RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 सांख्यिकी

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 सांख्यिकी

सांख्यिकी

सांख्यिकी Ex 15.1

प्रश्न 1 व 2 में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
हल:

प्रश्न 2.
38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44.
हल:

प्रश्न 3 व 4 के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 3.
13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17.
हल:

प्रश्न 4.
36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49.
हल:
दिए हुए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर
36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72
n = 10
∴ 10/2 = 5 वाँ पद = 46, और 5 + 1 = 6वाँ पद = 49

प्रश्न 5 व 6 के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7 व 8 के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9 व 10 के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 9.

हल:

= 157.92.

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.
नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यिका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना कीजिए :

हल:
दिए गए आँकड़ों की सतत बारंबारता बंटन में बदलते हुए :

सांख्यिकी Ex 15.2

प्रश्न 1 से 5 तक के लिए आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12.
हल:

प्रश्न 2.
प्रथम n प्राकृत संख्याएँ।
हल:
पहली n प्राकृत संख्याएँ : 1, 2, 3,….., n

प्रश्न 3.
3 के प्रथम 10 गुणज।
हल:
प्रथम दस 3 के गुणज : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30


अतः माध्य = 16.5, प्रसरण = 74.25.

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:
मान लीजिए कल्पित माध्य A = 98, ∴ y_i = x_i – 98

प्रश्न 6.
लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए :

हल:
मान लीजिए कल्पित माध्य A = 64
तथा y_i = x_i – 64

प्रश्न 7 व 8 में दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 7.

हल:
माना कल्पित माध्य A = 105, वर्ग अंतराल h = 30

प्रश्न 8.

हल:
माना कल्पित माध्य A = 25, वर्ग अंतराल = 10

प्रश्न 9.
लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 10.
एक डिजाइन में बनाए गए वृत्तों के व्यास (मिमी में) नीचे दिए गए हैं।

वृत्तों के व्यासों का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए असतत आँकड़ों को सतत बारंबारता बंटन में बदलने के लिए अंतराल इस प्रकार हैं।
32.5 – 36.5, 36.5 – 40.5, 40.50 – 44.5, 44.5 – 48.5, 48.5 – 52.5

सांख्यिकी Ex 15.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आँकड़ों से बताइए कि A या B में से किसमें अधिक बिखराव है :

हल:
माना कल्पित माध्य A = 45, h = 10.
y_i = xi−45h

सूमह A के लिए:

सूमह B के लिए:

∴ σ = 15.62
विचरण गुणांक, C.V. = σx¯ = × 100
= 156244.6 = 35.02
समूह B का विचरण गुणांक समूह A के विचरण गुणांक से अधिक है।
अतः समूह B में अंकों का बिखराव सूमह A के अंकों से अधिक है।

प्रश्न 2.
शेयरों X और Y के नीचे दिए गए मूल्यों से बताइए कि किसके मूल्यों में अधिक स्थिरता है ?

हल:
माना शेयर X के आँकड़ों में कल्पित माध्य = 52
और शेयर Y के आँकड़ों में कल्पित माध्य = 105


विचरण गुणांक Y शेयर में x शेयर की तुलना में कम है।
अतः शेयर Y में, शेयर X की तुलना में अधिक स्थिरता है।

प्रश्न 3.
एक कारखाने की दो फर्मों A और B के कर्मचारियों को दिए मासिक वेतन के विश्लेषण का निम्नलिखित परिणाम है :

(i) A और B में से कौन सी फर्म अपने कर्मचारियों को वेतन के रूप में अधिक राशि देती है?
(ii) व्यक्तिगत वेतनों में किस फर्म A या B में अधिक विचरण है ?
हल:
फर्म के लिए: वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या = 586
मासिक वेतन की माध्य = 5253 रू
फर्म A द्वारा दिया गया कुल वेतन = 5253 x 586
= 3078258 रू
वेतन बंटन का प्रसरण = 100
मानक विचलन = 10
विचरण गुणांक = σx¯ × 100
= 105253 × 100
= 10005253 = 0.19
फर्म B के लिए:
वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या = 648
मासिक वेतन का संख्या = 5253 रू
फर्म B द्वारा गया कुल वेतन = 5253 x 648 रू
= 3403944 रू
वेतन बंटन का प्रसरण = 121
∴ मानक विचलन = 11
विचरण गुणांक = σx¯ × 100
115253 × 100 = 0.21
(i) फर्म A द्वारा दिया गया कुल मासिक वेतन = 3078258 रू
फर्म B द्वारा दिया गया कुल मासिक वेतन = 3403944 रू
अतः फर्म B फर्म A की तुलना में अधिक मासिक वेतन देती है।

(ii) फर्म A के वेतन बंटन का विचरण गुणांक = 0.19 और
फर्म A के वेतन बंटन का विचरण गुणांक = 0.21
अतः फर्म B के वेतन बंटन में अधिक बिखराव है।

प्रश्न 4.
टीम A द्वारा एक सत्र में खेले गए फुटबॉल मैचों के आँकड़े नीचे दिए गए हैं :

टीम B द्वारा खेले गए मैचों में बनाए गए गोलों का माध्य 2 प्रति मैच और गोलों का मानक विचलन 1.25 था। किस टीम को अधिक संगत (consistent) समझा जाना चाहिए ?
हल:

= 54.75
फर्म B के लिए :
माध्य x¯ = 2
मानक विचलन = 1.25
विचरण गुणांक = σx¯ × 100
= 1.252 × 100 = 62.5
टीम A का टीम B की तुलना में विचरण गुणांक कम है।
अतः टीम A में टीम B से अधिक स्थिरता है।

प्रश्न 5.
पचास वनस्पति उत्पादों की लंबाई x (सेमी में) और भार y (ग्राम में) के योग और वर्गों के योग नीचे दिए गए हैं :

लंबाई या भार में किसमें अधिक विचरण है ?
हल:
लंबाई के लिए :


भार के लिए:

भार का विचरण गुणांक, लंबाई के विचरण गुणांक से अधिक है।
अतः भार के बंटन में अधिक विचरण है।

सांख्यिकी विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 9 और 9.25 है। यदि इनमें से छः प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12, और 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए वे दो संख्याएँ x और y हैं।

= 6² + 7² + 10² + 12² + 12² + 13² + x² + y²
722 = 36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x² + y².
= 642 + x² + y²
x² + y² = 722 – 642 = 80
∴ x² + y² = 80 …(2)
समीकरण (1) और (2) से
या x² + (12 – x)² = 80
या 2x² – 24x + 144 = 80
या x² – 12x + 32 = 0
(x – 4) (x – 8) = 0
∴ x = 4 या 8
∴ y = 8 या 4
अतः वे दो संख्याएँ 4 और 8 हैं।

प्रश्न 2.
सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 8 और 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि वे दो संख्याएँ x और y हैं।

या 2² + 4² + 10² + 12² + 14² + x² + y² = 560
460 + x² + y² = 560
x² + y² = 560 – 460 = 100 …….(2)
समीकरण (1) और (2) से
x² + (14 – x)² = 100
या 2x² – 28x + 196 – 100 = 0
या x² – 14x + 48 = 0
∴ (x – 6) (x – 8) = 0
∴ x = 6 या 8
∴ y = 8 या 6
∴ वे दो संख्याएँ 6 और 8 हैं।

प्रश्न 3.
छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि n प्रेक्षणों का माध्य x¯ तथा प्रसरण σ² है तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax₁, ax₂, ax₃, …… ax_n, का माध्य और प्रसरण क्रमशः ax¯ तथा a²σ² (a ≠ 0) है।
हल:

प्रश्न 5.
बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 हैं। जांच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि
(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।
(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।
हल:

प्रश्न 6.
एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित, भौतिक शास्त्र व रसायन शास्त्र में प्राप्तांकों का माध्य व मानक विचलन नीचे दिए गए हैं :

किस विषय में सबसे अधिक विचलन है तथा किसमें सबसे कम विचलन है?
हल:

प्रश्न 7.
100 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेश्च 21, 21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:

= 100 × 20 = 2000

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