 180°
∴ 50° + 60° + y = 180°
या 110° + y = 180°
या y = 180° – 110° = 70°
पुनः कोण x और y रैखिक युग्म बनाते हैं
∴ x + y = 180°
या x + 70° = 180°
या x = 180° – 70° = 110°
अतः x = 110° और y = 70°

(iv) ∵ कोण x और 60° ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण हैं।
∴ x = 60°
अब, ∵ त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + 1 + 30° = 180°
या 60 + 1 + 30° = 180°
या y + 90° = 180°
या y = 180° – 90° = 90°
अतः x = 60° और y = 90°

(v) ∵ कोण । और 90° ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण हैं,
∴ y = 90°
अब, ∵ त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग = 180°
∴ x + x + y = 180°
या 2x + 90° = 180°
या 2x = 180° – 90°
= 90°
⇒ x = =45°
अतः x = 45° और y = 90°

(vi) त्रिभुज का एक अन्त:कोण y है। शेष दो कोण ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण x के बराबर हैं।
∴ x + x + y = 180°
या 2x + y = 180°
या 2x + x = 180° (∵ ∠x = ∠y)
या 3x = 180°
या x = = 60°
अतः x = 60° और y = 60°

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 184

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज के दो कोण 30° तथा 80° हैं। इस त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि तीसरा कोण x है,
∵ त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग = 180°
∴ 30° + 80° + x = 180°
या 110° + x = 180°
या x = 180° – 110° = 70°
अतः त्रिभुज का तीसरा कोण = 70°

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज का एक कोण 80° तथा शेष दोनों कोण बराबर हैं। बराबर कोणों में प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बराबर कोणों में प्रत्येक कोण x है।
∵ त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + x + 80° = 180°
या 2x + 80° = 180°
या 2x = 180° – 80° = 100°
या x = = 50°
अत: बराबर कोणों में प्रत्येक कोण = 50°

प्रश्न 3.
किन्हीं त्रिभुज के तीनों कोणों में 1 : 2 : 1 का अनुपात है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए। त्रिभुज का दोनों प्रकार से वर्गीकरण भी कीजिए।
हल:
माना कि त्रिभुज के कोण x, 2x व x हैं।
∴ x + 2x + x = 180°
या 4x = 180°
या x = = 45°
त्रिभुज के कोण x = 45° तथा 2x = 2 × 45° = 90°
अत: त्रिभुज के कोण 45°, 90° और 45° हैं।
अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज है तथा यह समद्विबाहु त्रिभुज भी है।

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
क्या कोई ऐसा त्रिभुज सम्भव है जिसके दो कोण समकोण हों ?
हल:
नहीं, ऐसा त्रिभुज सम्भव नहीं हैं जिसके दो कोण समकोण हों क्योंकि त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग 180° होता है।

प्रश्न 2.
क्या कोई ऐसा त्रिभुज सम्भव नहीं है जिसमें दो | कोण अधिक कोण हों ?
हल:
नहीं, ऐसा त्रिभुज सम्भव नहीं है, जिसमें दो कोण अधिक कोण हों। यहाँ इस स्थिति में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग दो समकोण से अधिक हो जाएगा।

प्रश्न 3.
क्या कोई ऐसा त्रिभुज सम्भव है जिसमें दो – कोण न्यून कोण हों ?
हल:
हाँ, ऐसा त्रिभुज सम्भव है जिसमें दो न्यून कोण हों।

प्रश्न 4.
क्या कोई ऐसा त्रिभुज सम्भव है जिसमें तीनों कोण 60° से अधिक हों ?
हल:
नहीं, ऐसा त्रिभुज सम्भव नहीं है जिसमें सभी तीनों कोण 60° से अधिक हों। इस स्थिति में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° से अधिक हो जाएगा, लेकिन यह 180° के बराबर होना चाहिए।

प्रश्न 5.
क्या कोई ऐसा त्रिभुज सम्भव है जिसमें तीनों कोण 60° के हो ?
हल:
हाँ, ऐसा त्रिभुज सम्भव है जिसमें तीनों कोण 60° के हों।

प्रश्न 6.
क्या कोई ऐसा त्रिभुज सम्भव है। जिसमें तीनों कोण 60° से कम हों ?
हल:
नहीं, ऐसा त्रिभुज सम्भव नहीं है जिसमें तीनों कोण 60° से कम हों। ऐसी स्थिति में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° से कम होगा जबकि यह 180° होना चाहिए।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 135-136

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
प्रत्येक आकृति में कोण x का मान ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) आकृति समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ समान हैं और समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ अभीष्ट कोण x = 40°

(ii) आकृति समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी दो भुजाएँ समान हैं और समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
अतः दूसरी समान भुजा के सामने का कोण 45° है।
चूँकि हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। अतः
x + 45° + 45° = 180°
या x + 90° = 180°
या x = 180° – 90° = 90°
∴ अभीष्ट कोण x = 90°

(iii) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं और समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं,
∴ अभीष्ट कोण x = 50°

(iv) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं और समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ आधार का दूसरा कोण = x.
अब, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
∴ x + x + 100° = 180°
या 2x + 100° = 180°
या 2x = 180° – 100°
= 80°
∴ अभीष्ट कोण x = = 40°

(v) आकृति में दो भुजाएँ समान हैं तथा एक कोण समकोण है और समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ दूसरा कोण = x
∵ त्रिभुज के तीनों अन्त: कोणों का योग = 180°
∴ x + x + 90° = 180°
या 2x = 180° – 90° = 90°
∴ अभीष्ट कोण x = = 45°

(vi) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं और त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ दूसरा कोण भी x होगा।
∵ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
∴ x + x + 40° = 180°
या 2x + 40° = 180°
या 2x = 180° – 40° = 140°
∴ अभीष्ट कोण x = = 70°

(vii) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं और त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ दूसरा आधार का कोण = x
∵ दूसरा आधार कोण x और 120° रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ x + 120° = 180°
∴ अभीष्ट कोण x = 180° – 120°
= 60°

(viii) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं और त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ दूसरा आधार का कोण = x
चूँकि सम्मुख अत: कोणों का योग = बाह्य कोण
∴ x + x = 110°
या 2x = 110°
∴ अभीष्ट कोण x = = 55°

(ix) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं और त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।
∴ दूसरा आधार का कोण = x
साथ ही, ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण x और 30° बराबर हैं।
∴ अभीष्ट कोण x = 30°

प्रश्न 2.
प्रत्येक आकृति में x तथा y के मान ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
∴ समान भुजाओं के सामने के कोण समान हैं।
चूँकि एक आधार का कोण = y
∴ दूसरा आधार का कोण = y
अब, दूसरा आधार कोण y और 120° रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ y + 120° = 180°
या y = 180° – 120° = 60°
अब, त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग = 180°
∴ x + y + y = 180°
या x + 2y = 180°
या x + 2 × 60° = 180°
या x = 180° – 120° = 60
अतः, x = 60° और y = 60°

(ii) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
∴ समान भुजाओं के सामने के कोण समान हैं।
∵ समान कोणों में एक कोण x है, अतः दूसरा कोण = x साथ ही, त्रिभुज समकोण त्रिभुज है
∴ तीसरा कोण = 90°
अब, त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग = 180°
∴ x + x + 90° = 180°
या 2x + 90° = 180°
या 2x = 180° – 90° = 90°
या x = = 45°
अब, दूसरा कोण x और रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ x + y = 180°
या 45° + y = 180°
∴ y = 180° – 45° = 135°
अतः x = 45° और y = 135°

(iii) आकृति में त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
∴ समान भुजाओं के सामने के कोण समान हैं।
समान कोण में एक कोण x है।
अतः दूसरा आधार कोण = x
त्रिभुज का तीसरा कोण = ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण
= 92°
अब, त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग = 180°
∴ x + x + 92° = 180°
या 2x + 92° = 180°
या 2x = 180° – 92° = 88°
या x = = 44°
अब, दूसरा आधार कोण x और y रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ x + y = 180°
या 44° + y = 180°
या y = 180° – 44° = 136°
अतः x = 44° और y = 136°

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 137

प्रश्न 1.
अपनी अभ्यास-पुस्तिका में कोई तीन त्रिभुज, जैसे – ∆ABC, ∆PQR और ∆XYZ बनाइए। अपने पैमाने की सहायता से इन त्रिभुजों की भुजाओं को मापकर, एक तालिका के रूप में निम्न प्रकार से लिखिए
हल:


पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 138-139

त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्न दी गई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज सम्भव है ?
(i) 2 cm, 3 cm, 5 cm
(ii) 3 cm, 6 cm,7cm
(iii) 6cm, 3 cm, 2 cm.
हल:
(i) ∵ 2 cm + 3 cm = 5 cm और तीसरी भुजा = 5cm
∴ दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग = तीसरी भुजाओं की लम्बाई, जो कि असम्भव है।
अतः भुजाओं की इन मापों से त्रिभुज सम्भव नहीं है।

(ii) ∵ 3cm + 6 cm = 9 cm
और 9cm > 7 cm
6cm + 7 cm = 13 cm
और 13 cm > 3 cm
7 cm + 3 cm = 10 cm
और 10 cm > 6cm
अत: भुजाओं की इन मापों से त्रिभुज सम्भव है।

(iii) ∵ 6cm + 3 cm = 9 cm
और 9cm > 2 cm
3 cm + 2 cm = 5 cm
और 5 cm ≠ 6cm
2 cm + 6 cm = 8 cm
और 8 cm > 5 cm
अतः भुजाओं की इन मापों से त्रिभुज सम्भव नहीं है।

प्रश्न 2.
त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिन्दु O लीजिए। क्या यह सही है कि –

(i) OP + OQ > PQ?
(ii) OQ + OR > QR?
(iii) OR + OP > RP?
हल:
∆POR में OP, OQ तथा OR को मिलाया। अत: त्रिभुज के गुण से,
(i) हाँ, OP + OQ > PQ
(ii) हाँ, OQ – OR > QR

(iii) हाँ, OR + OP > RP.

प्रश्न 3.
त्रिभुज ABC की एक माध्यिका AM है। बताइये कि क्या AB + BC + CA > 2 AM?

(संकेत : ∆ABM तथा ∆AMC की भुजाओं पर विचार कीजिए।)
हल:
चूँकि त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होता है।
∴ ∆ABM में, AB + BM > AM …..(i)
इसी प्रकार ∆AMC में, CA + CM > AM …(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर,
(AB + BM) + (CA + CM) > AM + AM
या AB – (BM + CM) + CA > 2 AM
अत: AB + BC + CA > 2 AM (∵ BM + MC = BC)

प्रश्न 4.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA > AC + BD?

हल:
∵ त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरा भुजा की लम्बाई से अधिक होता है।
∴ ∆ABC में, AB + BC > AC …..(1)
∴ ∆ACD में, CD + DA > AC …..(2)
∆ABD में, AB + DA > BD ….(3)
तथा ∆BCD में, BC + CD > BD ….(4)
समीकरण (1), (2), (3) व (4) को जोड़ने पर,
2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)
या AB + BC + CD + DA > AC + BD इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD)?
हल:
∵ किसी त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होता है।

∴ ∆OAB में, OA + OB > AB …..(1)
∆OBC में, OB + OC > BC …..(2)
∆OCD में, OC + OD > CD …..(3)
∆OAD में, OA + OD > AD …(4)
(1), (2), (3) व (4) को जोड़ने पर,
2(OA + OB + OC + OD) > (AB + BC + CD + DA)
या AB + BC + CD + DA < 2 (OA + OB + OC + OD)
या AB + BC + CD + DA < 2 [(OA + OC)+ (OB + OD)]
या AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD) इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 12 cm तथा 15 cm है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों के बीच होनी चाहिए?
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होता है।
∴ 12 cm + 15 cm > तीसरी भुजा
अर्थात् 27 > तीसरी भुजा
या तीसरी भुजा < 27 cm.
साथ ही किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाइयों का अन्तर तीसरी भुजा की लम्बाई से कम होता है।
∴ 15 cm – 12 cm < तीसरी भुजा या
या 3 cm < तीसरी भुजा अतः
या 3 cm < तीसरी भुजा < 27 cm.
अतः तीसरी भुजा की लम्बाई 3 cm और 27 cm के बीच में होनी चाहिए।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 139

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
किसी त्रिभुज में क्या उसके किन्हीं दो कोणों का योग तीसरे कोण से सदैव अधिक होता है ?
हल:
किसी त्रिभुज में उसके किन्हीं दो कोणों का योग सदैव तीसरे कोण से अधिक नहीं होता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 141-142

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों में अज्ञात लम्बाई x ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) दी हुई आकृति समकोण त्रिभुज है, जिसमें सबसे लम्बी भुजा कर्ण है।
∴ x² = 3² + 4² (पाइथागोरस प्रमेय से)
या x² = 9 + 16
या x² = 25 = 52
∴ x = 5

(ii) दी हुई आकृति समकोण त्रिभुज है।
∴ x² = 6² + 8² (पाइथागोरस प्रमेय से)
या x² = 36 + 64
या x² = 100 = 102
∴ x = 10

(iii) दी हुई आकृति समकोण त्रिभुज है।
∴ x² = 15² + 8² (पाइथागोरस प्रमेय से)
या x² = 225 + 64
या x² = 289 = 17²
∴ x = 17 cm

(iv) दी हुई आकृति समकोण त्रिभुज है।
∴ x² = 24² + 7²
या x² = 576 + 49
या x² = 625 = 252
∴ x = 25

(v) समकोण त्रिभुज (1) में,
y² + 12² = 372
या y² + 144 = 1369
या y² = 1369 – 144 = 1225
या y² = 35² ⇒ y = 35

समकोण त्रिभुज (2) में,
(x – 7)² + 12² = 37²
या (x – y)² + 144 = 1369
या (x – 35)² = 1369 – 144 = 1225
या (x – 35)² = 35²
या x – 35 = 35
x = 35 + 35 = 70

त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.5

प्रश्न 1.
PQR एक त्रिभुज है जिसका P एक समकोण है। यदि PQ = 10 cm तथा PR = 24 cm तब QR ज्ञात कीजिए।
हल:
समकोण त्रिभुज PQR में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
QR² = PQ² + PR²
OR² = (10)² + (24)²

या QR² = 100 + 576 = 676
या QR² = (26)²
∴ QR = 26 cm

प्रश्न 2.
ABC एक त्रिभुज है जिसका ∠C एक समकोण है। यदि AB = 25 cm तथा AC = 7 cm तब BC ज्ञात कीजिए।
हल:
समकोण त्रिभुज ABC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,

AC² + BC² = AB²
(7)² + x² = (25)²
या 49 + x² = 625
या x² = 625 – 49 = 576
या x² = 242 ⇒ x = 24
∴ BC = 24 cm

प्रश्न 3.
दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका कर 15 m लम्बी एक सीढ़ी भूमि से 12 m ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि सीढ़ी के पैर दीवार से am की दूरी पर हैं।

∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
a² + 122 = 152
या a² + 144 = 225
या a² = 225 – 144 = 81
शस a² = (9)² ⇒ a = 9m
अत: सीढ़ी के पैर की दीवार से अभीष्ट दूरी = 9 m

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में भुजाओं के कौन-से समूह एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं?
(i) 2.5 cm, 6-5 cm,6cm
(ii) 2 cm, 2 cm, 5 cm
(iii) 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm
हल:
(i) माना, त्रिभुज की भुजाएँ x = 2.5 cm, y = 6.5 cm, z = 6 cm हैं।
यहाँ, सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई y = 6.5 cm
अब, x² + z² = (2.5)² + (6)² = 6.25 + 36
= 42.25
तथा, y² = (6.5)² = 42.25,
∵ x² + z² = y²
अतः दी गई भुजाएँ समकोण त्रिभुज बना सकती हैं और भुजा 6.5 cm के सामने का कोण समकोण होगा।

(ii) माना त्रिभुज की भुजाएँ x = 2 cm, y = 2 cm, z = 5 cm है।
यहाँ, सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई z = 5 cm है।
अब, x² + y² = (2)² + (2)²
= 4 + 4 = 8
तथा z² = (5)² = 25
अत: अत: दी गई भुजाएँ समकोण त्रिभुज नहीं बना सकती हैं।

(iii) माना, त्रिभुज की भुजाएँ x = 1.5 cm, y = 2 cm और z = 2.5 cm हैं।
यहाँ, सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई z = 2.5 cm है।
अब, x² + y² = (1.5)² + (2)² = 2.25 + 4.00
= 6.25
तथा z² = (2.5)² = 6.25,
∵ x² + y² = z²
अतः दी गई भुजाएँ समकोण त्रिभुज बना सकती हैं और भुजा 2.5cm के सामने का कोण समकोण होगा।

प्रश्न 5.
एक पेड़ भूमि से 5m की ऊँचाई पर टूट गया है और उसका ऊपरी सिरा भूमि को उसके आधार से 12 m की दूरी पर छूता है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पेड़ BD बिन्दु C से टूटा है,
इस प्रकार, CD = CA

अब पाइथागोरस प्रमेय से, ∆ABC में,
AB² + BC² = AC²
12² + 5² = AC²
या 144 + 25 = AC²
या AC² = 169 = 13²
या AC = 13 m
अब, पेड़ की ऊँचाई = BD = BC + CD
= BC + AC (∵AC = CD)
= 5 m + 13 m = 18 m
अतः पेड़ की अभीष्ट लम्बाई = 18 m

प्रश्न 6.
त्रिभुज PQR में कोण Q = 25° तथा कोण R = 25° है। अग्रलिखित में कौन-सा कथन सत्य है ?

(i) PQ² + QR = RP
(ii) PQ² + RP² = QR²
(iii) RP² + QR² = PQ²
हल:
∆PQR में,
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
∠P + 25° + 65° = 180°
या ∠P + 90° = 180°
या ∠P = 180° – 90° = 90°
अत: ∆PQR समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण P समकोण है।
अब, कर्ण = कोण P के सामने की भुजा = QR पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
QR² = PQ² + PR²
अतः सम्बन्ध (ii) PQ² + RP² = QR² सत्य है।

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई 40 cm है तथा उसका एक विकर्ण 41 cm है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत की लम्बाई = 40 cm, विकर्ण = 41 cm
माना कि आयत की चौड़ाई = x cm

समकोण त्रिभुज BAD से,
AB² + AD² = BD²
40² + AD² = 41²
या AD² = 41² – 40² = 1681 – 1600
= 81 = 9²
∴ चौड़ाई x = 9 cm
अब परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 (40 + 9) = 2 × 49 = 98 cm
अत: आयत का परिमाप = 98 cm

प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm तथा 30 cm हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें AC = 30 cm और BD = 16 cm.

हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं। (यहाँ ये O पर काटते हैं।)
∠AOB = 90°

अब समकोण ∆AOB में,
AB² = 40 + BO²
= 15² + 8²
= 225 + 64 = 289
या AB² = 17² ⇒ AB = 17
∴ समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × AB = 4 × 17 cm
= 68 cm

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 143

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
त्रिभुज PQR का कोण P एक समकोण है। इसकी सबसे लम्बी भुजा कौन-सी है?
हल:
∵ शीर्ष P पर कोण 90° बनता है।
∴ समकोण बनाने वाली भुजाएँ PQ और PR हैं।
∴ कर्ण = QR
अत: त्रिभुज की सबसे लम्बी भुजा QR है।

प्रश्न 2.
त्रिभुज ARC का कोण B एक समकोण है। इसकी सबसे लम्बी भुजा कौन-सी है ?
हल:
शीर्ष B पर कोण 90° बनता है।
∴ ∆ABC की समकोण बनाने वाली भुजाएँ AB और BC हैं।
∴ कर्ण = AC
अतः त्रिभुज की सबसे लम्बी भुजा AC है।

प्रश्न 3.
किसी समकोण त्रिभुज में सबसे लम्बी भुजा कौन-सी होती है ?
हल:
समकोण त्रिभुज में सबसे लम्बी भुजा कर्ण होती है।

प्रश्न 4.
किसी आयत में विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई तथा चौड़ाई पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। यह बौधायन का प्रमेय है। इसकी पाइथागोरस गुण से तुलना कीजिए।
हल:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, “समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।” बौधायन ने सुलभ सूत्र में कहा है कि “आयत के कर्ण द्वारा बनाया गया क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं के द्वारा बनाये गये क्षेत्रफल के बराबर होता है।”

अब, माना कि आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः a और b है तथा इसका विकर्ण c है। इसलिए विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल = c × c = c² तथा आयत की भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफल a² और b² हैं।
∴ c² = a² + b² (बौधायन सुलभ सूत्र)
अतः स्पष्ट है कि पूर्व में बौधायन कथन ही वर्तमान में पाइथागोरस प्रमेय है।

NCERT Solution for Class 7 Math Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण, Study Learner